장음표시 사용
171쪽
'poth. 3. Quantitates a ad ι, sunt inter se, sicut logarithmice, rationes C ad 22:& rationes C ad D, togarithmice sunt, sicut quantitates e ad fDico is ad b, esse ut e ad s. HI H. q. Quantitates a ad sunt inter se, sicut logarithmice, rationes C ad D: & rationes C ad D, togarithmice sunt, Vt rationes E ad F. Dico quantitates a ad ι esse, sicut logarithmice , rationes E ad F. H poth. F. Rationes Ces ad B, togarithmice sunt, ut rationes Cad D: &rationes C ad D, togarithmice, ut rationes E ad F. Dico rationes A ad B logarithmich esse, sicut rationes E ad F.
Sumantur ipsarum rationum,uel quantitatum A, C, E, aequemultiplicatae, & aequemultiplices, 3 A, 3 C, 3 E necnon ipsarum S, D, F, aequemultiplicatae,&aeque multiplices, AN, AD, qF.
f. νο l Si 3A, altior est, vel maior, quam Us etiam altior est, vel maior, quam qD. Quod sit 3 C, i altior est, vel maior, quam etiam 3 E altior Lest, Vel maior, quam 4 F. Ergo si 3 A altior est, vel
172쪽
vel maior,quam B; etiam 3 E altior est,uel maior , quam qF. Item si aequealta, vel aequalis; etiam aequealta, vel aequalis: si depressior, vel m des 8 vel non etiam depressior, vel minor. Ergo propor- αλ- ei tionales sunt siue rationes, siue quantitates, Vel
μ' mixtim A ad B, sicut E ad F: tum logaritum, j se, siquae sunt rationes; tum absolute, si nullae sunti rationes, sed solum quantitates. Quod Scc.
Quare &c. Theor. I 6. Prop. I 6.
SI sint quotcunque rationes logarithmice proportionales, quemadmodum se habuerit togarithmice una antecedentium ad unam consequentium; ita togarithmice se habebit composita ex omnibus antecedentibus,ad compositam ex omnibus consequentibus.
Rationes A ad P, & C ad D, S E ad F, sunt logarithmich proportionales. Ex rationibus A, C, & E com
Dico A C E ad B-D-F, & A ad P, esse togar, thmice proportionales.
Rationum A, C, E sumantur aequemultiplicatae rationes 3 A, 3 3E: ex quibus composita ratio 3 3C- 3 E. Item rationum F, sumantur aequemultipli
173쪽
catae rationes AB, D, 4F: ex quibus composita ratio
. a. . Quoniam A ad & C ad D, sunt logar, thmich proportionales: si 3 altior est, quam F; etiam 3 C altior est, quam D: si aequealta; quealta: si depressior; depressior. Item quoniam C ad D, N E ad F, sunt logarithmich proportionales: si a C altior est, quam qQ etiam 3E, altior est, quam qF: si aequealta; aequealta: si depressior; depressior. Ergos 3 A, altior est, quamqS: etiam 3A- 3 C -- 3 E altior est quam D AF : si aequealta; aequealta: si depressior; de-
Quare Sec. - Theor. I T. Propos IT.
SI sex vel rationum, Vel & quantitatum mixtim, prima ad secundam eamdem habuerit rationem, quam te tia ad quartam: tertia Vero ad quartam maiorem habuerit, quam quinta ad sextam: etiam prima ad secundam, malo. rem habebit, quam quinta ad sextam.
174쪽
antitates a ad b, de e ad c sunt proportionales: sed quantitatum e ad d ratio, maior est, quam logarithmica, E ad F rationum. Dico quantitatum a ad , Tationem maiorem ess , quam logarithmica E ad F ratioaum.
