장음표시 사용
181쪽
Rationum A, B, & quantitatum sumantur sque- multiplicati rationes 3A, 3 F, diaequemultiplices quanti tales 3a, item rationis B, & quantitatis b, multiplicata ratio ψB, Naequemultiplex quantitas Demonstr. Ratio 3A-- 32', totuplicata est rationis A B, quotuplicata est 3A, ipsius AE &quantitas 3a, quantitatis & quantitas 3b, quantitatis b; &quantitas 3a- 3b, quantitatis a LQuantitates quoque 3 a, 3b, quantitatum ε& quantitates qa, earumdem a, b, sunt aequemultiplices: ergo Ta, 7b, earumdem ' b, sunt aequemultipliceS. Et quoniam rationes A B ad F, & quant, tales a b ad b, sunt logarithmice proportion, test si 3A- 3 B, altior est, quam 7F; etiam 3 a 3b, maior est, quam 7ό: si aequealta; aequalis: si depressior; minor. Sed si 3 A, altior est, quam qB; etiam 3 3B, altior est, quam 7B: &si 3a-3b, maior est, quam 7b; etiam, dempta communi 3b, relinquitur 3' maior quam b. Ergo sit 3A, altior est, quam qF; etiam 3a, mgior est, quam que & similiter ostendetur, si aequealta; aequati: si de-dressior; minor. Ergo rationes A ad &quantitates a ad b, sunt logarithmice proportionales. Quod &c. Quare &c.
182쪽
R Ationes inter se, vel & cum quantitatibus, togaruthmice proportionales, componendo, sunt logar thmice proportionales. Hypoth. I. Rationes A ad S, & C ad D, sunt logarithmice prinportionaleS . Dico componendo, rationes A B ad & G D ad D, esse togarithmice proportionales. LPraepara
Assiimatur E ratio, ad quam C D sit togarithmicε, sicut A-B ad B. Demons,. constr. Quoniam A B ad B, & C- D ad Ε, spnt lo-21. b. gartihmice proportionales: ergo diuidendo ad B, &C-D - E ad C sunt logarithmice bypoth. proportionales. Sed A ad B, & C ad D sunt 3I. h. logarithmice proportionales. Ergo C ad D, &C D - E ad Ε, sunt logarithmicε proportionales. Ergo D, aequesta est, ideoque eader , atque E. a 3. b. Nam si D, esset altior, quam Eo esset C altior, 4. 3. quam C-D-E. Sed contra, esset C D altior, . 3- quam C iE: & CH D-E, altior, quam C: quod est contradicti o. Rursum si D, esset depressior,r . b. quam di esset C, depressior, quam C D-E.
183쪽
q. 3. & C-D-E, depressior, quam C: quod est contradictio. Ergo D eadem est, atque E. Ergo C D ad I 8. h. l D,& C D ad Ε, sunt proportionales logarithmi-een'. ce. Sed A--R ad B est ut CAD ad E: ergo A s. h. --2ῖ ad est ut C D ad D Iogarith ce. Quod M. 'poth. I. Rationes A ad P, & quantitates a ad b, sunt logarithmice proportionaleS. Dico componendo, rationes B ad B, & quantitates a b ad ι, esse togarithmice proportionales.
Praeparisi Alsumatur e quantitas, 'ad quam, a 'b est logarith in ce, sicut ratio A P, ad rationem B. Demonstri constr. Quoniam A B ad B, & a b ad si sunt Io-garithmice proportionales: ergo diuidendo A ad '. - & a-b c adc, sunt logarithmice, propor-upoth. tionales. Sed A ad S, & a ad A sunt logar is . b. thmice proportionales. Ergo a ad b, & a b- c adc, sunt proportionales. Ergo b, c, sunt
quantitates aequaleS. .r s. Namsi b, maior esset, quam c: esset maior, quam a b - c. Sed contra, esset a b, maior, quam a c: Se ais, si maior, quam α quod
' oeli contradictio. Rursum ti b, minor esset, quamc: esset
184쪽
quam ar quod est contradictio . 7. . Ergo b, c, sunt aequales. Ergo a b, ad heonstr. est ut a b ad c: Sed ratio A B ad rationem et F. h. B, emogarithmice, ut quantitas a'b ad quantitatem c: Ergo etiam est logarithmice, ut ais b
Quare Sc. Theor. 23. Prop. 23.
