장음표시 사용
231쪽
c- H, secunda potestas 4 denominata per c br
quatuor si actiones: quarum numerator communis, secunda potestas δ, denominatoreS Vcro, sunt quatuor arithmetice dispositi, a, a b, c, c
i sunt harmonice dispositae. Quod&c.
QVorum productorum quidam sunt communes, qui
dam non communes producentes, aggregatum,est productus producentium communium, & aggregati producentium non communium. Hypoth. Duorum productorum ab, ac, communis producens esto a: non communes sunto b, c; quorum summa d.
232쪽
Theor. 3 o. Prop. 3 P. QVorum productorum quidam sunt communeS, qui dam non communes, & inaequales producentes,disserentia, est productus producentis communis , Mdifferentiae producentium non communium. Hypoth. ' . Duorum productorum as, ac, communis producens esto non communes sunto b, c: & esto b maior,quamn quorum differentia d.
O Vatuor proportionalium productus extremorum , est aequalis producto mediorum. Hypoth. Sunto proportionales at, b: α, d.
Assumatur productus alternorum a G
233쪽
ad: bc. Quod &c. Quare &c. Theor. 3 2. Prop. 3 2. QVatuor termini, quorum extremorum productus est aequalis producto mediorum, sunt proportionales. Hypoth. Quatuor terminorum a, b, c, d, productus extremorum ac &productus mediorum , si sunt aequales. Dico b: c; d.
Assumatur productus alternorum aciDemonstr.
Quare &c. Or. 3 3. Prop. 3 3. SI fuerint duae series totidem terminorum inter primos idem suerit medius proportionalis, qui inter s
234쪽
cundos, inter tertios, & deinceps inter aequeordinatos e siquidem in prima serie, sunt quatuor harmonice dispositi; in secunda serie,sunt quatuor arithmetice dispositi. N Otho Sint in prima serie quatuor harmonice ordinati a, b, c, in & sit medius e: &sint in altera serie ordinati ea axea
Dico eas , ea η, ea st , ea GL esse arithmetice dispositos.
Theor. 3 q. Prop. 3 q. QVatuor termini harmonice dispositi, permutando, sunt harmonice dispositi.
235쪽
236 ELEMENTUM Dico permutando ' e, b, d esse harmonice dispo.
.πρib. t a, b, c, d sunt harmonich dispositi. 33, b. t fg, h, i sunt arithmetice disposti. . h. l f, h, g, i sunt arithmetich dispositi. α8. h. t a, e, b, d sunt harmonice dispositi. Quod&e.
Theor. 33. Prop. 3 SI suerint aliquot quantitates in una serie, similiter harmonicie dispositae, atque aliae totidem, in inera. runt LX aequalitate harmonica, prima&vstima, in una seri , item prima & vltima, in altera, dispositae harmonice.
Sint a, b, e similiter harmonice dispositae, atque aligrotidem 4, e, sDico ex aequalitate harmonica, esse dispositas harm nice, a, si de ri f.
236쪽
s. h. t b, 4 m, o sunt arithmeticὰ dispositae. α8. h. t c, d, s sunt harmonicE dispositae. Quod&e.
HArmonice dispositarum equesubmultiplices, sunt
Sint harmonich dispositae a, b, c, in quarum atque
Assumatur quaelibet quantitas e. & fiat
237쪽
a, b, c, d, sunt harmonice dispositae, . i.
i, sunt arithmetice dispoliis.
36, 3ges' 3b, 34 sunt arithmetice dispositae.
Quare &c. Theor. 3 T. Prop. 3 T. I fuerint aliquot primat qualitates,arithmetice similiter dispositae, atque aliae totidem secundae, utraeque imvna serie: fuerint autem S aliae totidem quantitates prinas, aliaque totidem secundae in altera :&suerit una eaderria quantitas media proportionalis inter primas primarum ,& in-
238쪽
& inter secundas primarum, & deinceps inter aequeordia natas; item inter primas secundarum, & inter secundas,lcdeinceps inter aequeordinatas: erunt in secunda serie primae similiter harmonice ordinatae, atque secundae. .
Quoniam enim primarum in prima serie pri-def.8 Inima, & secunda; & secundarum in prima serie pri- Σ3. h. ma ,& secunda, siunt arithmetich dispositae r constat, quod etiam in secunda serie primarum prima, se secunda; S secundarum prima, & secunda, sunt harmonich dispositε .constat similiter, quod in secunda sene, primarum secunda, & tertia; &secundarum secunda, & tertia sunt harmonich dispositae . Et ita deinceps usque ad ultimas prima- defr6apirum, & secundarum. Quare primae in secunda, serie, sunt similiter harmonich ordinatς, atquυ
Theor. 3 8. Prop. 3 8. SI fuerint aliquot primae quantitates harmonich sim liter dispositae, atque aliae totidem secundae, utraeque in una seris:suerint autem &aliae totidem quantitates pri-mς, aliaeque totidem secundar, in altera serie: & fuerit una eadem quantitas media proportionalis inter primas primarum , & inter secundas primarum, & deinceps interaequeordinatas; necnon media proportionalis inter primas secundarum,& inter secundas secundarum, & dei ceps
239쪽
ceps uater aequeordinatas: erunt in altera serie, primae similiter arithmetice dispolitae, atque secundat.
defit Quoniam enim primarum in prima serie pruma S secunda ,& secundarum in prima serie,pri-3ῖ h ma & secunda, sunt harmonich dispositata. Constat, quod & in secunda serie, primarum prima & stacunda, & secundarum prima & secunda, sunt arii thmetice dispositae. item. ostendetur, quod pri j marum in secunda serie secunda,& tertia,Se secum ' darum secunda S tertia, sunt arithmetice dispositae. &sic deinceps usque ad ultimas primarum,def.8. h. & secundarum . Quare primae in fecunda seri , t sunt similiter arithmetice dispolitae, atque secuds
Theor. 3 9. Prop. 3 9.INter duas quantitates media proportionalis, eade est etiam inter submultiplicem unius, & aequemultipli
Esto inter duas a, b, media proportionales Q. Nesto ipsius is, submultiplex a 3 , Niplius b, aequemultiplex Dico a 3 ; c: c; 3b.
240쪽
Theor. Q. Prop. 4 P. IN strie harmonica naturali, aliquotent ab uno, Raliquotent ab altero, per numeros alterutrorum multitu
dinis terminorum submultiplicati; sicut primi quoventes, similitcr secundi , sunt harmonice dispositi: item tertij,&quarti, & sic deinceps. Hypoth. Sint in serie harmonica naturali duo termini a, b: A aba, sumantur terni cibquadrupli; S a b, quaterni subtripli. Dico primos ternos subquadruplos ab G & primos sit btriplos a b, similiter esse dispositos harmonice; atque secundos subquadruplos ternos ab A & secundos subtria plos quatern OS ab.
Ordinetur series arithmetica naturalis: in qua sint, caequeordinatus, atque a; & d aequeordinatus, atque b. sumanturque quadrupli terni a si & tripli quatetrni a T. Q matur etiam inter a, & e medius proportionalis e. Demonstri constr. Quoniam e, medius proportionalis est inter a,ce medius etiam proportionalis est intcr b, H &23. b. inter aequeordinatos terminos in utraque sorte na-3s. h. turali arithmetica, & harmonica. item est medius proportionalis inter multipliccs terminori ni at thmeticae seriei naturalis, Ninter aeque si binulti-7. h. plices terminorum halmonicae sed quadrupli ter