Quantitates a ad b, & rationes c ad D, sunt lo-garithmice proportionales: sed rationum logirithmicita ratio C ad D, maior est quam quantitatum e ad s. Dico a ad , maiorem eo quam a ad fmpoth. 3. Rationes A ad S, & quantitates e ad c sunt lo-garithmice proportionales: sed quantitatum ratio c adri maior est, quam e ad fDico rationum logarithmicam A ad B, maiore moesse, quain e ad s. Hypoth. Quantitates a ad b, di rationes C ad D, sunt lo-garithmice proportionales: sed rationum C ad D logarithmich maior est, quam E ad F.
Dico quantitatum a ad b rationem maiorem esses, aquam rationum logarithmica E ad F. Hypoιh. . .
Rationes A ad P, S quantitates e ad d sunt proportionales logarithmice: sed quantitatum c ad 4 maior est rato, quam logarithmica rationum E ad F. Dico
175쪽
Dico A ad B, maiorem esse togarithmice,quam E ad F. H oth.6. Rationes A ad S, & C ad D sunt proportionales: sed C ad D ratio, logarithmich maior est, quam e ad s. Dico rationum A ad B logarithmicam rationem, maiorem esse, quam quantitatum e ad fmpoth.T. Rationes A ad R& C ad D, sunt proportionales: sed C ad D rationum ratio togarithmice maior est quam Ead F ratio togarithmica. Dico A ad B logarithmice maiorem esse, quam E ad F.
Sumantur aequemultiplicate rationum rationeS,&eque- multiplices quantitatum quantitates; antecedentium A, C, E, antecedentes 34 3C, 3E; & consequentium B, D, F consequentes qF, D, qF: secundum eas muli, plicationes; quibus 3 C, altior quidem est,uel imaior,quam D; sed 3 E, non altior, vel non maior est, quam qF.
des vel Quoniam 3 C est altior, vel maior, quam m ergo etiam 3 A est altior, vel maior, quam F:&def. io.tinterim 3 E non altior est, vel non maior,quam Αθ . ergo A ad P, maior est, quam C ad D, .uξ logarithmice, siue absolute. Quod Sc.
176쪽
RAtionum logarithmice proportionalium, si prim iasuetit altior quam tertia S erit.& secunda altior, quam quartae si aequealta ; aequealta : si depressior ue depres
Rationes A ad B, & C ad D, sunt logarithmice pro
Hypoth. I. Altior est ratio A, ratione C. Dico, quod altior est ratio 2 , ratione D. Demonstr. Esto, si fieri potest, non altior B ratio, quam Dr ergo vel est aequealta, vel depressor. Esto sita. b. fieri potest aequealta. Ergo A ad B, maior est r. h. logarithmice, quam C ad B: sed C ad N eadem et . h. est logarithmico, quae C ad D. Ergo A ad B maior est logarithmice quam C ad D, contra hypoth. Non sunt ergo P, D rationes aequealtae. Q. h. Fn o, si fiet i potest, B depressior, quam D. Er go C ad 2 , maior est logarithmice , quam C ad poth. D. Sed A ad est logarithmice, ut C ad D. Er-r . h. go C ad P, maior est logarithmice, quam A ad , i . h. N. Ergo C altior est, quam A. contra hypoth. Non est ergo B depressior, quam D; ne tu aequealtar ergo B est altior, quam D. Quod&c.
177쪽
'poth. a. AEquealtae sunt rationes A, C. Dico quod & aequealtae sunt rationes S, D. . Demonst. Sunto B, D non aequealtae, si fieri potest: NI 1. b. esto B altior, quam Ergo C ad D, maioris ib. est logarithmice, quam C ad B. Sed A ad 2 ea-r7. b. dem est logarithmicε, quae C ad D. Ergo A adiri maior est logarithmicti quam C ad F. Ergo A, altior est, quam C. contra hypoth. Sunt ergol F, D aequealtae. Quod&c. Hypoth. Depressior est A, quam C. Dico quod & B depressior est, quam D. Demonstri. p. b. t Altior est C quam AE N est C ad D logar sit. thmice, ut A ad B: ergo altior est quam F: desa. b. t ergo depressior est B, quam D. Quod&c.