SI quemadmodum tota ratio, ad totam, ita togarithmice fuerit abscissa ratio, ad abscillam: erit & residua, ad residuam, sicut logarithmice tota ad totam. Hupoth. Rationes B ad C D, & A ad C, sunt proportionales logarithmice. Dico etiam A, B ad CH D, Se S ad D, esse proportionalcs logarithmice. Demon P. hypoth. Rationes A B ad C D, Se A ad C, simiao. h. proportionales logarithmice: ergo permutando, ai. h. sunt proportionales logarithmice A B ad Ade C D ad C: ergo diuidendo, B ad A, de ψ- Φ- D ad C, sunt proportionales: ergo permutan-l do F ad D, de A ad C, sunt proportionaleS: i Sed A ad C, Se A-B ad C D sunt proportiO
185쪽
s. h. nales. Ergo A B ad C 'D, & B ad D, sunt logarithmice proportionales. Quod &c. Quare &α
Si sint tres rationes, atque tres quantitates, quae binae,& in eadem ratione togarithmica sumantur: ex aequo autem prima ratio, quam tertia, altior fuerit; erit & prima quantitas, quam tertia, maior quod si prima ratio, steritaequealta tertiae; erit & prima quantitas, aequalis temae: sin illa depression hec quoque minor erit. Et e conuerso.
Tres rationes A, B, C, & tres quantitas a, b, c, binae, & binae, sunt logarithmice proportionales: A ad B, ut a ad b, B ad C, ut , ad c.
N poth. I. Altior est ratio CA, quam C. Dico, maiorem esse quantitatem a, quam c. Demon .
Ratio B ad C, maior est logarithmice,quam B ad A: sed ι ad c est logarithmice ut B ad . C: N B ad A, est logarithmice, ut , ad a: ergo b ad si maior est , quam b ad a. Ergo
maior est a, quam e. Quod Sec. Hypoth. Σ. AEquealtae sunt rationes A, C. Dico, aequales esse quantitates AE, c.
186쪽
3 r. h. Ratio B ad C, est logarithmich, ut B ad , , . A. Ergo b ad e, est ut , ad a. Ergo aequules sunt ' c. Quod 3cc. Hvoth. 3. Depressior est ratio quam C. Dico, minorem esse quantitatem a, quam GDemoniis. des p. b. Altior est, C, quam A: ergo maior est si Iup. quam a: Ergo minor est ' quam c. Quod&c. Eodem modo demonstrabitur e conuersor quod si aquantitas, maior est quantitate et etiam ratio A, ratione C est altior: si aequalis ; aequealta: si minor ; depressior.
SI sint tres rationes, aliaeque ipsis aequales numero, que binae, & in eadem ratione togarithmica sumantur: ex aequo autem, prima quam tertia altior fuerit; erit & quamia, quam sexta altior. inod si prima tertiae fuerit aeque- alta; er t& quarta aequealta sextae . sin illa depressior; haec quoque depressior erit. Doth. commum
Tres rationes A, B, C, aliaeque tres D, E, F, binae, & binae sunt legarithmice proportionales: A ad F, ut D ad B ad C, ut E ad F. Αa a fist
187쪽
Hypoth. I. Altior est ratio A, quam C. Dico altiorem esse D, Quam F. Demonst-
, b. t Maior est B, ad C, togarithmich, quam N adispoth. A. Sed B ad C est logarithmice, ut E ad ' Ndefiα.b ι B ad A, logarithmice, ut E ad D. Ergo maiori . b. t est E ad F, logarithmice, quam E ad D. Ergo i . h. l altior est D, quam F. Quod&c.
