장음표시 사용
171쪽
dum est ad illud primum; sed quia utrumclite gignitur ab eadem figura, nune circa basim FB, nunc circa axem Eq, vel F evoluta, haec solida sunt ad invicem, ut distantiae ce tri gravitatis figurae genitricis a lineis, circa quas fit roratio,
nempi: ut distantia , quam habet centrum gravitatis planae Ggurae F B V a basi F B, ad distantiam ejusdem ab axe QI; distantiae igitur centri gravitatis solidorum ab eadem figura de scriptorum, nunc facta circa axem, nunet circa basim rotatio ne , sunt ad invicem , ut distantiae centri gravitatis figurae genitricis a base ad ejusdem distantiam ab axe. Quod est propositum. 6 Cum igitur distantia centri gravitatis spatii Logistici a sua bali, a fi distantiam ejusdem ab axe sit, per Theoremata Undecimum Duodecimum supra demonstrata in capita praecedenti, ut subtangens Logisticae ad quadrantem ordinatae , seu basis , vel sumendo terminorum semisses , ut dimi dium subtangentis ad basis octantem , etiam distantiae cenistrorum gravitatis a sua hali in solidis a Logistica circa axem, R circa ordinatam revolutis, in eadem proportione erunt ἔquare cum, ex Decim tertio Theoremate, centrum gravitatis distet a basi solidi ex Logistica circa axem per dimidium su tangentis, etiam centrum gravitatis solidi ex Logistica circa ordinatam, distabit a sua basi per octantem ordinatae , ut in Loc Theoremate XIV. proPonitur. Q. e. d.
172쪽
Intereὲ hinc habes,data ratione distantiarum 'centri gravitatis cujusvis figurae, tum ab axe, tum abali sive ab aliis duabus quibuscumque lineis ) dari & rationem distantiarum centri gravitatis a basi in solidis circa easdem lineas revolutis, atque una istarum determinata, alteram non posse ignorari , quocirca omnium fusorum parabolicorum ex parabolis eirca Dases revolutis dabuntur centra gravitatis, quippe dantur ¢ra omnium Conoidum ab iisdem circa axes rotatis productorum , nec ignoratur proportio , secundum quam gravitatis centrum distat ab axe, dc basi infinitarum quarumvis parabolarum ; Tu perteipsum, Mi Lector , doctrinam hanc his, aliisq; figuris applieare ne graveris, mihi ad finem Pro- Peranti immorari diutius non vacat, innuisse suffecerit. 8 Neque di mellius erit partium utriusque ex dictis solidis
centra eadem arte rimari, quum praemissum ratiocinium non
minus in portionibus figurarum, quam in ipsis integris figuris Iocum habere possit, adedque & ad partes solidorum ab iis descriptorum transferri queat; quaeque de his rotundis solidis determinantur, in truncis pariter cylindricis, seu factis exductu spatii Logisticae FB NM in triangula FDG , FE Hi quippe quae illis rotundis proportionaliter analoga existunt
173쪽
perinde obtinere manifestum est; sed&hine sponte profluie distantia centri gravitatis ab axe N b in figura N o o Logistieae
ad axem Correlata, quippe analoga pariter est solido ex Logistica circa Ordinatam, cum ostensum iit cap. lo. Dum. 9. lineas on correspondere rectangissis Nna Logisticae inscriptis, sive cylindricis superficiebus per ident punctum n in praefato solido it anseuntihu S. 9 Animadvertuduni etiam, ex his quatuor nostremis Theorematibus facillime deduei,quodna uilit aequilibrii centrum in libra longitudi ne infinita, in qua paribus intervallis diis tae magnitudines appenderentur in eadem ratione geometrica decrescentes, velut in hac tigura se habent A, B, C, D, E, F,&z.
