장음표시 사용
251쪽
, Sumarur numerus , toties, quotus est de de simi sumpti numeri ef θ, gh, hi, ix. item numerus d toties, qu tus est b: & sint sempti numeri et, M, mn, nx. Suma tur iterum , toties,quotus est de & stat sumpti numeri Κειν, pq, c , ra. N iterum sumatur toties, quotus est h& sint sumpti numeri xt, tu, ux, M. Demonstri
Quoniam productus b per d, est aequalis producto d per bo summa numerorum vi, II, gh
hi, ik, summae numerorum ei, - , mn, nX, est artialis: Se summa numerorum G, F, pq, cir rs, summae xi, tu, ux, υ, est aequalis. Sunt autem &singulae partes e , singulis G partibus aequales; & omnes, omnibuS: & H, ci, si, em, A, en, ei, est, ipsis Eo, kt, V, u, hei, kx, r,is; singuli numeri, singulis squales eorum diseserentiae aequales, & sin es: atque omnes Ordinatim accepti,ut supra,vsque ad ., limiliter arithmetice sunt dispoliti, atque omnes reliqui, usque ad s. Et sicut demonstratum est, quod
252쪽
3 ita in praesenti demonstrabitur, eodem prorsus 3 argiamento, quod i
mn en , nx 0XI sunt componentes primum seriei A. ita demonstrabitur in pnesenti, quod eo , ot'φ es, pu-M 3 9 θ, η'-ψ 00, ram es , sunt termini componentes prologarithmum secundum striei C: & quod D et , tu stu), ux e , xs eo, sunt componentes secundum prologa- rithmum seriei A. . b. - Et omnino sicut ostensum est, quod primus seriei st perspecth maior, primo serici A: ita , - - demonstrabitur, quod secundus seriei C, est per- 'specte maior secundo seriei A. Quod Sc. Similiter ostendetur, quod de tertius tertio, de quartus dario, sunt perspecte maiores: & quod quisque prolo arithmus seriei C, perspecte maior est, aequeordinato resogarithmo seriei A. Quare &c.
253쪽
Ttior. 9. Prop. 69. SI suerint series prologarithmorum, ex binis a secundo, ex ternis j tertio, ex quaternis a quarto, & sic deinceps: secundus prologarithmus eius, qui ex pluribu perspecte minor est, quam secundus eius, quae ex paucio ribus uno r&tertius, perspecte minor, quam tertius: de quartus, quani quartus r&sic deinceps unusquisque pedispecte est minor, quam suus aequeordinatus prologae
Sint duae series prologarithmorum: akera A, ex term nis ab I η, & ex totenis, quotus est L altera C, ex terminis ab I d, & ex totenis, quotus est ιι Nesto vnitate minor, quam d. ..
Constat, quod i b totus est ordiae, quotus se Sr i H,
totus ordine, quotus ae prop. XI h.
Dico secundum prologarithmum seriei C, perspecte minorem esse, secundo seriei A.
Sumatur productus M, qui sit ef eique ad ijciantur toth quotus cst d, qui sint fg, gh, hi, ik, ia: edemque es, tot d ad ijciantur, quotus est b, qui sint sem, mn, no,M, S iterum ipsi et, adijciantur tot b, quotus est d, qui sint j,
254쪽
s est b, qui sint l, F, sua My. Demonstr. Quoniam productus , perii, est aequalis prinductod per summa numerorum θ, gh, H, a, XL summae μ, mn, no. ol, est aequalis: & summa j, Π, rt, re, x , summae l, qs, Fu, υ, aequalis. Sunt autem&singulae partes si, singulis ira partibus aequales ;& omnes, omnibus: & θ,
tu, υ, singuli numeri, singulis aequales: & eorum disserentiae aequales, & similes: additisque utrimq;
communibus numeris es, et, etiam composito-l rum disterentiae sunt aequales se similes: & ef, Q, em, eb, en, ei, eo, re, sunt similiter arithmetice dispositi, atque ei. F, H, er, es, et, eu, ex.
