장음표시 사용
161쪽
poth. sunt rationum D. suntque A ad logarith. defia..imice proportionale ut C ad D. Ergo si GA, altior est, quam 2 ora etiam GC, altior est, quamaoD: si atquealta; aequealta: si depressior; depres Dpatb. sior. Et sunt GA, GC, ipsarum 3 A, 3 C, aeque- multiplicatMnecnon 2OB, a OD, ipsarum N, defix.hiqD,squemultiplicatae. Ergo 3 A ad a Cad V, sunt logarithmice proportionales.
Quod M. Quare M. Theor. 8. μιγSI fuerint duae rationes, singulae, ex binis compositae, altiores, ex depressioribus, & quodammodo totae,ex abscissa, & residua: fuerit autem una tota ratio, ad alteram totam, aequemultiplicata; atque sua abscissa ad alterius abscissam: erit & aequemultiplicata; atque sua residua, ad alterius residuam. 'poth. Ratio A , ex rationibus A, & F, altior, ex depressioribus, componitur; item C- D ratio, ex rationibus C, N D, componitur :&esto A B, ad C D, aequemultiplicata, atque A ad C. Dico A B ad CH D, aequemultiplicatam etiam esse, atque S ad D.
Fiat ratio G ad D, aequemultiplicata, atque A ad C.
162쪽
Demonstr. p. b. A G ad C D, aequemultiplicata est, atque Aad αυροι ad squemultiplicata est,atque A ad C. A B ratio, eadem est, quae Α--α Et composita utrimque conuersa rationis A, p. p. B ratio, eadem est, quae G. p. p. B ad D, aequemultiplicara est, atque A ad C. p. h. A B ad C D, aequemultiplicata est,atque N ad D. Quod M.
Quare &c. Theor. 9. Prop. 9.SI ratio, & quantitas, cuiusdam rationis, & cuiusdar quantitatis, atque sint multiplicata, & multiplex; Nabscissa ratio, & abscissa quantitas, eiusdem rationis, Nelusitem quantitatis, aque sint multiplicata, & multiplex: residua ratio,& residua quantitas,eiusdem rationis, Se eiusdem quantitatis, vel sunt aequealta, & aequalis; vel aeque sunt multiplicata, & multiplex. Hypoth. Ratio A P, rationis C, aequemultiplicata est, atque quantitas multiplex quantitatis c; 8eratio A, rationis C, aequemultiplicata est, atque quantitas a, multiplex
Dico quod , vel B atquealta est ipsi in scut b, a qualis ipsi or vel B aequemultiplicata est ipsius C; sicut b
163쪽
multiplex ipsius c. Demon P. 0poth. Numerus rationum C, ex quibus A B componitur, idem est qui quantitatum c, ex quibuS a b colligitur: item numerus rationum C ex quiabus A componitur, idem est qui quantitatum si ex quibus a componitur. Quorum numerorum, vel est disterentia unitas, vel numerus. Si unitas est disterentia; una est ratio C, qua-l cum composita ratio A, facit rationem A B, &vna est quantitas si quacum composita quantitas potb ia, facit quantitatem a b. Sed Se B ratio est,qua cum composita A, lacit rationem A B, & bquantitas est, quacum composita a, facit quantitatem a b. Ergo P squealta est ipsi C, atqueb aequalis ipsi c.
Si vero numerus est disserentia, tot sunt rati nes se quibuscum composita ratio A, facit rationem A B, totidemque sunt quantitates c, quibus cum composita quantitas a, facit quantita- potb.,tem a b. Sed B ratio est, quacum composita ratio facit rationem A P, de , quantitaS, qua- cum composita quantitas a, facit quantitatem a b. Ergo quot ex C rationibus componitur B, tot ex si quantitatibus componitur b. Ergo Bad C, aequemultiplicata est, atque , ad si mul-
b. t tiplex. Ergo B ad C, vel aequealta est: atquα b ad
164쪽
ιν ad si aequalis: ves aequemultiplicata est ; atque multiplex. Quod &c.