in infinitum, dc quomodo, ii illae magnitudines jam decresce-
174쪽
rent in duplicata priorum ratione, centrum aequilibrii dupibpropiti accederet termino Jibrae, unde omnium maxima penderet ; Haec enim ex Undecimo, & Decimotertio Theorematibus constare possunt, si Logisticae axem veluti infinitam libram oriaontaliter di .sitam accipiamus unde. Detisticae spatia proportionaliter deficientia, aequalium tamςn latitudinum, pendeant, idemque fiat maxe solidi ex Logistica circa axem rotata geniti, sumptis aeque crassis ejusdem solidi portionibus. &c. Habetur item , disp*sitis in libra finita magnitudinibus arithmeticὰ in infinitum crescentibus . quales repraesentaut lineae Uu, Dd, LI. Nn , Sc. axi BG , Logi-stieae AVD LN parallelae, & ad ordinatae parteS proportionales A v, u d, d l,l n, &c. applicatae, sed intervallis geometrice decrescetibus inter singulas relictis, itaut geometricae progressionis terminus librae extremo respondeat, unde infinita magnitudo suspenditur, assignari posse centrum aequilibrii omnia ipsarum magnitudinum; & quod si jam dictae magnitudines ex iisdem pundiis suspensae crescerent in duplicata priorum ratio.
ne, seu Procederent, ut numerorum arithmetice crescentium
quadrata ut se habent circuli in solido ex Logistica circa or-
175쪽
dinatam rotata centrum aequilibrii duplo propius fieret maximae , dc infinitae magnitudini, ultimum librae extremum occupanti; id enim ex Duodecimo, & Ducimo quarto Theoremate abunde innotescit, &sua veluti sponte profluit ; Hare poris ex iis Problematibus , aut Theorematibus sunt, quae, si nude , 8c extra hanc materiam proponerentur , mirabilia omnibus, nonnullis quoque determinatu impossibilia videri
io Porro, cum Viro illustri demonstrationem num. s. au latam communi calthin, scrupulum iiij uela, an satis Futa esset, ab aequi ponderantia singularuni 'sit petulciarum cylindricarunt unius solidi, cum lingulis circuli S alterius , au ipi ruminet solidorum aequilibrium facta docucito : n onc bat quippe hinc consequens sore, ut ipsarianam et planarum figurarum illo modo appensa ruria aequilibrium liei et ex eodem Pu iacto IQ, ex quo, viden seq. PN ad inq cilat rcciproce sol, aequalitatem homo togarum linearum) ut di: antia q l2 ad distantiam FP; unde solida ex siguris circa axem, aequalia forent solitiis ex iisdem circa balina revolutis, ilia adcli abiurdum : reposui tamen, vetustam illam elle, ac saepius cota vulsa in exceptionem Cavallerianae methodo dii dum oppolitam; sive prorsus indivisibilia non admitteret , eo modo , quo sub geometricam considerationem cadunt, sive saltem respueret in Staticae negotio , pro illis reponeret solida quam minimum crassa, ut hinc tubos cylindricos, illinc cylindrulos aequalis cra isti ei, sive inscriptos , sive circumscriptos pra fatis solidis , atque ab iis diiserentes minori differetitia qualibet data , & tum demonstrationem, ut ut minori compendio) pari evidentia succelsuram; enimvero ad libram hinc inde appositis aqui-
ponderantibus quantitatibus, atque his, aliis rursus aequi ponderantibus additis, modo totidem hinc, totidem inde suspendant ut , Sc utrumque aggregatum aequi ponderare . In allato figurataim planarum excmplo conditionem non servars, qui P
pe lineae PN axi parallelae non totidem sunt, quot lineae q nparalle bali. si quidem illae ad basim, hae ad axum, quibus respective applicantur, sunt computandae, atque eo plures ex alterutra parte sunt, quam ex altera, quanto major ulta in ea , mi quam
176쪽
quam ordinantur, & quanto majori invicem intervallo distant; ideo cautum fuisse in demonstratione squemadmodum & faeie Torricellius de dimens parab. propos. ao. cujus haec nostra
