장음표시 사용
341쪽
Ergo maior est ratio a ad , totuplicata , quotus est a, quam e ad d totuplicata, quotus qst d.
Similiter ostendetur, quod si, togarithmus est rationis a ad b, totuplicatae, quotus est b: 6c flogarithmus e ad d totuplicatae,quotus est C sed est eb, maior, quam sic: ergo ratio a ad , totini plicata quotus est altior est,quam c ad d tot plicata quotus est e. &est a minor, quam h Zec minor, quam in ergo minor est ratio a ad , to- tuplicata, quotus est b, quam ratio e ad d tot plicata, quotus est c. Quod&α
Esto a, minor, quam ,: de maior, quam c. ergo a, b, sunt quatuor numeri arithmetice dilpositi; quorum si minor est, quam in te minor, quam a. Et ratio c ad d totuplicata , qu tus est si maior est, quam a ad , totuplicata , t quotus est b: da c ad d totuplicata, quotus est minor , quam a ad , totuplicata, quotus est a. Quod dec.
Esto a, maior, quam K Se minor, quam ci Ergo a, d, si sunt quatuor numeri arithmeti- cd dispositi; quorum b, minor, quam Sc m, i nor, quam d. Et ratio b ad a totuplicata, quOl tus est b, maior, quam d ad c totuplicata, quo-
342쪽
tus est et & ι ad a totuplicata, quotus est a, minor, quam d ad e totuplicata, quotus cst Et conuertendo a ad b totuplicata,quotus est maior, quam c ad d, totuplicata, quotus est d: & a ad , totuplicata, quotus est b, minor, quam c add totuplicata, quotus est e. Quod &c. Demonstr. q. Esto a maior utrisque b, & ct critque d minor utrisque si & b. Sunt ergo quatuor numerid, si b, a dispositi arithmetice: quorum ratio dad e totuplicata, quotus est d, maior, quam , ad a totuplicata, quotus est a: & d ad c totuplicata, quotus est si minor, quam , ad a totuplicata, quotus est b. Et conuertendo, e ad d tot uplicata, quotus est d, minor, quam a ad b toltiplicata, quotus est a:& c ad d tot uplicata , quotus esto maior, quam a ad , totuplicata, quotus est LQuod &c. Quare &c.
SI suerint quatuor numeri arithmetice dispositi, & primus maior secundo; suerint autem & alij duo numeri, quintus ad sextum, maior quam ut primus ad quartur rei it primi ad secundum totuplicata ratio, quotus est quintus, maior,quam tertij ad quartum totuplicata ratio,quOtus est sextuS. Tt Hy-
343쪽
Hypoth. Sint quatuor arithmetice dispositi numeri a, . . h. l si in & ct primus a, maior secundo b; ideo quoi ctiam tertius si maior qVarro d: S sint ali; duo, i quintus e ad sextum s maloi quam a ad LDico rationem a ad , tot uplicatam, quotus este, maiorem csse ratione c ad d tot uplicata, quotus est f
Rationis a ad b, lcgaiit limus astimatur g & rationise ad d, logarithmus h
Ratio a ad b tot uplicata, quotus esta, maior est ratione c ad d tot uplicata, quotus est d: de ambae sunt maioris in a Rualitatis: ergo ratio a adb toruplicata, quotus cst a, altior est, quam c add tot uplicata, quotus est L Est autem rationis a ad b tot uplicatae, quotus cst a, logarithmus aget& rationis c ad d tot uplicatae,quotus est d, logarithmus hin ergo et maior est, quam hae Et quoniam e ad O maior est, quam ut a ad de permutando, e ad a, maior est, quam ut f ad d. Sed e
Ergo eg ad C, maior est, qua in ut in ad dh: Rper utando, eg ad b, maior, quam ut G ad M. i Et est C, togarithmus rationis a ad , tot uplical tae, quotus cst e: & fh, logarithmus rationis c ad TI h- l d tot uplicatae, quotus est f. ergo ratio a ad b
344쪽
totuplicata, quotus est e, altior est ratione e ad diotuplicata, quotus cst f Et utraque maioris estinaequalitatis. Ergo ratio a ad , totuplicata,quo tus est e, maior est ratione e ad d totuplicata quotus csts Quud M. .
Quare &cis . Theor. 9 o. Prop. Io 2.
SI fuerint quatuor numeri arithmetice dispositi, & phimus minor secundo; suetiui autem &alij duo numeri, quintus ad sextum, minor, quam ut primuS ad quartum et erit primi ad secundum totuplicata ratio, quotus est quintus, maior, quam terti) ad quartum totuplicata ratio, quotus est sextus. Hypoth. Sint quatuor numeri arithmetice dispositi, a, b, d -b-ic, de & sit a, minor, quam b: ideoque etiam c, . minor, quam de &sit e, ad I minor, quam ut a
Dico a ad , totuplicatam rationem, quotus est Gmaiorem esse ratione e ad d totuplicata, quotas ea fDemonstri hypoth. Sunt enim d, c, h a, arithmetice dispositi: R esta. 3. maior, quam a &fad e, maior, quam d ad a: Io I. b. ergo d ad c totuplicata, quotus est, s maior est, i quam b ad a totuplicata, quotus cst e: δ conuer-α. 3. t tendo c ad d totuplicata, quotus est I, minor, T t a quam
345쪽
quam a ad , tomplicata, quotus est e. Quod in
DAta quantitate, dataque ratione inaequalitatis, inuenire terminos in data ratione, quorum differentia est quantitas data.
