장음표시 사용
351쪽
π; ω: minor, quam , , d. Sunt autem L, y, /, ε, harmonice dispositis, numerosas rationes habentes; & proportionales, sicut quidam termini e serie harmonica naturali ab unitate : quorum rationis et ad Glogarithmus
est & rationis λ ad e, logarithmus est vi : Nest et ad δ ratio altior, quam a ad b; sicut p ad ιν altior, quam i ad m: S i ad m altior, quam n ad o, vel e ad L 8c e ad c altior, quam λ ad e; sicut n ad o, altior, quam x ad I: ergo ad δ, altior est,quam / ad er Sesti, maioriquam .; & λ, maior, quam ξ: Ergo π ad ω maior est, quam ὀ ad ξ. Ergo δ ad e minor est, quam b ad d. cmami 8. s. Ergo e ad A, non minor est, quam , ad d. Quod &c.
Quare &c.. Theor. 92. Prop. IO .
QVatuor arithmetice dispositarum quantitatum, si
prima ad ultimam, fuerit ut numerus ad numerum: erit primae ad secandam totuplicata ratio, quotus est homologus primae, maior, quam tertiae ad quartam i tu plicata ratio, quotus est homologus quartae . quod si secunda ad tertiam suerit ut numerus ad numerum: erit primae ad secundam totuplicata ratio, quotus est homologus secundae, minor,quam tertig ad quartam totuplicata, quotus est homologus tertiae.
352쪽
sunto quatuor arithmetice dispositae quantitates A, B, C, D. & esto, vel alterutrum, vel utrumque istorum, vid licet: A ad D, ut numerus a, ad numerum in & F ad C, ut numerus A ad numerum c. Dico rationem A ad B totuplicatam, quotus esta, maiorem esse ratione C ad D totuplicata, quotus est d: &rationem A ad F totuplicatam, quotus est b, minorem ratione C ad D totuplicata, quotus est c. .
Sumatur rationalis u: A per quantitates denominetur arithmetice dispositas, ut fiant fractiones 33---iu A), u F), u C , u O , harmonice dispostae. Sitque rationis A ad B logarithmus er & ratio-
Demonstr. 'Quantitatum A, B, C, D, vel duae tantum vitremae A, D, erunt ut numeri; vel duae tantum mediat B, C: vel binartantum extremae inuicem A, D; es mediae inuicem F, C: vel tres inuicem sunt ut numeri. q. 3. 4 . Sunto tres inuicem A, B, C, ut numeri :& a Lfirmantur tres numeri g, h, i proportionales, Ut sy/- . A, C: quod si A, minor est, quam Tt, etiam C, p minor est, quam & I minor, quam h. N per homologiam, est delectus g, h, ad i, ut defectus, A, B, ad C. addatur desectus I, h, nuta ero i, NP i fiat numerus L erit ergo componendo ut i ad r,: . ' V v et ita
353쪽
ita D ad C. Si vero A, maior est, quam P profecto C , maior est, quam C - D, vel quam A N per homologiam, sicut C, maior est,quam A 2t, ita ι, maior est, quam g - h. Austratur itaque g- ab i numero ; S relinquatur l: Seerit, diuidendo, C ad D, ut i ad LQuare A, B, C, D sunt proportionales inuicem , Ut numeri, g, h, i, l . & numeri h, i, ci sunt arithmetice dispositi: quorum ratio I ad biotuplicata, quotus esto maior est, quam ratio sad l toltiplicata, quotus est E N ratio I ad , to- tuplicata, quotus est b, minor, quam ratio a ad ltotuplicata, quotus est l. Sed g ad h totuplicata ratio, quotus est g, ad eamdem totuplicatam , quotus cst ιι, est logarithmice, ut I ad ae & i ad . t tot uplicata, quotus est l, est logarithmice ad eamdem totuplicatam, quotus est d, ut i ad d.
