장음표시 사용
61쪽
s Quamqu in vix operae pretium fuerit iis velocitatibus
comparandis intillere in paratalarum genere, ubi semel conis1titetit in quonam puncto velocitaS aequabilis motus adaequet celeritatem deiceiis ivam, Invento lcilicet semel pulicto a, ubi ordinata an aequalis est subtangenti nb quod quidem evenit ubi an ad n Cest, ut exponens gradus parabolae ad unitatem, icilicet in quadratica, ut 1 ad a. in cubica, ut 3 ad ι.&c.
quia enim curvae parabolicae simili in singulis suis partibus ae-
Celerationis genere describuntur, ita continue Ordinato, ut spatia curvilinea ad circumscriptum parallelogram n um aequalen semper rationem obtineant, etiam in his eadem semper
erit ratio subtangentis bn ad abscissam n C, vel spatii Ct ad interceptam a tangente fo; unde cum notum fuerit an . seubn ad n C dupla melle in quadratica, triplam in cubica Parabola, &c. etiam BN ad N C in eadem semper ratione esse. manifestum erit, quare expeditius dabitur tangens ad quodlibet punctum A. . Similiter & in Hyperbolis, quarum pariter uniformis est ubique acceleratio, unde & parallelogrammorum quibuslibet spatiis inscriptorum eadem semper est ad infinite longa spatia iisdem basibus insistentia proportio, subtangentes ad distantias a centro eamdem perpetuo rationem observabunt. Invent
in Hyperbola Aa C ad asymptoton f D , D bPuncto a , ubi subtangens aequatur ordinatae, idest ubi velo
62쪽
citas motus aequabilis deicentivam adaequat s quod quidem eveqit, ubi an ad n D est, ut exponens gradus Hyperbolae
ad unitatem, scilicet in lineari, seu Apolloniana, ut I. ad I.
in quadratica ut 1 ad i. in cubica ut 3 ad i. &c. prorius ut in Parabolis contingit, simili enim cum it Iis motu describuntur, sed dumtaxat reciproce polito, unde evenit subtangentes ca
dere ad partes oppositas axis origini, idest sub ipsis ordinat is cum constiterit iubtangentem inventi puncti a , nempe bnesse aequale in prima, duplam in secunda, triplam in tertia Hyperbola distantiae a centro nD , notum similiter erit, etiam quamlibet aliam subtangentem B N ,n eadem esse ratione ad distantiam N D suae ordinatae N A ab eodem centro. 6 Dissicilior est aliatum figurarum tractatio, in quibus non usque adeo perspoeti occurret ad singula puncta velocitatum incurvae genesim conspirantium proportio; generaliter tantsim dici posset,velocitates descensivas ad singula curvae puncta esse ad invicem, ut spatia synchronis quibuscumque temporibus peracta, sive ut disterentis aeque distantium ordinatarum intervallo infinite parvo dissitarum, seu videri. g. anteced. si concipiatur ad axem C f O curvae cujuslibet Ca A applicata figura . Gg cujus portiones avertice abscissis per ordinatas, veluti gCf, G . . sint ad invicem, ut ordinatae ad prio
63쪽
spatiis a vertiee abscissorum . optime repraesentare infinito parvas dii iurentias ordinatarum fa, . quibus di spatia Proportionantur, adeoque etiam exprimere gradus velocitatum motus descensi vi, itaut si talis celeritas in a sit, ut fg, in A futura sit, ut Φ G ; & si reperiatur in curva tale punctum a. cujus orditiata af ad abscissam fC in eadem sit ratione , in qua spatium fg C ad parallelogrammum illi circum scriptum tgb C, habebitur in a puncto velocitas descentiva aequalis celeritati transversi motus aequabilis, adedque haec velocitas aequabilis optime exprimetur per fg, cateris descensivi motus celeritatibus per alias parallelas, ut supra, determinatis; &si fiat, ut parallelogrammum circumscriptum cuivis