Quare Sc. Theor. 9 I. Prop. IOA.
Si quatuor quantitatum non numerosas rationes habentium,harmonice dispositarum,prima maior fuerit, quam viralibet secunda, tertia: togatillimus rationis pri
346쪽
. - π e φ ψ f ω , ' g i hSunto quatuorquantitates harmonicὶ dispositae, a, b, c, in quarum a, maior, quam & maior, quam c. & sunto a ad b, & e ad c rationes non numerosae. & rationis a ad b, esto togarithmus er rationis autem e ad 4 logar, thmus f. Dico e ad A, non maiorem esse, quam ut a ad bi nec minorem, quam ut e ad LSi nostio faha alternatiua. Esto, si fieri potest, vel maior e ad f, quam ut a ad hratione I ad h maioris inaequalitatis, vel minor, quamvic ad ri ratione I ad h, maioris inaequalitatis.
347쪽
Datis non numerosis rationibus a ad b, & e ad c vel m adi, & o ad n: dataque ratione I ad i, vel i ad K maioris inaequalitatis, quatuor mu niantur numerosae rationes, p ad q, altior, quaml ad s& r ad s depressior: propioreS aequalita
ti logarithmicae , quam ut in ratione I ad 3, vel iad h. Et quoniam a ad A ratio est altior, quam cad
i Sc sunt l, m, n, o, reciproce, sicut a, b, c, etiam i ad m, ratio est altior, quam n ado. Itaq; si sorte contingerct r ad A non altior, quam n ado: inueniatur altera r ad G depressior quidem, quam i ad mi sed ei propior; atque altior, quamn ad O. Et similiter inueniatur l. ad v, deprcssior, quam r ad se, altior, quam n ad o: necnon inueniatur X ad , depressior, quam n ad o; ut fiant ι ad is, Sc x ad y, propiores aequalitati loSarithmicae, quam ut in ratione I ad 1, vel i ad h. Dataque disserentia 4 m: datis quoque rationibus p, ad r ad s, i ad v, x .ad I, inuenia
348쪽
tur earumdem termini p, s G s, si x, I, easdem habentes rationes, & eamdem differentiam ι m.
0pq -- l b, si sunt harmonice dispositae.
33 β' i h nn, n, o, arithmetice dispositae. a, maior, quam ι: N maior, quam cit, minor, quam m: S minor, quam n. 'p, qt, 4 m; r, 1; t, u; n, o, M I: binae, & binae striat arithmetice dispositis,antecedentes minores consequentibuS. π maior, quam e. & e; maior, quamq: maior, quam &I: maior, quam . Et quoniam ad i, maior est logarithmice, quam ut ratio ead ad rationem β ad ρ: ratio autem et ad ὀ, ad rationem S ad i, logarithmice
349쪽
maior est, quam ut ad rationem a ad b: & ratio: ad G ad ratione a ad hest logariimice, ut ατ adeo ergo i ad i est maior, quam vi π ad e, Sim liter ostendetur I ad i , maior, quam e ad φ: &maior, quam ψ adf & maior, quam ad αDeinde quoniam p ad 3, vel et ad δ' ratio est altior, quam i ad m, vel a ad ι; &sunt e , δ, a, b harmonice dispositae ; de est a, maior, quambe oportet et , & ε maiores esse, quam ' si Gnim essent aequales; esset ratio e ad cy, aequealtae, rationi a ad b: si vero esset minor, quam a; ideoque& δ, minor, quam esset ratio et ad Adepressior, quam a ad b: contra assumptum. Si-: militer ostendetur, quod a, maior est, quam siri &l b, quam x: item θ, maior, quam ci & μ , quam
i in & c, quam λ ; & d, quam ξ. Si postis falsa prima. Esto e ad I maior, quam a ad c: si potest.
350쪽
sφ. iψ; f. minor, quam is h. q. 3. ψ: maior, quam a; e. si enim esset eadem , vel minor : est et Hi minor, quam αἱ P h.
pys r Sunt autem β, ι, ο, u harmonice dispositae σε , quantitates, numerosasque habentes rationes; &l proportionales sicut quidam termini e serie ham' pM mmonica naturali ab unitate: quorum rationis is ad , logarithmus est .& rationis θ ad loga-- op. rithmus est ψ. Est autem sicut r ads ratio altior, quam i ad u: sic β ad a, altior, quam θ ad μ : NIV- est β, maior, quam ι; ideoque & θ, maior, ' . H quam μ . Ergo β ad θ, maior est,quam φ ad Q. 33. 3, . . Ergo β ad θ, maior est, quam a ad c. contra8. F. Ergo e ad 5, non maior est, quam a ad c. Quod Sc.