Geometriae speciosae elementa primum de potestatibus, àradice binomia, & residua. Secundum de innumerabilibus numerosis progressionibus. Tertium de quasi proportionibus. Quartum de rationibus logarithmicis. Quintum de proprijs rationum logarithmis. S

191쪽

N ex aequalitate in eadem erunt ratione togarithmica.'poth. Sint quotcunque rationes A, B, C, D, totidemque quantitates a, b, c, in binae, &binae togarithmice pro ortionales: A ad P, ut a ad A B ad C, ut b ad cic ad D, ut e ad LDico ex aequalitate, A ad C, & a ad c, esse Iogarithmi--ce proportionales.

tionaleS. Praepara

Rationis A, & quantitatis a, sumantur equemustiplicata, & multiplex, 3 A, 3a: item rationis, & quantitatis, B, b, sumantur, q26 qι: & rationis ,& quantitatis, C,

Demon stri Quoniam A ad P, & a ad sunt log rithmice proportionales: ergo 3 A ad ΑΖ, &3a ad qb, sunt logarithmice proportionaleS. Item quoniam P ad C, & ad si sunt logarithmice proportionales: ergo N ad 2C, S b ad 2 c, sunt logarithmice proportionaleS. Emgo exaequali, sit 3 A est altior, quam a C; etiami 3 a est maior, quam acet si aequealta; aequalis : si deprcssor; minor. Ergo A ad C, & a ad ciunt logarithmice proportionales. Quod&c. Sunt autem C ad D, S e ad 4 logarithmi

192쪽

QVARTUM.' 493sup. l ch proportionales. Ergo A ad D, & a ad ci sunt logarithmice proportionales. Quod&c.

Quare M. Theor. a 9. Propos 2 9.

SI sint quotcunque rationes, & aliae ipsis aequales numero, quae binae, & in eadem logarithmica ratione sumantur: & ex aequalitate, in eadem eruat togatissimi oratione.

Hypoth. Sint quotcunque rati0nes,& aliae totidem, A, B, C, D, N E, F, G, ra quae binae,& in eadem ratione sumantuta videlicet, A ad P, & E ad F: item S ad C, N Fad G necnon C ad D, & G ad HDico ex aequalitatq A ad C, &Ei ad G, esse togarithmice, proportionaleS. Item Ces ad D, & E ad H, esse togarithmice proportionales . Praepara

Rationum A, E, sumantur aequemultiplicatae, 3 A, 3E: item rationum B, F, aequemultiplicatae qF, Fr& rationunm C, G, aequemultiplicatae a C, a G.

193쪽

7. -- garithmice proportionales; etiam V ad ac, L& F ad 2G, sunt logarithmice, proportio-as. λ nales. Ergo si 3 A altior est quam ac; etlaim, -- . , 3 Ealtior est, quam 2G: si εquealta ; aequealtae si

def.na, i depressior; depressior. Ergo se ad C, & E ad c a i suntlogarithmice proportionales. Quod M. .

Quare S Theor. 8 O. Prop. 3 Q. C I snt tres quantitates, rotidhmque rationeS, quae binae D in eadem ratione togarithmica sumantur; fuerit autem perturbata earum proportio: dc ex aequalitate, in eadem eruat ratione togarithmica.

Hypoth. Sint tres quantitates a, b, c, totidemque rationes A, C, binae, S: binae togarithmice proportionales, di e rum sit perturbata proportio: nempe sint a ad K 84 Bad C, togarithmice proportionales: & b ad e, & A ad logarithmice proportionales. Dico, a ad e, & A ad C, esse togarithmice proportionat .

Sumantur ipsarum a, b, quantitatum aequemultiplices 3a, 3b, Sc rationis A, aequemultiplicata 3 A. ipsarun Jaoque rationum B, C, & quantitatis si sumantur aequeauit iplicatae rationes de aequemultiplex

194쪽

Demonstr.

Qioniam b ad e, & A ad F, sunt logarithmice proportionales: etiam 3b ad c, & 3 adsunt togam limice proportionales: sunt autem 3a ad 3b, sicut a ad & a ad sicut lo-garithmice B ad O N B ad C logarithmich, .l cui S ad C. Ergo 3a ad 3b, est ut S ad U. l Sed ostensium est, ab ad φ, esse togarithmice, Ut 3 A ad N. ergo ex aequali, si 3a est maior, quam ψc; etiam 3as est altior, quam qC: si aequalis; aequealta: sminor;depressor. Ergo a ad c, eshl logarithmice, sicut A ad C. Quod&c.

s. h. II. I. Dpoth. I9. h.

26. b.

Τ heor. 3 I. 'op. 3 I. SI sint tres rationes,aliaeque ipsis aequales numero , quae hinae in eadem ratione togarithmica sumantur, suerit autem perturbata earum proportio togarithmica: etiania cx aequalitate, in eadem erunt logarithmica ratione.

Hypoth.

Tres rationes A, B, C, aliaeque tres D, E, F, binae sunt in eadem ratione togarithmica, & earum est perturbata proportio togarithmica; sunt enim ad Se Ead M logarithmice proportionator necnon B ad C, NT E sunt k,garithmich proportionaleS. Dico, ex aequali, A ad C, & D ad F, esse togarithm,ch proportionaleS.

195쪽

Rationum eA, S, D, sumantur aequemultiplicatae 3 a, 3 F, 3 D: & rationum C, E, F, aliae sumantur εqu multiplicatae C, S, qF.

. Demonstr.

