장음표시 사용
221쪽
SI aliquot fractiones, aliisque totidem, communem habentes numeratorem, denominatores habuerint similiter arithmetice dispositos, erunt Seipta similiter harmonice dispositae. Sunto tres fractiones, aliaeque tres, quarum commmnis numerator a: sint autem denominatores b, c, d, similiter arithmetice dispositi, atque denominatores h f t
Demonstrihn ib. t b, c, d, sunt similiter arithmetice dispositi, at-
222쪽
QUINTUM. 223def.8. b. b, c, e, s sunt arithmetice dispositi. c, 4 f, g, sunt arithmetice dispositi. 34. b. 0 , a se , a se, a D, sunt harmonice dia
N serie arithmetica, non maior, qudin dimidius term ni proximi, non est medius. Hypoth. Sunto in serie arithmetica, tres termini a, b, e. Dico h maiorem esse, quam dimidium, ad ci Demons,. Esto non maior, quam dimidius ad e, si potest: eritque squalis, vel minor, quam dimides io idius ad C eritque differentia A si desectus: cuius similis disserentia b, erit desectus. 0potb.lh c: non maior, quam dimidius.
7. abi non maior, quam Gl A non maior, quam c- b. ta
b: sion maior, quam ι - a. ι -- a: non maior, quam b. quod est absurdum ι non
223쪽
l b Eon est dimidius ad c. Quod Sec.
IN serie harmonica, terminus non minor, quam duplus termini proximi, non cli medius . .
Sunto io serie harmonica tres termini a, b, c. Dico b, minorem esse, quam duplum, ad c.
- . . . . Demonstr. . . . - . .. ---
Esto b, non minor, quam duplus ad si si po-
I . s. a': A non minor, quam a. Quod est absurdum. minor eli, quam duplus ad c. Quod lec. Quare Sc.
QVaelibet quantitas, & omnes clusi multiplices ord, natae, sunt in serie arithmetica naturali. Hypoth. Esto quantitas u, cuius multiplices ordinatae au,
224쪽
Dico ο, au, SA qu, & c. esse in serie arithmetica naturali.
Omnes differentiae is, au, & au, 3 , 54 3μ, Θ, N reliquae,sunt similes,& aequales ipli rationali u: N est v ad au dimidia. Ergo u, a V, 3μ, ω, & c, sunt in serie arithmetica naturali. Quod M.
QVHibet quantitas, & omnes eius submultiplices Ordinatae, sunt in serie harmonica naturali.
225쪽
lN duabus seriebus arithmeticis naturalibus, te mi sunt similiter proportionales,in proportione Ordinata. Hypoth. 2 '. Sint duae series arithmeticae naturales : una ' aa, 3 qa, &c. altera b, 2b, &c. Dico a, za, 3a, qa, esse similiter proportionales ataque L ab, 3b, 4b, in proportione Ordinata .
Demonstri defv.b. Defectus deinceps a, zo, 3 a, εα, sunt aequa
IN duabus seriebus harmonicis naturalibus,termini sunt similiter proportionales, in proportione ordinata. Hypoth. Sint duae series harmonicae naturales: una, a,
226쪽
tione ordinata. Quod &c. Quare&c. Theor. 23. Prop. 23.
227쪽
portionales sunt aequales. Hypoth. Sint duae series naturales: una arithmetica, ab a; altera harmonica, a b. &sint quarti termini; in arithmetica,
qa; in harmonica, b q). sit autem inter a, b, media pro
Dico si mediam proportionalem esse,inter a, ψ .
Quoniam ga, b C, simi quarti termini, imis. h. suis seriebus: Aa ad a, estquadruplus: δή b ) ad
Theor. et q. Prop. et g IN serie arithmetica duo termini, cum aequeordinatis in harmonica, sunt reciproce proportionales i, lHypoth. Sint in serie arithmetica duo termini 3' qa: Se in har
Assumatur inter aequeordinatos Io, de , 3 , medius
228쪽
229Quare &c. Theor. 2 3. Prop. 2 3. SEries naturales, arithmetica,Se harmonica, plures tem
minos habent, quam quot quisque dixerit , & cuiusl
Demons,. Nam numeri plures sunt, quam quot quisque dixerit, secundum quos accepti multiplices alprimum terminum in serie arithmetica, & se multiplices ad primum in harmonica, sunt plures termini, quam quot quisque dixerit. Quod ii multiplices accepti suerint, secundum
numeros numerois rationis: erunt in arithmetica serie termini, eamdem numerosam habentes rationem. item si accepti suerint submultiplices: erunt in harmonica, termini, eamdem reciproc Cnumerosam habentes rationem. Deinde numeri bini, eamdem numerosam habentes rationem, minimi omnium, Sc minimorum aequemultiplices numeri,secundum plures, quam quot quisque dixerit numeros, possunt accipi: R-
229쪽
sq. cundum quos acceptos, binos numeros, termini multiplices in arithmetica, di submultiplices tria harmonica, possunt accipi bini plures,quam quot quisque dixerit, eamdem numerosam habentes
rationemia. Quare &c. Theor. 26. Prop. 26.
IN serie arithmetica naturali ab unitate, termini suae, unitas, & omnes numeri ordinatim accepti, Demonstr. Nam in serie arithmetica naturali ab unitate, i s. h. Omnes termini sunt, ipsa unitas, & omnes multiplices ad unitatem, ordinatim accepti: sed numeri sunt multiplices ad unitaternόde eorum ordo, est idem multiplicium. Quod&c. Quare &c. Theor. a T. Prop. a T. IN serie harmonica naturali a rationali,termini sunt, ipsa rationalis, &sractiones, pro communi numerator , haben tes rationalem, & pro denominatoribus, habentes
Dcmonsi,. Nam in serie harmonica naturali a rationali,eto. h. termini sunt, ipsa rationalis,& omnes cius subdef.:ςh l multiplices ordinatim accepti. Sed fractiones, in
230쪽
m quibus ipsa rationalis est numerator communi S, & Omnes numeri sunt denominatores, ips, sunt submultiplices ad rationalem; & earum ordo, est idem ordo numerorum, per quos ipsae submultiplices ordinantur. Ergo ruc, Quare &c.
SI fuerint duae series totidem terminorum ;& inter primos, idem suerit medius proportionalis, qui inter secundos , inter tertios, S deinceps inter aequeordinatos: fi- quidem in prima serie, sunt quatuor arithmetice disposui; in secunda serie, sunt quatuor harmonice dispositi. Hypoth. Sint in prima serie, quatuor arithmeticὸ ordinati, a, ac, cM: sit medius in &sint in altera serie ordinati
harmonice dispositios. Demonstr.
Quoniam a ad A est ut d ad det a ;idest quatuor pi oportionalium prima quantitas est a, secunda & tertia elia: ergo quarta est fractio, cuius numerator, secunda potestas di denominator , prima quantitas a. Similiter ostendetur quod da 9M , est secu uda potestas 4 denominata per a-I: & da c , ὴecunda pote- testas ri denominata per cet & denique d10- η,