Est autem es, non minor, quam secunda potestas θ, &est ei, maior, quam an Se j aequalislpith:
ergo et non minor est, quam secunda potestas θ: ideoque similiter etiam v, non minor, quam secunda potestas pre & er, non minor, quam secunda potestas ne de re, non minor, quam secunda potestas ix. Itaque sicut demonstratum est,
quod h- eg): minor est, quam se es .
255쪽
a. h. cir 'ra er) minor, quam cis es . a. b. st eo tu et minor, quam ιιι seo. a. b. ux et 'v ex) minor, quam υ eq. r. h. Item sicut demonstratum est, quod
se es , mn em , no en , H eo , componunt primum seriei . sic j ed, pq'p , risissi er , in 'ux et , v eQ, componunt secudum prologarithmum seriei C: &- et , qs eci , tu es , ο γε , componunt se- 7. h. cundum seriei Et omnino sicut primus seriei dif8I .iC, perspecte est minor primo seriei A: ita secundus prologarithmus, est perspecte minor secun-l do. Quod&c. Similiter ostendetur, quod & tertius tertio, & quartus quarto, sunt perspecte minores: & quod quisque prologarithmus seriei C; pespecte minor est, aequeOrdinato prinlogarithmo seriei A.
256쪽
Theor. I o. Prop. 3 P. perlogarithmi rationum duplε, & superparticularium,quo sunt,minores inter terminos, eo sunt m,
s A, series harmonica naturalis: & ordinentur B, C, s prologarithmorum; B quidem, ex binis a secum ex ternis a tertio; D, ex quaternis a quarto; & sic)s, a quotoquolibet, ex totenis.
Demonstri 'Nam in serie arithmetica naturali, ratio subd pia, est inter minimos terminos, primum, Se secundum; deinde inter maiores, Ordinatim muli, plos minimorum; videlicet inter secundum, de quartum; inter tertium,& sextum; inter quartum, octauum. Ergo reciproce, in serie harmonica naturali , ratio dupla, est inter maximos terminOS, primum, & secundum; deinde inter minores ordia natim submultiplos maximorum; videlicet inter secundum, & quartum; inter tertium, & sextum; inter quartum, &octauum. Ergo rationis dupis, inter maximos terminos primum, & secundum , byperlogarithmus, est primus terminus seriei Mnempe unitas. deinde inter minores terminos si cundum, & quartum, hyperlogarithmuS, est primus prologarithmus seriei B, ex duobus a secun do, nempe ex secundo, & tertio. N inter tertium, Kk Slc-
257쪽
Scsextum, minores adhuc terminos, hyperlogarithmus, est primus prologarithmus seriei C, ex tribus a tertio, nempe ex tertio, quarto, Se quia to . Et deinceps inter minores terminos quartum, Se octauum, hyperlogarithmus, est primus pro togarithmuxseriei D, ex quatuor aequarto, nempe ex quarto, quinto sexto, & septimo. Sed huiusm di primorum prologarithmorum,minor est qui ex pluribus, quam qui ex paucioribus terminis. Ergo hyperlogarithmorum duplae rationis minor est, qui minores interest terminos, quam qui inter
maiores. Quod M. Rursum in serie arithmetica naturali, ratio subsesquialtera, est inter minimos terminos, secundum, & tertium; deinde inter maiores, Ordinatim multiplos minimorum; videlicet inter quartum, Se sextum; inter sextum, Sc nonum; inter Octauum , de duodecimum. Ergo reciproce in serie harmonica naturali, ratio sesquialtera est inter maximos terminos, secundum, Se tertium; deinde, inter minores, submultiplos maximorum, quartum, Sc se X-tuna;& inter minores, sextum, & nonum; & adhuc inter minores, octauum, & duodecimum. Er-l go rationis sesquialtere inter maximos terminos, j secundum, & tertium, livperlogarithmus, est se-l cundus seriei A. deinde inter minores, quartum,
l de sextum, hyperlogarithmus, est iecundus pro
258쪽
Io arithmus seriei B, ex duobus a quarto, nempe ex quarto, & quinto. & inter sextum, & nonum adhuc minores, hyperlogarithmus, est secundus scriei C, ex tribus a sexto, nempe ex sexto, sepi,ino,& octauo. N inter octauum, Se duodecimum, adhuc minores, hyperlogarithmus, est secundus seriei D, ex quatuor ab octavo,nempe ex octavo, nono, decimo, &undecimo. Sed in seriebus huiusmodi, secundorum prologarith morum, minor est, quiex pluribus, quam qui ex paucioribus terminis. Ergo sesquialterae rationis hypei logurithmorum minor est, qui minores inter termit nos, quam qui est inter maiores. Quod Sec. iliter prorsus demonstratione ostendetur, de seola ratione, adhibitis tertijs prologarithmis earum-rierum . &de sesqui quarta, adhibitis quartis pro-hmis: Se de omni superparticulari ratione.