Hypoth. 2. AEquealtae sunt rationes A, C. Dico, tequealtas es e rationes D, . F. Demonstr.
ii. h. i Eadem est B ad C, togarithmice, quae 'SIv. l ad A. Ergo eadem est E ad F logarithmice quae 13. b. E ad D. Ergo aequealtae sunt rationes D, P . Quod &c. HVpoth. 3. Depressior est A, quam C. Dico, depressiorem esse D, quam RDemonstr. Vp. b. t Altior est enim C, quam A: ergo altior est mx t quam D: ergo depressior est D,quam F.Quod &c.
Quare &c. Theor. 26. Prop. 26.
188쪽
perturbata earum proportio : ex aequo autem prima quantitas, quam tertia, maior fuerit; erit & prima ratio , quarria tertia, altior . Quod si prima tertiae fuerit aequalis quantitas; erit & prima tertiae, aequealta ratio: sin illa minor, hec quoque depressior erit. Et E conuerso. H pH. communis Tres quantitates a, b, c, atque tres ratione&A, B, C, bins, & binae, sunt logarithmice, proportionales; & earum perturbata est proportio: quantitates enim a ad b, &rationes B ad C, suntsogarithmice proportionales: necnon quantitates , ad e, & rationes A ad B, sunt logarithmice proportionaleS. Hypoth. I. Maior est . a, quam c. Dico altiorem esse A, quam C. Demonstr.
Maior est , ad e ratio, quam , ad aue Sed, ad e, est logarithmice, ut A ad B: & b ada, logarithmice , ut C ad B. Eigo A ad P, t maior est logarithmice, quam C ad B. Ergol altior est A, quam C. Quod M.
qualcs sunt ' c. Dico aequealtas esse A, C. Demonstr.
- - Eadem est , ad quae , ad a. Ergo eadem est logarithmice A ad B, quae Cad F. Ergo A, C sunt aequealtae. Quod &c. Hy-
189쪽
, Hypoth. I. Minor est a, quam c. Dico depressiorem esse A, quam C. Demonstr.
IV. t Maior est e, quam ae Ergo altior est C, quam
defi. b. t ergo depressior est Og, quam C. Quod &c. Eodem modo demonstrabitur e conuerso:quod si ratio ratione C, est altior; etiam quantitas a, quantitate si est maior: si atquealta; aequalis: si depressior; minor. Quod &c. Quare &c. Theor. a T. Pro' a T. SI sint tres rationes, & aliae ipsis aequales numero, qua binae, & in eadem ratione togarithmica sumantur;sueritque perturbata earum proportio togarithmica: ex squo autem prima, quam tertia altior fuerit;erit & quarta,quam sexta, altior . Quod si prima tertiae fuerit aequealta ; erit &quarta aequealta sextae e sin illa depressior; haec quoque depressior erit.
Tres rationes A, B, C, aliaeque tres D, E, F, binae,&bince, sunt logarithmich proportionales; & earum perturbata est proportio: sunt enim A ad B, & E ad F, logarithmice proportionales: necnon F ad C, N D ad Ε, sunt proportionales logarithmice.
190쪽
ω A. a Altior est A, quam C. Dico altiorem esse D, quam Romons,. 1 a. b. Maior est logarithmice, P ad C, quam S ad At sed B ad C, est ut D ad Et & B ad A est, 17. h. vi F ad Ε, togarithmice: ergo D ad E maiora . h. est logarithmice, quam ut F ad E: Ergo D altior est, quam F. Quod&α Hypoth. 2. aequealtae sunt A, C. Dico aequealtas esse D, F.
Demonstr. νai. b. Eadem est B ad C logarithmice, quae B ad sup . . . Ergo eadem est D ad E logarithmice, quaria. h. F ad E. Ergo D, F sunt aequealtae. Quod &α*poth. 3. Depressior est A, quam C. Dico depressiorem esse D, quam F. , Demonstrides pab. t A ltior est C, quam A: ergo altior est F, quam Dp. t m ergo depressior est quam F. Quod&e.
Quare Sc. Theor. 28. Prop. 28.
Si sint quotcunque rationes totidemque quantitates, quae binae, in eadem ratione togarithmica sumantur: