장음표시 사용
261쪽
Theor. I l. Prop. 3 CViusque numerose rationis hyperlogarithmi, quo sunt, minores inter terminos, eo sunt minores . Hypoth. Esto numerosa ratio inter seriei harmonicae terminos ab unitate, maiores I 3 a),. & deinde inter minores I qu), I b, Dico inter I a , I η, minorem esse hyperloga rithmum, quam inter I 3 , i 3b .
Affirmantur minimi numeri in eadem rationea, b: Se deinceps maiores, nempe dupli, tripli, quadrupli, donec inuc matur denominatores prinpositorum terminorum, 3a, 3b, qa, qb. Deinde inter a, b ordinentur omnes med ij, in serie arbthmetica naturali,quorum deinceps supparticulares sunt rationeS, a, c, d, ιν Se eorum aequemultipli 3o, 30 34 3b, easdem supparticulares ha-l bentes rationcs deinceps; necnon Sc aequem ulti' pii easdem habentes rationes q 3, c, qd, qb. Sinmantur denique in serie harmonica termini, ab his denominati s 3 a), I 3c , I 3 H, I 3 : & Ι qa ,
tiones deinceps, necno terminorum I 3a , I 3c , t i 3 , i 3b), recipi oce sunt eidem, quae terminorum
262쪽
norum Aa, ς, ειέ b, necnon 3 o, 3 c, 3 4 3 Aso. b. idest, eae dem superparticulares. Quarum rationis
. compositus, rationis compositor inter extremos
Quare Sc. Theor. I. Prop. 33. HΥperlogarithmi rationum duplae, &2perparticularium, quo sunt, minores inter terminos, eo fiunt
Esto A series harmonica naturalis: & ordinentur B, C, D, series prologarithmorum ab unitate; B quidem,ex binis; C, externis; D, ex quaternis;&ssic deinceps. Demonst. desi, I, Nam in serie arithmetica naturali,ratio subdupla est inter minimos terminos,primum, & secun- αι. 7. dum; deinde inter maiores, ordinatim multiplosam h- minimorum; videlicet inter secudum quartum;
a . b. linter tertium,& sextum;inter quatium,&Octauu. facibiErgo reciproce in serie harmonica naturali, ratio
263쪽
dupla est inter maximos terminos, primum, & iscundum; deinde inter minores ordinatim submu,tiplos maximorum; videlicet, inter secundum, &quartum; inter tertium, & sextum; inter quartum,& octauum. Ergo rationis duplar, inter maximos terminos primu, & lacundum, hypologarithmus, est secundus terminus seriei A, nempe I a . deinde inter minores terminos secundum, & quartum, hypologarithmus, est secundus prologar thmus stri ei B, ex duobus a tertio, nempe ex tertio, & quarto: Sc inter tertium,& sextum, minores adhuc terminos hypologarithmus, est secundus prologarithmus seriei C, ex tribus a quarto, nempe ex quarto, quinto, & sexto. & deinceps interminores terminoS, quartum, & octauum, hyp togarithmus, est secundus prologarithmus seriei D, ex quatuor a quinto, nempe ex quinto sexto,stptimo,&octavo. Sed huiusmodi secundorum prologant limorum , maior est, qui ex pluribus, quam qui ex paucioribus terminis. Ergo hypologarithmorum duple rationis maior est, qui minores inter est terminos, quam qui inter maiores.
Rursum in serie arithmetica naturali,ratio su sesquialtera, est inter minimos terminos, secumdum, & tei rium; deinde inter maiores, Ordinatim multiplos minimorum; videlicet, inter quartum,
264쪽
& sextum; inter sextum,& nonum; inter Octauum,& duodecimum. Ergo reciproch in serie harmonica naturali, ratio sesquialtera est inter maximos terminos, secundum, & tertium; deinde inter minores, submultiplos maximorum, quartum, &sextum; & inter minores sextum, & nonum adhuc inter minores octauum , &duodecimum . Ergo rationis sesquialterae inter maximos terminos, secundum, & tertium, hypologarithmus,est tertius seriei A. deinde inter minores, quartum,desextum, hypologarithmus, est tertius prologarithmus seriei ,, ex duobus a quinto, nempe ex quinto, & sexto. & inter sextum,& nonum, adhuc minores terminos, hypologarithmus est tertius seriei C, ex tribus a septimo, nempe ex septimo, Octauo,& nono. & inter Octauum,& duodecimum adhuc minores, hypologarithmus, est te ruris seriei D, ex quatuor a nono, nempe ex nono, decimo, undecimo, & duodecimo. Sed in str iebus huiusmodi, tertiorum prologarithmorum, maior est, qui ex pluribus, quam qui ex paucioribus terminis . Ergo sesquialterae rationis hypologurithmorum , maior est, qui minores inter terminos, quam qui est inter maiores. Quod &c. illi prorsus demonstratione ostendctur; de sesqui-atione, adhibitis quartis prologarithms earum denam: S de sesquiquarta, adhibitis quintis prologa- Ll rithmis:
265쪽
rithmis: &de omni superparticulari ratione . Quare &c. Theor. I 6. Proris 3 6. CViusque numerosae rationis hypologarithmi, quo sunt, minores inter tet minos, eo sunt maiores . 'poth. Esto numerosa ratio inter seriei harmonicae naturalis terminos ab unitate, maiores I 3 H, I 3lo, & deinde imter minores I Aa), I AD
Assumantur minimi numeri in eodem rationea, b: & inter minimos, medij omnes c, d, quorum terminorum M e, d, b, rationes deinceps sunt sup particulares; assumantur & eorum multipli, do-a 7-l nec propositorum terminorum denominatores 3 3- l inueniantur, 3 a,3 6 3 4 3b, Se qa, M, b, easdem supparticulares habetes rationes deinceps. Sumantur denique in serie harmonica, termini ab
inceps,reciproce sunt eqdem,& superparticulares. Demonstri
266쪽
sb. Et ex maioribus hypologarithmis, maior est hy-- pologarithmus compositus, rationis compositae, inter extremos I a , I B, quam ex minoribus, inter extremos I 3 ι0, I 3h. Quod M. Quare Sc. Theor. 3 T. Prost. 1 7. EIusdem rationis, inter eosdem terminos, hyperlogarithmus hypologarithmo est maior. ω A. Sint in serie harmonica naturali ab unitate, termini k &esto a prior, quam LDico rationis a ad K inter a, b terminos,hyperlogarithmum hypologarithmo maiorem esse.