spatio CC Φ ad ipsum mei spatium, ita BN ad N C, aut Cad Φ f, juneta A B, sleu A s erit tangens; similiter si fiat ut rectangulum A o G ad spatium Φ G sita A Φ ad Φ f, aut liad rectam O G applicetur spatiuari ei GC, & faciat latitudi . nem Φ f, juncta A f tanget, quorum unum, vel alterum juxta variam curvae naturam, ejuivo genetina, praesertim si ab initio figura CGΦ determinata fuerit ut ii quaeratur de curva Ca A genita ex transversali aequabili motu lineae CN per da. iam C. , &descentivo puncti C per totam CN, ita accel rato, ut in quovis puncto a gradus ejus celeritatis proporti netur ordinatae fg dati trilinei, alteriusve figurae CCO datae.& ad datam lineam C Φ applicatae aut aliquid cum his con nexum facilis innotescet, ac tangens expeditὰ determinabitur . . t i t7 Quorum omnium ratio , quamquam sui scienter in demonstratione nunti allata contineatur, breviter indicari poterit sic. Tangens ad aliquod curvae punctum illa recta est. vam deseripsisset, & describere pergeret punctum descendensu gradum velocitatis, quem in dato curvae puncto obtinet.' aequabiliter retinuisset, transversili lineae motu eodem remanente; ex eo enim, qubd,remota acceleratione, motus puncti
A. insig. . fieret per At, ostensum est A l tangentem esse; at si fiat B N ad N C, ut parallelogrammum BG. Cadfiguram CG Φ , iuncta B A erit via , eui insisteret punctum descendens, modb gradum celeritatis suae ΦG toto tempore
64쪽
C Φ retinuisset consecisset enim spatium B N, quod ad N Cacceleratὸ percursum foret, ut planum velocitatis aequabiliso GBC ad planum acceleratae Φ G g C, spatium vero tran-iversali motu emensum esset eadem N Λ igitur juncta in tali constructione AB erit tangens; edmque &CΦ ad Φ f sit in eadem ratione B A ad A L seu BN ad N C; necnon A.ad
Φ f rationem habeat compositam ex ΑΦ ad e, C, seu rectanguli A o G ad C Φ G. & ex ipsa C Φ ad Φ f, quam vidimus esse, ut rectangulum C ΦG ad spatium GCΦ; itemque cum C Φ ad Φs sit, ut rectangulum C OG ad fΦG ; igitur si fiat C Φ ad Φs, ut parallelogramum circumscriptum spatio . GC ad idem spatium, aut A v ad Φs, ut reii angulum ΑΦ G ad idem spatium, aut applicetur ipsi . G dictum spatium, & faciat latitudinem Φ f, temper juncta A f erit tangens; sed quorsum plura y praecipuae ex his constructionibus , unde caeterae pendent, geometricam confirmationem s si abstracta haec motuum consideratio obscurior, aut minus tuta videatur) habe
8 Eadem fere applicari possunt aliis curvis ex circuIari, &progressivo motu descriptis , quemadmodiim infinitae Spiralium species, Conchoides diversorum generum , Cycloidesano malae P. Cevae aliae quam plurimae s imbquid vetet,ubi
commodum accidevit, figuram prorsus omnel ejusmodi motibus compositam. concipere , electo intra , aut extra ipsam Disitire by Gorale
65쪽
quovis puncto,velut circularis motus centro, unde protensi aclcurvam rami radiorum elongationem , pro verio progressivi
motus puncti per ipsos fluentis incremento, exhibeant p illud
tamen in his Mervandum, qudd sicuti ι .num. Iz. adgenesim Spiralis Geometricae per convolutiόnem Lmisticae, totus ejus axis in punctum contrahebatur, ordinatis adaequales axis portiones in totidem ramos aequalibus angulis divaricatos abeuntibus . ita ad rem nostram aequabilis motus lineae per axem delatae in circularem circa centrum commutandus est,
descensus verti puncti, aut progressias per ordinatas . debet ita progressum puncti per curvae ramos, seu radios figurae converti ; atque ut velocitas progressivi motus ad circularem, ita ipseramus . seu radius spiralis , alteriusve figurae praefato modo descriptae, ad portionem lineae ex centro perpendiculariter ad eumdem radium insistentis , utpote parallelae tangenti arcus per circularem motum descripti, in qua est ipsius directio; hoe insuper animadverso,quod circularis ille motus aequabilis eodem velocitatis gradu minime pollet in singulis curvae pu
66쪽
