장음표시 사용
31쪽
gens B ineasdem secans in M& in spatia trilinearia A B Κ.H in sunt inter se, ut partes
ordinatarum inter curvam. 8e tangentem, scilicet ut A .r inbd spatium infinitum
inter ordinatam, Logiiticam.& asymptoton, qua parte hae ad invicem accedunt, duplum est trianguli comprehensi o di nata, tangente ad idem Ordinatae punctum , ac subtan
32쪽
spatium infinitum post ordinatam B F duplum est trian
ordinatis interjectum aequale est rectangulo subtangentis indifferentiam earumdem ordi natarum ; sic in eadem figura spatium A D F B aequatur rectangulo subtangentis Fo in KA.
ab infinito spatio post aliquam ordinatarum in conversione circa asymptoton, est sesquialterum Coni, cujus altitudo aequetur subtangenti , basis vero semidiameter ordinatae par fuerit. Ita solidum geni- tu ab infinito spatio BFo Cinconversione circa Fo sesquialteruin est Coni geniti ex triangulo B F o circa camduF O revoluto. io Quod solidu productum ab eodem infinito spatio in conversione circa ordinatam B F, post quam exporrigitur, sextuplum est Coni geniti ex triangulo B F o in conversione circa BF. Ex qua quidem solidorum mensura consequb
et i Quod centrum gravitatis infiniti spatii post unam
33쪽
tangente. 2 ce mefme eentre de
rs On Icais Uez.que certe ligne LogistiqueIera a la I drature de twperbole, deTuis, ordinatarum , distat ab haeordinata longitudine subtangentis. ia Quod idem gravitatis centrum distat ab asymptoto Per quadrantem ordinatae. i 3 Reperimus etiam. quod centrum gravitatis primi ex dictis solidis infinitis distat a sua basi per semissem subtanissentiS. a 4 Et quod centrum gravitatis alterius sblidi distat ab ejus infinita basi per octantem sui axis. is Notum iam est, . hanc Logisti eam lineam Tetragorintimo Hyperbolae deserviret les demonstrations δε P. Grego. post demonstrationes P. Greia ire de Salvi Vincent , istuc ut gorii a S. Vincentio circa Hyles es ces H erooligura com- perboliua spatia duabus ad al- Dipite Coo e
34쪽
pris evire deo ordonntissur teram asymptoton ordinatis
ordo tis de Punsolent eomme bus ordinatae unius sint , ut
figure, Oles ordonunde tau- gura, & ordinatae alterius, ut ire comme B Fa CE; res pa- B F ad C Ε, haec spatia erunt cesseranι emre eo comme les inter se, ut lineae D G, & F E. Q - DG ὰ FE. Emis Ov Nondum autem, quod sciam, D'apointremarque, γυροω- innotuit, haec ipsa spatia hyche, que ces me mes resera H - perbolica est ad parallelogra. perboliques soni au marauelo- mum hyperbolae sic voco pa- gramme de l'wperbole j'π- rat Ielograminum, cujus latera peste aiin se parallelogramme sint duae ad utramque a m-
λnuressurissas totes ir/- cto Sectionis ductae ) ut una es Pan mesme potui de la δε- quaeq; linearum D G, F E est orion commechacave des lignes ad subtangentem F O. Adeo D G , FE , d la sutaugente ut, si parallelograminum hy-FO. De sorteque, F le ParaL perbolae suponatur partium O, Iesuramme de ι inperbole est 4 29 8 is, quodlibet hy-O, 43 a 9 8 9star- perbolicum spatium duabuities, chaque eoace H erboli. ad alteram asymptoton ordique, compris evire deuxordov- natis interjectum erit ad hocnρει ὰ une desaomptotes , stra parallelogranimum , ut Loga-ὰ ceparat logramme, comine Ie rithmus proportionis earum- Logarithmedela proportion des dem ordinatarum, videlicet mesmes ordonnias, c's ὰ dire ut di fierentia Logarithinorucomme la deerance des Loga- respondentium numeris ex-rit es, des nombres qui expri- primentibus proportione Ormenιlaproportion des ordovve- di natarum , ad numeri m o,ra,ctuvombeo, 3 29 48iv; ψ3 29 48i9; acceptis Loga-enprenam des Logarithmes de rithmis decem notarum ultraici characteres ouιre la chara- caracteristicam. .