imitatio est) ut linea F q aequalis sumeretur ipli QJ, ut circulus radii nq, qui ad illam applicatur, comparari legitime cum cylindrica superficie ex rotata, & ad pun- ' in, distantiamque suo solido inserta; atque uti. nam id obser asset qui solidum hyperbolicum infinitae latitudinis metiri aggressus est, non enim illud perinde ac infi- lite longum Torri cellito finito cylindro aequale tam praepropere conclusisset, neque exemplis aliis indivisibilium usum in suspicionem adducere tentallet. Si methodi certitudo ex il- legitimis applicationibus lit aestimanda, nec Veterum Inscriptiones extra discrimen futuras, quippe iis abusus est Guarinus in suo Euelide methodico, ubi Spheroidis,&Conoidum omnium superficiem ad rnen ram vocat, atque ubi generaliter cujusvis Conoidis superfici m ad cylindricam circumscriptam se habere statuit, ut genitrix figura ad rectangulum circumsecipium , Permasius quoque analyticae sine methodi,pe quam pilicheriimae, ne sim piliqissi inae, applicatione ad tangenten, Q adratricis determinandam in sceliciter usus est, nec- noli V Vallisi ps composition ς motuum ejusdem Quadratricis perperaris considerata, aliam quidqna , ted aeque a veritate alienam ejusdςm tangentis constructionem adornavit, uti alias
177쪽
monuisnus. liena marmus, Sturmius. Borelli ss. RmaIditius eirca Spiralis Archinaedere longitudinem halluet nati sunt. quamqvtin rem se demolis rasse putaverint, ut in Epist. Geonteir. ad P. Cevam ollendo. Quamquam Viris Clarissimis aede Geometria optime ira stitis. quorum ptioius superstes adhuc hanc scientiam novis inventis illustiat, nolim quidpiam
hoc loco detractum esse, quum, si quid ipsis fraudi fuerit, humanae id vitio conditionis, cui omnes obnoxii sumus,tribuendum sit , praeclarissimis vero operibus ita sibi Nominis Immortalitatem comparaverint, ac posteros devinxerint, ut nihil his decedere possit, ex quo sublimioribus meditationibus distracti,haud satis attente perpendere curaverint leviora haec, quae ad methodi nostrae defensionem, Lectorumque, quibus prodesse cupimus cautelam adnotare coacti fuimus, ne a ma-gvis, ut ait ille, prae ficiumsieret Veritati. ii Opportune autem ut ejusdem propositionis usus amplius pateat) hic illam applicare juvat curvis superficiebus, quas gignit curva quaelibet BNU, tum circa basiim FB, tum
circa axim F a rotata; utique enim centra gravitatis eius. modi curvarum superficierum circulo suae basis distabunt in iis dem rationibus, in quibus centrum gravitatis curvae lineae genitricis, tum ab axe, tum a bali distabat; idque, facta eadem constinctione, eodemque ratiocinio manifestum est , sumpto puncto N in curva circa batim, & puncto n simili, eodemque
178쪽
demque s seu tantumdem ab homologis extreinis dii laute in curva circa axim rotanda . utive cum iit linea P N ad qn, ut distantia qFad distantiam FP propter aequalitatem homologarum linearum, etiam peripheria radio P N incurva superficie descripta per rotationem circa basi ius ad peria, herianes radio q n descriptam: ita altera curva .superficie ex rotatione ejusdem curvae circa axem, erit, ut distantia hujus a termino Fi ad distantiam illius ab eodem termino ; aequi- ponderant igitur ex F dictae peripheriae, aliaeque omnes per quaevis eurvae genitricis pundia in utraque illa conversione
transeuntes, totidemque in una sunt, quot in altera termini aequi ponderantes, nam dictae peripheriae eamdena curvam, &ad idem prorsus punctum stringunt, unde non plures hinc, quam illinc computantur; quare &ipsae se perficies curvae ex eodem puncto F aequi ponderabunt, eritq. reciproce, ut una superficies ad alteram, live ut distantia centri gravitatis curvae a linea, circa quam hine, & illinc convertitur, ita distantia centri gravitatis hujus ad distantiam cςntri gravitatis illius, uniuscujusque nimirum circulo that halis per F transeuntis. Unde mirum quot Conoidum superficies centrum gravitatis sibi determinent . Quaecumque autem de solidis rotundis , deque rotundis superficiebus ex eadem figura, vel linea qualibet circa axem , & circa basi in rotata dicta sunt, perinde similiter obtinere sn Ungulis solidis, aut superficialibus , plano per axem, vel basim transeunte, &ad