hi gratia sumitur circularis motus puncti a spiralis C a A, in qua sumitur circulatio puncti Α, ille quippe sumendus inperipheria a I radio Ca descripta. quem solum motum Participat spiralis in puncto a. o Atque inde est,qi Iad subtangens quidem puncti A in spirali Arenimedea post uitegram revolutionem radii C A aequalis est periphetiae ALBA eodem radio descriptae ex illente siquidem hic utroque motu aequabili,ipsorum velocitates su nt, ut spatia eodem tempore percursa, ut si velocitas progressivi motus sit C A, velocitas circularis sit ipsa C B subtangens aqualis peripheriae eodem tempore percursae at veru subtangens b c puncti alterius a eadem non erit,ae quae ad dictam peripheriam sit, ut C a ad C A. ut aequabilitas motus exigeret, sed velocitate progressivi motus expressa per Ca, velocitas motus circularis erit tanto adhuc minor, quantd propius centro est punctum a , idest, ut arcus I da, quem eo usque linea Ca illo puncto descripsit , & cui propterea subtangens ch aequalis erit; itaque decrescunt subtangentes in duplicata radiorum ratione, quia semel ob diminutionem radii, & semel adhuc ob pariformem diminutionem circularis velocitatis, atque adeli vertice C descripta parabola A L Κ, ductisque A Κ,
IL ejus axi parallelis, erunt hae ad invicem, ut subtangentes
radiis helicis C Α, &Ca aequalis C lj respondentes; quod si Spiralis ejus seneris fuerit, ut spatia AC, a C motu proingressivo percursa sint in subduplicata temporum, aut arcuum circulari mora aequabiliter percursorum ratione, manifestum
est progressivam celeritatem puncti A , vel a subduplam fore ejus, quae fuerar in prima Spirali, & exponendam per semis.sem radiorum C A, vel Ca, si eadem retineatur linea expo. nens celeritatem sequabilis circulationis, aut si illa exponenda sit per integras lineas C A, C a, aequabiIem celeritatem exponendam fore per priorum subtangentium duplas; erit igitur in hoc casu subtangens CB dupla circumserentiae A LDA, &sub tangens Ch dupla arcus ad I, qui ex tribus capitibus minor cru illa circumferentia, nempe in duplicata radiorum ratione , & in earumdem simplici adhuc decremento Ob appro-Σimationem centri, unde parabola cubica C L K descripta, in
67쪽
qua axi parallelae K A, LI sint in triplicata radiorum A C, CIratione, sive ut eorumdem cubi, erunt ipsae axi parallelae, ut subtangentes ad correlativa curvae spiralis puncta; similiteria aliis Spiralium speciebus, ac parabolis per ordinem correspo- dentibus procedere potes ; quod innuisse juvabit ad comparandas Spirales curvas cum congruis curvis parabolicis, uti
circumserentiae A L D in prima Spirali, aut a ejusdem in secunda, aut a in tertia, a in quarta, &α prima parabola existente quadratica, secunda cubica , tertia quadrat uadrati ea, &c. Lineae, spiralis.¶bolica aequales erunt; Imo et si motus circularis & ipse aequabilis non fuerit, sed acceleratus, congruae parabolae nihilominus reperientur earumdem nempα Iotestatum in axe, & ordinatis, quot fuerint in respondentis piralis circumferentia. & radio, sed ordinatis parabolae actianili plures gradus elevatis, quot fuerint unitates In exponente potestatum axis, neque enim dissici Iior est subtangentium A ad has Spirales determinatio, faciendo semper, ut velocita
68쪽
peogressiva ad circularem, ita AC, vel a C ad subtangenten, CB, aut Ch ex centro perpendiculariter ductam adiuumr dium, uti pluribus explicare superfluum est. io ita Spirali Geometrica, quoniam ex dictis N. r. n. I a. trula per convolutionem Logisticae describitur ad maximum radita C A posita C B subtangente aequali iubtangenti eiusdem Logisticae, quae eonvoIvitur, aIiae subtangentes C b tamb mianores prima C B faciendae sunt, quantb minor est C a ob rationem in fine num. 8. indicatam, quia in ipsa evoluta Lomitica subtangens cujusvis orlinatae semper eadem est, ut iupra ostendimus, & mox post illustratam Lanc methodum ostensuri sumus; atque inde est, qudd tria ngula C A B, C a b se ee similia sunt, angulique a radiis,& tangentibus aequales, totaq curva A a C aequalis tangenti A B, & a a C tangenti ab , &coimbuniversaliter, si curva quaelibet convolvi in Spiralem in . telligatur eo modo , quo de Logistica citato loco exposuimusksubtangentes radiorum quorumIibet Spiralis erunt tamd minores , quam forent subtangentes relpondentium aequalismi Ordinatarum evolutae , quam, propiora centro sunt puncta extrema dictorum radiorum, quam punctum extremum maXimi radii, quo vides nedum Helicis Areti iniectae,' aliarum ο