Eierisique. Et d i ilestahe de verifer Atque hine facile est veri. la Quadrature de I inperbole talem Ossedere Tetragonismi
35쪽
queiadi rinnees dum is Traitὸ Hyperbolici abs me propositide ravolution des Limnes Coam in tractatu deΕvolutioneCuriatis, apsi es dans rem Horolo- varum, quem Horologio Osingium oscillatorium. lauris insertum invenies. ctenus Viri CIarissimi a que, ae Doctissimi Theoremata perinde nova, atque admirabilia: nunc ad eadem demonstran
Prim Theore nate proposito, ostenditUr oggregata qποtlibet geometrise proportionalium a minimo esse inter se, ut di ferentiae terminorum maximi , O minimi. Acommenserabiles magnitudines per ablatione quantitatis minoris qualibet data reddi commensurabiles. Histe primi Theorematis Hugeniani demonstratis mare Archimedeo. Spatia Logisticae aeque alta sunt inter se, ut homologae ordinatae, spatia quoque is λιὸ Dua sunt, ut bases. sodvis spatium ad subs quens infinitum est, ut disserentia suarum ordinat rum ad minorem. Hinc secunda uasdem trimi Theorematis demonstratio.
t A Primo igitur Theoremate Clarisitai Hugenii auspiean- propius attingamus. Illud, ut vidimus, cit : Myo patia compreheus inter duas ad Oomptoton ordinatas Iuni anter se, ut eari dem ordynatarum isser iae. Sic in
36쪽
ut demonstrenaus duo omnino sunt praemittenda primae demonstrationi, alterum circa aggregata terminorum Propo tionalium, alterum de lineis incommensurabilibus , quam- ruina enim primum ex Torricellii flexilineis, eiusve lemm. 18.e dimensione parabolae facito deduci potest, secundum verbexpressE Cavalerio exercit. 6. proP. 24. demonstratum fuerit, malui tamen demonstrationes meas per extensum afferre, ne Lector, libris illis sorte ad manum non occurrentibus,
in horum Theorematum demonstratione haesitare possit, sed solis Euclideis, Conicisve ad summum elementis instrulius, absque alio subsidio , omnia inoffenso pede percurrat ;uuod & alias infra observabimus, semel hie monuisse su D
a Dico igitur primb, quod, si fuerit duplex series quotcumque terminorum in eadem ratione geometrice proportionalium , erit omnium aggregatum, minimo excepto , in prima serie , ad aggregatum omnium, pariter minimia e cepto, in scrio secunda , ut disserentia maximi a minimorrb
37쪽
primae ad disserentiam maximi 1 minimo seeundae seriei. Sint enim magnitudines ejusmodi in prima serie A,B.C, D. E. quarum maxima A, minima L . utriusque diuerentia F G .