Theor. I. Props s i. nis ratio multipla, vel est dupla, vel ex dupla de superparticularibus compolita. Demonstri
i Nam tripla 3 ad i , ex sesquialtera, 3 ad a, S
; dupla, et ad I, componitur . quadrupla, q ad I ,
259쪽
26 o E L E M E N T v Mad , sesquitertia, qad 3, se aialtera, 3 ad a, & dupla, a ad i. Et sic de reliquis.
Theor. 3 a. Prop. 3 2. OMnis ratio numerosa, ex superparticularibus coinponitur .
Esto ratio numerosa a ad LDico a ad , rationem ex superparticularibus csse, compositam.
Assamantur numeri 8, 3, eamdem inter se rationer habentes a ad b. Ninter 8, & F. medij numeri. T. 6. Demonstr.
4em . t Ratio 8 ad 1 ex rationibus 8 ad 7, 7 ad S,
6 ad 3, componitur. Sed 8 ad 7, ratio numeri ad numerum unitate minorem, est superparticularis, item 7 ad G, G ad 3, sunt rationes supe particulares: ergo ratio numerosa, 8 ad 1, vel al ad b, ex rationibus superparticularibus compol nitur. Quod&c. Quare &c. Theor. 3. Prop. 3 3. QVotcunque terminorum, e serie harmonica natura li , ordine quantitatis acceptorum, hyperlogarithmus
260쪽
rithmus rationis compositae inter extremos, componitur ex hype riogat illimus rationum componentium, in i r e X-
tremos, & mcdic s. & hypolc garii limis ex bὶ poli garithmis. H poth. In serie harmonica naturali, sint tres termini a, b, ci &esto a, maior, quam ι; & b, Malor, quam c. Dico rationis a ad c, inter icr in s a, c, hyperio γrithmum, ex,rationis a ad b, inter a, b, A rationis b ad Ginter b, c, hyperlogarithmis componi. Et bypologarithmum, ex hypologarithmis.
Praepari Sumantur inter terminos a, b, omnes me iij in serio harmonica naturali: necnon inter b, c. N lint inter a, ctermini.
Demonstri Hyperlogarithmus rationis a ad b, inter terminos a, b, est a I--h--L Hyperio garithmus rationis , ad c, inter terminos b, c, est b L-l m n. HyperlogarithmuS rz-tionis a ad c, inter terminos a, c, est a-V-h-iψό-Κ- l-m n. ex utrarumque rationum a ad b, Se , ad c, hyperlogarithmis, inter eosdem terminos compotitus. Quod Sc. Item rationis a ad b, inter a, b, hypologarithmus est, g h-i bi , rationis ι ad e, inter est x t m n αα rationis a ad si est 11- h- ι-- bis x- l- m- um c. ex utrisque compositus. Quod Scc. Quare &c.