Quare &c. Theor. I s. Prop. I9.
SVbmultiplicatae rationes, cum pariter multiplicatis, in eadem sunt ratione togarithmica, si prout tibi mutuo
respondent, ita sumantur. Hypoth. Rationus, F, sunt aequemultiplicatε rationes 33, 3 R.
Dico A ad B, atque 3 A ad 3 P, esse togarithmice pro
178쪽
Demonstrinationes A ad P, & A ad B, ad B, quo i6. b. cunque Oportet cceptae, sunt proportionales:e go ex antecedentibus composita 3 A, ad ex Consequentibus compositam 3 B, est logarithmice,
RAriones logarithmict proportionales , permutando, sunt logarithmice proportionales. Sint rationes logarithmice proportionales, A ad B, ut C ad D. Dico permutando, esse togarithmice proportionales, A ad G ut B ad D.
Rationum A, B, sumantur aequemultiplicats 3 A, 3B:& rationum C, D, aequemultiplicatae a C, a D. Demon'. rs. b. Rationes 3 A ad 3S, & A ad sunt lo-garithmice proportionales. item A ad B, Cis. h. ad α item C ad D, & a C ad 2D. Ergois. h. 3 A ad 3R S a C ad aD sunt logarithmicei g. b. proportionales. Ergo si 3 A, est altior, quam a C; etiam 3N, est altior, quam 2D: si aeque- alta; aequealta. si depressior; depressior. Ergo AZ a ad C,
179쪽
RAtiones inter se, vel & cum quantitatibus, logarithmice proportionales, diuidendo, sunt logari
thmice proportionaleS. - - - .
Sumantur ipsarum A, B, C, D, aequemultiplicatae 3 A, SP, 3C, 3D: necnon ipsarum C, D, aliae quaelibet aequemultiplicatae qC, qD. Demons Rationes 3 A, 3 equemultiplicatae sunt ra- p. b. tionum A, Ergo ratio 3A'3B totuplicata constr. est rationis M- B, quotuplicata est 3 A iplius p. h. .idis necnon 3 C, & 3D ipsarum C, & D necnon ratio 3C- 3 D rationis C D. constri Rationes quoque 3 C, SD, rationum C, D,ia rationes qC, s , earumdem C, D rati 3. h. , num sunt aequemultiplicatae: ergo etiam 7 . TD, earumdem C, D rationum sunt aequemulti-
180쪽
'poth. t Et quoniam rationes A, B ad B, & C D.esia. b l ad D, sunt logarithmice proportionales: s , A-3B, altior est, quum TF, etiam altior est, quam 7D: si aequealta; squealtar side- pressior; depressor. Sed si s t altior est, quam qm adcomposita
communi ratione 3 R etiam 3A 3B altior est, . 3. t quam TN. nam eiusdem maioris, Iael eiusderrta minoris inaequalitatis, ex remotioribus rationibus ab aequalitate, composita ratio, est remotior; se ex propioribus, propior. Nostensum est, quodsi 3 A-- 3B, altior est quam 7B; etiam 3 3D, altior est, quam 7D: & seposita communi rati η- 3- l ne 3'D; altior est 3 C, quam qO. nam si . 3C, non esset altior, quam D: composita, 3 D; fie-rct ratio 3C 3l , non altior, quam TD. contra si perius probala.
Ergo si s A altior est, quam B, etiam 3 C altior est, quam qD: similiter ostendetur, sisque-dem. b l alta; aequealta: si depressior; depressior. Ergo A adl B, est logarithmich, ut C ad D. . inod&c.
Rationes Α- B ad B, & quantitates a b ad b, sunt logarithmice proportionaleS. . Dico diuidendo, rationes A ad B, dc quantitates a adb esse togarithmice proportionat . .