Inter a, b, sumantur med j omnes in serie harmonica, quorum summa c. Demonsiopoth. a: prior, quam L
infashic b: hypologarithmus. Ergo rationis a ad b, inter a, b terminos, hyperlogarithmus, est maior hypologarithmo. i Quod Sc. Quare Sta
267쪽
Theor. 1 8. Prop. 1 8. EIusdem rationis inter quoscunque terminos , hype togarithmus hypologarithmo est maior.
Inserie harmonica naturali ab unitate, sunto termini proportionales a ad b, ut e ad LDico inter a, b hypologarithmum, hypologarithmo
inter c, d, maiorem esse. Hypoth. p. cos. Esto maior, quam G. Demons,. a . D Quoniam a, maior est, quam c; etiam A ma-s . b. ior est, quam iu Se inter a, b, maior cst hyperlo-38. h. garithmus, quam inter c, in sed inter c, d, hyperlogarithmus hypologarithmo est maiore ergo inter . hyperlogarithmus, hypologarithmo im ter c, d, est maior . Quod Scc. Hypoth. a. casEsto a, minor, quam c. Demonstr. Iq. s. Quoniam a, minor est, quam c; etiam Γ m 18. h. nor est, quam de &inter a, b, hyperlogarithmusue s. h. hypologarithmo est maior. hypologarithmus a tem inter a, b, hypologarithmo inter c, d, est maior. Ergo inter a, b hyperlogarithmus, hypologarithmo inter c, d, est maior. Quod Scc.
268쪽
D Ara ratione, terminos inuenire cuiuspiam determ natae rationis numerois, in serie harmonica naturali ab unitate, quos inter hypologarithmus ad ultimum, maior est, quam in data ratione. Sit data ratio a ad b: di sit determinata ratio numer se e ad d. Oportet inuenire in serie harmonica naturali ab unitate, terminos proportiori res, ut e ad in quos inter hyp togarithmus ad ultimum eorum, maior est, quam Vt a ad b. ec Onstr. Rationis e ad A minimi numeri inueniantur c, i &esto e minor, quam ri cuius desectus et Scinueniatur fmultiplex ipsius e, & maior ad unitatem, quam ut a ad ,:"uplex est ad e, totus numerus accipiatur ἔ: per quem multiplicentur si ri termini,&fiant Ic, Id producti: quibus denominatae sumantur unitates in serie harmonica naturali, I gc , I gή).
maiorem esse, quam ut a ad b. Demonstr.
p. h. l Quoniam si minor est, quam de & Ic, minor . h. quam es: ergo reciproce I sc maior est, quam fis., i Id : S singuli medij harmonici inter I P), I p. 3- gQ, sunt maiores, quam a ud : &simul omnes
269쪽
ad i gQ maiores sunt, quam ut eorum multitu- p. 3. do ad unitatem. & componendo hypologarithmus inter I Io, i , , na aio r est ad rcag,
quam ut eius multitudo terminorum ad unitatem. O . b. Termini autem serici harmonicq ab unitate i
clusiuE, vsqne ad i IH inclusi vh, tot sunt,quotus estes: &vsque ad I to inclusue, quotus est, ga&ab I IH exclusiiue, usque ad I gQ inclusiue, 3o. h. tot, quotus est, Id -- ge. Sed d-c, est ride ad - c, est ge: & g nustiplicans e, facit f. Ergo termini ab I go exclusive,usque ad a Q ineludes, bisue, tot sent, quotus est f. Sed termini ab i lac exclusiue, usque ad I gQ inclusiue, componunt hypologarithmum inter I ge , I gQ: ergo multitudo terminorum hypologarithmi inter a r , ιοηstr. i IQ, est s. Sed f ad unitatem maior est, quam ut a ad b. Ergo hypologanthinus inter I go, i IQ, ad a IQ, maior est, quam ut a ad L
DAt a ratione, terminos inuenire cuiuspiam determinatae rationis numerosae, in serie harmonica naturali ab unitate, quos inter hyperlogarithmus ad primum, maior est, quam in data ratione.
270쪽
Hypoth. ara ratio a ad A & sit determinata ratio numer δ &esto e, minor, quam L,itet inuenire, inscrte harmonica naturali ab unil minos proportionales ut e ad in quos inter hy-irithmus ad primum eorum, maior est, quam ut a. Conser. Fiat ut d ad e, ita ι ad e: & inueniantur ter mini in serie harmonica naturali ab unitate, proportionales fadtvid ad rinter quos hypologarithmus, maior sit ad I, quam ut a ad αγ inter I I hyperlogarithmum, ad I maiorem eoim ut a ad ι. Demonstr.
Inter II bypologarithmus,ado maior est, quam ut a ad e: g ad . est ut e ad ι: ergo inter I g bypologarithmus, ad I maior est, quam via ad b. Sed inter Γ t hyperlogarithmus hypologarithmo est maior;maioremque habet ad f rationem : ergo imer 5 g hypei logar thmus, ad L, maior est, quam ut a ad b. Quod &c.