9 Rationes 3 A ad 3B, ad sunt logarithmice proportionales: rationes ad N Ery. b. ad F, sunt logarithmice proportionales: ratio nes E ad F, & E ad 4m sunt logarithmice IT. proportionales:ergo rationes 3 A ad 3 B, & ΑΔ hypoth.iad AF, sunt logarithmice proportionales. Et quonia B ρd C, N D ad E rationes, togarithmich7. b. sunt proportionales: etiam 3 B ad AC, & 3 Dad E rationes, togariimice sunt proportiona-27. h. les. Ergo ex aequali, si 3 A est altior, quam qQ etiam 3 D est altior, quam qF: si squealtaKqu defiet.bialia: si depressior ; depressior. Ergo A ad C, &D ad F rationes, sunt logarithmice proportio

SΙ prima ratio ad secundam, togarithmice suerit, sicut prima quantitas ad secundam; tertia quoque ratio ad secundam, togarithmice fuerit, sicut tertia quantitas ad secundam e etiam composita ex prima, & tertia ratione, ad secundam, erit togarithmice, sicut aggregata quantitas

196쪽

ex prima, & tertia, ad secundam. 'poth. Sint A, B, C rationes, Se a, b, c, quantitates: & sit A ad B logarithmice, sicut a ad ι item C ad B logar, thalice, sicut c ad b. Dico A- C ad S, esse togarithmicti sicut a e ad b.

. Demonstribrpotb. Quoniam C ad B, est logarithmice, sicut e ad demab.ib: conuertedo, B ad C, est logarithmice, sicut bhποιο. ad c: Sed A ad P, est logarithmice, sicut a ad Az8. b. ergo ex squali A ad C,est logarithmicti sicut a adaa. b. c: ergo componendo A C ad C, est logarithmi- Dpoth. ce, sicut a- c ad c. Sed C ad B est logarithmice, 28. h. sicut e ad b: ergo ex aequali Gin C ad B est lo-garithmice sicut a--e ad b. Quod εec. Quare M. Theor. 33. Prop. 33. SI prima ratio ad secundam, eadem logarithmice suerit, quae tertia ad quartam; fuerit autem, & quinta ad secundam, eadem logarithmich, quae sexta ad quartam rerit Ze composita prima cum quinta ad secundam, eadem , . quae composita tertia cum sexta ad quartam. 'poth.

Rationes A ad F, & C ad D, sunt proportionalenitem E ad B, Se F ad D, sunt proportionales. Dico A E ad P, & C--F ad D, esse proportionales.

197쪽

hροib. Quoniam E ad N F ad D, smiat togari- defui. hithmice proportionales: conuertendo S ad Ε, , . & D ad F, sunt iugarithmice prcportionales: poth.ased A ad P, & C ad D, sunt logarithmichas,. h. lproportionales: Ergo ex aequali A ad Ε, & Cai. h. ad F; sunt Iogarithmice proportionales: ergo componendo A E ad E, & C F ad F, sunt ' Othollogarithmice proportionales. Sed E ad B, N.19. h. F ad D, sunt logarithmice proportionales. Ergo ad P, & C- F ad D, sunt logarithmice proportionales. Quod &α

Theor. 3 q. Prop. 3 q. SI rationes quatuor fuerint logarithmice proportionales : composita ex duabus, altiore omnium, & depres siore omnium, altior est, quam composita ex reliquis duabus.

Sint rationes A ad & C ad D logarithmice proportionales: Et esto A altior, quam 2 , necnonia altior quam C. Et quoniam A altior est, quam ' C: ergo B altior est, quam D. Ergo A altior est omnium;& D depressior omnium. - . Dico rationem -- v, altiorem esse ratione.

198쪽

Quoniam A altior est, quam Fr sumatur E ratio, quacum composita P, facit rationem A: ut ita ratio Asit eadem, que B E. Item quoniam C altior est, quam D: sumatur F ratio, quacum composita D, . facit raῆtionem C: ut ita ratio C, fix eadem , quae A .ie

Demonstri. i

Quoniam A ad B, & C ad D, sunt logarithmice proportionales: &est A, eadem , quae B E: & C, eade,quae D F. ergo F EM R& D F ad D, sunt logarithmice proportion tes: ergo dividendo, E ad S, & F ad D, sunt logarithmice proportionales. Sed B altiores quam D: ergo E altior est, quam ' compolitisque communiter B, D rationibus; ergo B - Ε - D ratio, altior est, quam B, D F. Sed i S -- Ε, ratio eadem eth, quae A: N D F, e

Theor. 33. Prop. 33. i .c RAtiones proportionales, per conuecisionem rati nis , sini proportionales.

Rationes A ad S, & C ad D sunt logarithmice proportionales: Nest A altior, quam B: ideoque etiam G, altior

199쪽

altior est, quam D. . Dico A ad Α-- esse togarithmice, sicut C ad

RAtiones logarithmice proportionales,per homolo

200쪽

Petrus Mengolus, Io. Galeatio Manaio, iuueni studiosissimo. S. D. Vinlum hoc elementum, de nouis, snaturalibus logarithmis, cui quc rationis inseparabiliter proprijs,qu

cum communicarem, neminem in mea, aut cuiusquam alterius Math

matici schola, satis noui dispositum,prater te, omnium bonarum artium, oe in primis Mathematicarum s studiosissimum. Et hac profecto insignis se licitas, in comparabili virtuti accessit, meritis Excedemtissimi praceptoris tui Cassini: quod te, tum frequen um in Munao auditorem, tum in suis Apronomicis, ν Aquaticis laboribus,comuem individuum, ref

lenem nactu uerat adiutorem. Itaque cum tua mihi consuetudinem, rarius hoc anno,quam ante consueueras, offerres , mandavi, meum tui desiderium,

tib gnificari: ut meorum etiam studiorum particeps fieres,re consultor. Gratiam liberaliter fecisti,quam volebam: meque domi aliquoties conuenisti, huiu-