Et quoniam I ad l est vijad D: Se A ad D, via ad in ergo g ad J, est ut a ad in& permutam do a ad a, ut i ad d. Ergo ratio I ad h to lupi,
cata, quotus est g, ad eamdem totuplicatam qu tus est A, est ut i ad l totuplicata, quotus est cad eamdem totuplicatam, quotus est d. Ergo si I ad h tot uplicata, quotus est g, altior est, quam i ad i tot uplicata, quotus est l, etiam I ad h tot uplicata, quotus est a, altior est, quam i ad l l l tuplicata, quotus est ae: si depressior, depressior. ergo
354쪽
roo. h. ergo sicut I ad h totuplicata, quotus est g, maior est, quam i ad l totuplicata, quotus est lue siue sint i ad b, & i ad l rationes maioris inaequali-d f. i. tatis, siue sint minoris ambae: erit & g ad h totu- : - η plicata, quotus est a, maior,quam i ad l totuplicata, quotus est d. Et est I ad b, eadem, quae Aad B: Se i ad ι eadem, quae C ad D. ergo A ad B totuplicata ratio,quotusest a, maior est,quam C ad D toltiplicata, quotus cst d. Quod&c. Simili prorus demonstratione ostendetur, quod ratio A ad F totuplicata, quotus est b, minor est, quam C ad D totuplicata, quotus est c. inod &c.
Sunto vel duo tantum extremi A, D, ut numeri; Vel duo tantum medij C, D; vel bini,&bini A, D, Se B, C; non autem tres, aut quatuor. prosecto vel est quantitas A, minor, quam B, vel maior:&rursum quantitas A, minor, quam C, Vel maior. Esto A, minor, quam S, & minor, quam C. q. b. μ a), u B), u O, u M, sunt harmonice dispositi. a. b. u A): maior, quam ii B).D. b. u A a maior, quam u C). 88. h. 1 A), u M: altior, & maior, quam v Q; n M. g. b. u AI u B e togarithmus e. 8. h. M C)ό u T0: logarithmus s. . si ab l M C)οῦ maior, quam v Ii .
355쪽
si . h. o maior, quam M. is I. b. maior, quam β. - ':
praepar. Et quoniam s logarithmus est rationis C ad 8o. h. D: ergo G, logarithmus est rationis C ad D totum tali quotus est L sitem quoniam e, logar, thmus est rationis A ad Se ergo ae, togarithmus est rationis A ad B totuplicatali quotus est a. S, militer se, logarithmus est rationis C ad D totu-plicatali quotus est c: & eb, logarithmus, rationis A ad B totuplicatae, quotus est Sicut ergo ae, minor est, quam in sic depressior est ad Z totuplicata,quotus est quam C ad D tOtuplicata, quotus cst d. item sicut A, maior est, i quam θ: sic A ad B locuplicata, quotus est b, abj tior est, quam C ad D totuplicata, quotuS cst c. hypoth. : Sunt autem A ad Z, & C ad D, minoris inequa' i litatis rationcs, quarum depressior altiore maior ῆ' ' l est. Ergo A ad B totuplicata, quotus est 'ina' ior
356쪽
QVINTVM. 3ψ3ior est, quam C ad D tomplicata, quotus est di de A ad
F totuplicata, quotus est b, minor, quam C ad D totu-plicata , quotus est e. Quod Sc. Demon'. 3. Esto A minor, quam I, & maior, quam C. Ergo C, D, A, B, sunt quatuor quantitates ari-def. .h. thmetich disposite; quarum C, minor, quam D, sv. & minor, quam A. Et ratio C ad D totuplicata, quotus est si maior est,quam A ad B totuplicata,
quotus est L N C ad D tot uplicata, quotus est d, j minor, quam A ad B toltiplicata, quotus est a.
Esto maior, quam B, & minor, quam C. Ergo B, A, D, C, sunt quatuor quantitates ari- de . b. thmetice dispositae, quarum P minor, quam vis F. 8c minor, quam D. ideoque B ad A totuplicata ratio, quotus est b, imior cst,quam D ad C totu-plicata, quotus est c: & B ad A toltiplicata,quotus est a, minor, quam Dad C totuplicata, quo- a. s. tusi est d. Ergo conuertendo, eis ad B tolupi cata, quotus est b, minor est, quam C ad D to-ruplicata, quotus est Q. Se A ad B totuplicata , quotus est a, maior, quam C ad D tot uplicata ,r quotus est d. Quod &c. i Demonstri J.