eumdem angulum utrinque inclinato, abscissis ex cylindris super ca Ideni figuras erectis, clarius est, ac inter Geometras magis vulgMuhi . qu.m ut hic a nobis exponi indigeat, ob proportionalitatem, tum triangulorum sint ilium, quibus Ungulae solidae iecantur , Cum circuli& rotundorum solidorum, tum latet ima Ungularum sit perficialium . cum peripheriis . circula γbuM rotundatum superfici exuini ancipistum.; Oa uamquam. in. m stro se posito Logisticae ι utique tota curva centro gravit,tis harere censendi est y adeoque ad inveniunda utrius ae superficiei curvae , imbarum ejus Co- . noideon . centra gravitatis, oh servatio nostra in hoc, dc similibus calibus inutili A nlaiiet; Ratio est , quia si quod habe-X a rei
179쪽
ret gravitatis centrum curva Logistica BNM , i illud eerthiii axe non foret, eb qudd curva suam eonvexitatem iIli obvertat; sed neque in ulla ab axe distantia; quantilla enim haec foret, circumferentia a tali centro descripta, in conve sone curvae circa axem, determinatae alicuius longitudinis esset, &refiangulum ex ipsa in curvam infinitam Logisticae, adeoque & superficies. curva, in rotatione circa axem destriapta, immensae magnitudinis foreti; cum tamen finitam esse
sic demonstretur. Ad quamlibet ordinatam DN, aut illi parallelam F AB, applicentur ipse tangentes NC, MG; ita i interponendae ι sitieris EI, O Asimera s
tangenti NC,& Ho aequalis tangenti MG; atque ita semper, quousque compleatur figura A Ο Ο L F. Dieo s non in Logistica modb . sed in quavis curva, facta simili eonstrinictione γ spatium hujus figurae esse ad curvam superficiem ex rotatione eurvae M N cirea axem D Ε, ut radius ad cireum. ferentiam alicuius circuli; id quod valet etiam de parti bas proportionalibus , puta superficie O A PI O, comparata ad
180쪽
portionem curvae superficiei a curva MN paraIlelis Milo, NAO intercepta, progenitam; suinptairquidem quantuml het parva tangentis particula Nr, aut Mr , ac ducta parallela rs; cum sit tota N C, idest Ο Α, ad N r, ut DN, vel FA, ad As seodemque modo GM , seu O H ad Mr , ut EM , vel FH, ad HS erit rectanguluin o As aequale rectangulo ex D N in N r, R O HS aequale rectangulo ex EMin M r; atque ita semper; itaque Ungula superficialis ex cylindri eo ipsi curvae N M insistente, resedia plano per axem transeunte, &per s. gradus ad planum halis inclinato in
sa consequenter erectae forent ad singula curvae puncta reistae lineae ipsis ordinatis aequales erit aequalis spatio congruenti, a curva OoL terminato , quippe tam ben E coincident rectangula DNr, Ε Mr cum portionibus talis superficiei, ob tangentes infinite parvas cum curva coinciduntes, quam coincident rectangula o As, OH S. cum spatio ipso a curva oo terminato, ob infinite parvam singulorum rectangulorum latitudinem; praedicta vero UnguIa est ad curvam superficiem a curva circa axem rotata genitam, ut radius ad ei rum serentiam circuli, quippe in Ungula ordinantur ipsae DN, L M, punctis curvae insistentes , in superficie vero rotunda ordinantur earumdem peripheriae; itaque spatium sic determinatum a curva o L erit ad rotundam superficiem soIidi ex curva circa axem rotata, ut radius alicujus circuli ad ejus circumferentiam ; & quoties spatium A O OL F finitum erit, etiam illa rotunda superficies pariter determinatae magnitudinis esse convineetur; est autem illud spatium finitum, quoties A Ο, Η Ο, id est ipsae tangentes N C , M G in immensum non exerescunt, uti accidit in nostro casu , in quo sem- er fiunt minores, utpote aequales potentia eidem quadrato obtangentis, simul cum quadrato ordinatae minoris, ac minOris in infinitum; qub constat spatium AOLF , cuius longitudo determinata AF, latitudines autem ubique Ao, Plo,& caeterae. nedum non infinitae, sed semper minores, usque ad ultimam F L soli subtangenti aequalem, infinitum esse non posse , imb esse minus tectangulo F Ao ilIud circum. seribente .