BIN Pdisserentiae autem singularum per ordinem a proximε minori sint a, b, c, d, utique simul iumptae aequales ipsi FG extremarum Sint pariter secundae seriei magnitudines M,N, P, Q quarum maxima M , minima utriusque disterentia It onmiliter aequalis omnibus simul partialibus differentiis duarum quarumlibet sibi succedentium,quas notant litterae m,n,p; sintque in eadem ratione continue proportionales tum quae in prima serie, tum quae in secunda reperiuntur . Dico A B C Dsimul ad M N P simul sumptas esse, ut F G ad R Ο; cum enim sint A, B, C, D, Ε, continue proportionales, erunt in eadem ratione proportionales earumdem differentiae a, b, c, d; atque ut una A ad unam a , ita omnes A B C D simul ad totidem ab ed simul sumptas, idest ad ipsam F G iis omnibus aequa- Iem : eadem ratione ostendetur, ut una M ad unam m, ita omnes MN P ad omnes m n p, sive ad R O. ipsis aequalem ; est autem ut A ad a, ita M ad m, quoniam supponitur elle A ad B,
ut M ad N; igitur ut A BCD ad FG, ita MN Pad RO, &alternando ut summa terminorum primae seriei excepto ultimo ad summam terminorum posterioris ultimo pariter exceptos
38쪽
pto, ita FG diffoentia primi ab ultimo in ptima serie ad Rodifferentiam primi ab ultimo in serie secunda. e. d. 3 Dico secundb duarum incommensurabilium magnitudinum majorem pOila minori commensurabilem reddi, ablata magnitudine minori qualibet data Sunto enim in tig. a. hujus diagrammatis duae ejus indi quantitates in commenturabiles, AB major, & C minor. quaelibet autem magnitudo proposita A Ε quantumvis parva; dico posse ex majori AB auferri quantitatem, puta AD , minorem assignata A Ε, ita ut residuum D B iit jam ipsi C commensurabile ; nam bifariam
divisa C, aeturius subdivisa qualibet ejus medietare , pater fore ut jam deveniamus ad aliquam ejus partem F minorem datama tudine AEt multiplicetur itaque F. quousque fiat proxime major i Asa B Ε, & aggrNatum ex F toties accepta sit B D, patet B D, minorem fore ipsa B A, quia B D ad summum superabit EB quantitate F,Juxta conuructionem, minori quam siti Α Ε, aut plerumque. nec intefra quantitMe F, sed ejusaliqua portione multd magis minori. ipsa Λ E ὲ itaque BD minor est, quam BA, defectu AD minori quam sit proposita magnitudo AE, sed & eadem BD ipsi C comment .
39쪽
rabilis est, habens cum ipsa mensuram communem F, ex qua pluries repetita consurgit; igitur ex majori Α B duaru in com-naesurabilium magnitudinum facta est ablatio partis AD mi noris data quantitate A E , residua DB jam commensurabiIi ipsi C remanente. 4 e. f. . Iam libero pede Hugeniani Theorematis demonstrationem Archimedeo more sic instituo. Aseg Spatiorsi A B C UA B QP s quae demonstranda sunt invicem esse, ut U E, D Κὶ altitudines BC, BQ vel commensurabiles sunt, vel incommensurabiles. Sint primum commensurabiles, mensura Bx utrique eommuniter inserviente, distributoque axe BC, &residuo C in particulas ipsi B x aequales, ac ductis ordinatis. fiant parallelogr1ma aemae alta B Z, A Z, dce. usque ad C m circumscripta spatio BCV A, quorum ultimum C m illi penitus extrinsecum remanet, continueturque eadem parallelogrammorum aesue altorum series per reliquum spatium C UDin, cui pariter circunt scripta sint ina. una, &c. usque ad QN, quod toti spatio extrinsecum pariter erit: At si mensura Bx non satis ad propositum exigua fuerit, poterit illa, Misquentes portiones ipsi aequales, bisariam dividi , ac rursut
40쪽
hisariam . multiplicatis parallesogrammis haec spatia circumscribentibus, quousque excedant eadem spatia minori excessu quolibet dato, siquidem ille excessus minor semper erit primo parallelommmo BE, quod diminuta ejus latitudine) minus esse poteu quavis proposita quantitate; erunt autem haec parauilelogramma aequa alta, ut tales, nempe ut ordinatae in istuca paribus intervallis dissitae, adem; erunt. ex primaris i isticae aflectione cap. l. num. a. relata, In contInua Pr Ortioue, unde ex primo assumpto nostro Num. a. hic probato, aggregatum omnium parallelogrammorum circumlcriptorum spatio ABCV, praeterminimum toti spatio extrinsecum C m , ad aggregatum omnium circumscriptorum spatio Α D Q B, ex. cimo pariter minimo QN . erit ut differentia BE a C m. scilicet ut m VE, ad differentiam ejusdem Bet idest ad OD Κ, atque adeo ut V E ad D Κ. moniam igitur series parallelogrammorum eiusmodi spatia circumscribentisi semper, quantacumque fuerit ipsorum multitudo, & quantumcumque aceedant ad ipsamet spatia, inveniuntur esse in rati ne constanti V E ad DK, patet utique Viris Archimedeis εο ipsamet D istica spatia iis parallelommmorum seriebas inscripta, nempe A V CB. & AD 1B in eadem esse ratione