SI duae rationes, duarum rationum, sint aequemultiplicatae; & abscissae quaedam,sint earumdem aequemuit,plicatae: &residuae, eisdem, aut aequealtae sunt, aut aeque- multiplicata . Hypoth. Ratio A P, rationis C, aequemultiplicata est, atque
ratio D 'E, rationis F, Sc ratio A, rationis C, aeque multiplicata est, atque ratio D, rationis p. Dico rationem B rationis C, aequealtam esse,atque ratio E rationis ' vel aequemultiplicatam. Demonstri pοib. Quot ex C rationibus, ratio A B componiatur, idem numerus est, indicans etiam, quot ex Frar Onibus, componitur ratio D E. & quot ex C rationibus, ratio A componitur, idem numerus est, indicans etiam, quot ex F rationibus, rario D componitur: quorum numerorum vel esti differentia unitas, ves numeruS. Si unitas est differentia: una est ratio C, qua- cum compossita ratio A, Dcit rationem A B; & una est ratio F, quacum composita ratio D, fa-kπρ -- 1 cit rationem D E. Sed N B cum A, Se E cum is
165쪽
D, saciunt rationes compositas A P, & D- E. LErgo F ad C eadem est, & aequealta, atque ratio E ad F. si enim binae non essent arquealis ; esset Isum binarum, aequalitati propior, quam altera, &non essent e dem inter se. Si vero numerus est disserentia: totidem sunt rationes C, quibuscum ratio A composita, facite B rationem; quot etiam rationes F, quibus cum ratio D composita, facit D E rationcmb. Dpotb.iSed & P cum A, N E cum D, faciunt rationes e . h. l compositas Α- B,&. D F. Ergo B ad C squel multiplicata est, atque E ad F. Ergo B ad C, veli aeqvsalta est, vel aequemultiplicata, atque E ad F.
Quare &c. Theor. II. Propos II.
M Quealtar, ad eamdem, camdem habent rationem au logarithmicam: & eadem, ad equealtas.' oth. Rationes A, & B sunt aequealtae. Dico A rationem, ad C, esse togarithmice, ut F, ad C. Et C rationem, ad A, esse togarithmice, ut G ad F.
Sumantur ipsarum A, B, aequemultiplicatae rationes D, E: & sumatur F ratio multiplicata, rationis C.
166쪽
De-nsb. Quoniam A ad C, ratio est logarithmica; cuius inaequalitatis est ratio C, eiusde est & A: item quoniam B ad C, ratio elesogarithmica ; cuius inaequalitatis est C, eiusdem est& B: ergo A, B rationes , eiusdem inter se sunt inaequalitatis: &sunt A, B aequealtare ergo sunt eaedem inter se. si enim non essent eaedem inter se, esset una remo-l tior ab squalitate,quam altera,& non essent squealtae. Sumptae autem sunt D, E aequemultiplicatae rationum A, B earumdem inter se: ergo etiam D, E, sunt eaedem inter se rationes, &arqueatis. Ergo si D est altior,quam ' etiam Ealtior est, quam ' si aequealta; aequealta: si depressior; depressior. Ergo ratio A ad C, est lo-garithmich, sicut ratio B ad C. Quod&c. Necnon ratio C ad A, est logarithmice, sicut C ad B. Quod Scc.
R Ationum non aequealtarum, altior ad eandem, maior est logarithmice, quam depressior: N eadem ad depressiorem, maior est logarithmice, quam ad altiorem. Hypot Esto ratio A P altior, quam P. Dico A F, ad C, maiorem esse togarithmice quam B,
167쪽
Et C, ad P, maiorem logarithmice, quam C, ad A B.