Esto A maior, quam B, & maior, quam C. Ergo D,
357쪽
'sC, B, A, sunt quantitates arithmetice dispositae, des s. 3.squarum D minor, quam C, dc minor, quam με . quarum ratio D ad C totuplicata, quotus est d, maior est, quam B ad A totuplicata, quotus estar de D ad C toltiplicata, quotus est si minor, a. 3. quam S ad A totuplicat , quotus est ,: Ergo conuertendo, C ad D totuplicata, quotus est minor est, quam A ad B totuplicata , quotus esta: de C ad D totuplicata, quotus est c,maior, quam eis ad S totuplicata, quotus est b. Quod M.
Si fuerint quatuor quantitates arithmetice dispositae, &prima minor secunda ; siverint autem & duo numeri - prior ad posteriorem, minor, quam ut prima quantitas ad quartam: erit primae ad secundam totuplicata ratio, quotus est prior numerus, maior, quam tertiae ad quartam tintuplicata, quotus est posterior. Hypoth. Sint quatuor quantitates arithmetice dispositat, A, B, C, De &sit A, minor, quam S: ideoque etiam C, minor, quam De &sit e numerus ad numerum s minor, quam ut A ad D. Dico A ad B toltiplicatam, quotus est e, maiorem esse, quam C ad D totuplicata, quotus est s.
358쪽
dese. q. I 4. b. II. b. I a. b. 13. s. 8. F. 13. S. Σ. 3.13. s. 9 I. h. I2. h. 8o. h. 8 I. b.
Denominetur λ per quantitates arithmetice
dispositas B, C, D, ut fiant fractiones hammonice dispositae, u F , u C), u D . Et esto rationis v A ad u B , logarithmus er &rationis u C ad u D , logarithmus h.
C: maior, quam A. g; in non maior, quam QD; A: maior, quam Q A. I; la minor: quam D; A. si e: maior, quam D; A. I; h: minor, quam si c. ge: minor, quam fh Est autem a togarithmus rationis v M adu F), vel B ad A: ideoque te, togarithmus est rationis B ad A totuplicatae, quotus est e. item logarithmus est rationis D ad C totuplicatae, quotus est s. Ergo sicut minor est, quam jh sic tot uplicata ratio B ad A, quotus est e, depressior est, quam totuplicata D ad C, quotus est . Xx Nest
359쪽
nor est, quam totuplicata D ad C, quotus est f&conuertendo, totuplicata A ad B, quotus este, maior, quam totuplicata C ad D, quotus est s
'; non minor, quam A; C. ' fi C: maior, quam Ar, D. A; D: maior, quam e; fh; φ. maior, quam es f. s: maior, quam . Totuplicata A ad B, quotus est e, maior, quam
totuplicata C ad D, quotus est f. Quod M.
Si fuerint quatuor quantitates arithmetich dispositae,& prima, major, quam secunda: fuerint autem & duo
numeri,prior ad posteriorem maior,quam ut prima quantitas ad quartam: erit primae ad secundam totuplicata ratio, quotus est prior numerus, maior, quam terris ad quartam
360쪽
tam tomplicata, quotus est pollerior.
Sint quatuor quantitates A, B, C, D, arithmetice dispositae: & sit A, maior, quam ideoque etiam C, maioriquam D: &st e numerus ad nummims malo quam
Dico A ad F totuplicatam, quotus est e, maiorem esse, quam C ad D totuplicata, quotus est f
Sunt enim quatuor quantitates arithmetice hypoth. 4 dispositae D, C, P, A: S. est D minor, quam C: a. a. &j ad e, minor est, quam ut D ad Og ergo Dios. h.iad C totuplicata ratio, quotus est f maior est, a. .s quam S ad A totuplicata, quotus est e. Et conuertendo, C ad D totuplicata, quotus est m, i nor, quam A ad F totuplicata, quotus: est ci Quod Sc. Quare Sc.