69쪽
divertorum graduum, Ur convolutiones, trianguli, parab Iaeque, quadraticae, cubicae, &c. genitarum,tangentes determiis nati cohaereter ad dicta numero superiori, sed infinitarum propa aliarum Spiralium, quae ex quavis figura sic eonvoluta oriri possunt. ii Non rarb autem juvabit duorum in eodem radio punctorum motum invicem comparare, quorum alter cognitus sit, alter certam ad illum proportionem obtineat: exemplores et arior fiet. Esto Nicomedea Conchois A a B, polo P, regula FH descripta, intervallo AF, cui aequalis supponatur GP radius circuli GgM. &quaeratur tangens puncti B; iuncto ramo P B secante praedictum circulum in M, regulam in D, considero curvam A aB genitam ex circulari motu lineae P Acirca P. & ex progressivo puncti A per ipsam P A ita alae dentis, ut non obstante eius inclinatione ad regulam FH, ipsum punctum eamdem semper a regula distantiam observet. 1it nempe FA semper aequalis DB; progressus igitur puncti A venientis in B, nempe excelsus P B supra P A idem erit, ac excessus P D supra PF; eadem igitur velocitas erit hujus progressivi motus, atque illa quam haberet punctu ni F, si in
circulatione lineae PF ita per ipsam ascenderer, ut semper reperiretur in regula FH, eamque re ipsa describeret. Velocitas autem circularis in descriptione Conchoidis urit ad punctum B tanto maior, quam circularis velocitas in descriptione rectae FII ad punctum D, quanto major ea BP, quam P D. Ducta igitur tangente circuli S M o, atque huic paralla lis D l,
70쪽
BC , junctaque PlC , dueatur ramo PBPrallela I Κ, occurrens regulae in Κ, atq; eidem parallela C c, qualis ipsi lΚ.
Juncta erit tangens quaeli a ; mb us Irquidem per D Κcomponitur ex motu ster Di parallelam tangenti MS, quae circuIaris motus directi bn m exhibet, &exnvituper IK p rallelam P D, in qua est motus progressivus; sed & motus per Aa B componitur ex eodem progressivo, qualem exhibet linea C equalis,& parallela ipsi Κ,& ex circulari in eadem directione, sed tantb majori,quantb Iongior est B P,quam D P, adedque optime exprimendum per BC, quae ad Di in eadem ratione respondet, igitur juncta aB dabit dire lioncm motus ex utroque compositi; idest tangentem ad punctum B. Simili modo etiam Subconchoidis tite voco curvam, ad quam sunt puncta abscitidentia ex ramis PF, P D infra regulam aequatia intervalla) aliarumque specierum in infinitum curvarum Conchilium,&Subconchilium, clim scilicet abscilla ex ramis, vel supra. vel infra regulam inter ita, non quidem
radiis P M quadrantis eircularis aequalia sunt , sed subtensis, seu ramis PM .Pg alterius cujuslibet figurae G Mg quomodo si haec sit semicirculus circa diam metrum P F, habebitur ii fra regulam Cisseis Dioclea in infinitum continuata, quam propterea ad genus Subconchilium revoco tingentes expedite dabuntur, quas etiam geometrici&demonstrationibus co- firmare, & generali quadam constructione exprimere in promptu esset, nisi verendum foret, ne longius ab instituto digrederer; itaque solam primariae Conchoidis geometricam demonstrationem, ex qua Lector, si acuto pollet ingenio,iacit Psibi caeteras coparabit,in medium asseram,quae quide est hujus.
ra Supponatur BC eoneurrere eum regula in C potest
enim tum BC, tum D I eujuslibet longitudinis esse, dummodo intra ramim P B, & junctam PCcontineantur j ducto a tem MoviS alio ramo Pa, secante regulam in f, ponatu τ f EaequasS,non quidem radio P g, set Ρm secanti anguli MPg,&lic ubique fiat, ut habeatur curva EBE, quam manifestim est tangere Conchoidem in B, quia, eum P m semper maior sit