Praepar. ς' Demon'. Sumatur A ratio, quaecum B, componit rationem A B: & duarum rationum A, B, sum, tur altera non altior, quae sit A: & rationis A, to-def. .h. tuplicata D, quoties Oportet, ut fiat altior, quam
C; & rationis P, aequemultiplicata sumatur E. Quoniam A, non est altior, quam F; & D, Et sunt aequemultiplicatae ipsarum oportet D non esse altiorem, quam E. si enim esset altior;exijsdem, vel ex propioribus aequalitati, utrisq; ma-cotra p. IOris,vel utrisque minoris inequalitatis rationibus,p-σp 3 csset remotior ab squalitate ratio composita.ergo
D, est altior,quam C: ergo E, est altior, quam C. Sumatur ipsius C, bis,ter,quater,vel deincep
def.7. b.iquotieS Oportet, multiplicata ratio F, ut fiat primo altior quam L. Quare ratio F, non est altror, quam ratio E C: est autem D altior, quam Crcrgo D E altior est, quam E- C. alioquin ex remotioribus ab aequalitate rationibus, utrisque maioris, vel utrisque minoris inaequalitatis, non altior fieret composita ratio, ideoque non rem Otior ab aequalitate, contra p. p. dip. 3. Sed F. non
est altior, quam E- C: ergo D E, est altior, quam F: N est E depressor, quam F: Sc sunt f D, E rationes aeque multiplicatae, rationum A, B: p. b. t SD E ratio,est squem ultiplicata, rationis A-FB: Ergo
168쪽
defi biErgo A-, B ratio, ad rationem C, maior est Io- fi Aigarithmice, quam S ad C. Quod &c. Et ratio C, ad rationem B, maior in logarithmice, quam C, ad A B. Quod Sec.
QVae, ad eamdem, eamdem habent rationem logarithmicam; inter se sunt eaedem rationes logarithmice: S ad quas eadem, eamdem habet logarithmicana; inter se sunt eaedem rationes logarithmicae. Hypoth. I. Ratio A ad rationem C, esto togarithmice, sicut ratio B ad rationem C. Dico rationes A, B, cisteasdem inter se. Demons,. Quoniam A ad C, & B ad C, sunt rationes dem .h.ilogarithmicae ; cuius inpqualitatis est C ratio,maioris, vel minoris;eiusdem sunt A, & S rationes:
quae si non eaedem essent inter se,non essent aequestae: N assignaretur earum altera altior. Assigneturii. h. A, si fieri potest, altior, quam R ergo A ad C, maior est logarithmice,quam B. contra poth. Esego rationes-B, sunt eaedem inter se. Quod &α Hypoth. 2.
Ratio G ad rationem A, esto togaeithmice, sicut ratio G ad rationem P.
169쪽
Dico rationes A, B, esse easdem inter se. Demonstri ix. b. Assignetur A, si fieri potest depressior, quam B: Ergo C ad A, maior est logarithmice, quam ad Ee contra hypoth. Ergo A non est depressior, quam B: item demonstrabitur, quod neque Bir. b. est depressior, quam A: sunt ergo A, B rationest aequealtae, di eaedem inter se. Quod&c.
RAtionum, ad eamdem rationem, qaee maior est lo-garithmice, illa est altior: N ad quam,eadem maior est logarithmice, illa est depressior.' th. I. Ratio A, maior est logarithmice ad C, quam S. Dico A, altiorem esse, quam S. Demonstri Esto A non altior, quam B, si fieri potest. erit itaque vel aequealta, vel depressior. Sunto A, B tr. h. aequealtae,si fieri potest. Ergo A ad C, est log rithmice, sicut P. contra b oth. Esto A depresera. b. sior, quam R, si fieri potest. Ergo B ad C, minor est logarithmice, quam A. contra hypoth. Ergo non est . aequealta, neque depressior, quam Fet ergo est altior. inod &c. HV
170쪽
mpoth. 2. Ratio C ad maior in logarithmice, quam ad P. Dico A, depressiorem esse, quam P. Demonstr.
Esto A non depressior, quam F, si fieri potest. erit itaque vel aequealta, vel altior . Sunto A, Bii. h. aequealtae, si fieri potest. Ergo C ad A, est logarithmice, sicut ad P. contra h οὐ. Esto A altior, I x. h. quam si fieri potest. Ergo C ad A, minor est logarithmicE, quam ad P. contra hypoth. E l go A non est aequealta, neque altior, quam Β:l ergo est depressior. Quod &c.
Quare &c. Theor. I 1. Prop. I F.
O Vae eidem sunt eaedem rationes, inter se sunt esdem, tum logarithmice, tum absolute. 'poth. I. Rationes A ad B, togarithmice sunt, ut quantitates eia in Ne ad d quantitates, ut quantitates e ad fDico rationes A ad 2, logarithmice esse, licui quam litates e ad fHypoth. I. Rationes A ad B, togarithmice sunt, ut quantitates cia in & e ad d quantitates, sunt sicut logarithmice rationes E ad F. Dico rationes A ad P, este togarithmich,sicut rationes E ad F. Y a H