장음표시 사용
41쪽
s Sint jam altitudines BC, BQ incommensurabileo; poterit, ex secundo alsumpto nostro num. hic demonstrato, sumi BN deficiens a B Q quantitate Na ni inori qualibet data , commensurabilis verbexistens ipsi BC, quom ino, ordinata N M R, habebit spatium ΑVCB ad AMN B eamdem rationem, quam V Ε ad MR, argumento proxime allato id concludente. Si igitur major es Id dicatur ratio A V C Bad AD 3. quam ratio linearum V Ε, &DK, poterit ipsa M R tam proxima esse ipsi D Κ, & tam parum ab ipsa defic re, ut ratio dictorum spatiorum sit adhuc major , quam ratio
lineae V E ad Μ R , hoe est quam ratio spatii primi A V C Bad A M N B, atque aded foret Α D aB minus quam A M N B,
quod est absurdum; si vero minor esse dicatur ratio dictorum spatiorum , quam linearum illis, ut supra , respondentium,
ioterit nihilominus linea N M tam proximae esse ipsi QD, &patium AMN B tam partim deficere ab ipso AD , ut ratio AUCB ad AMN B, hoc est ratio V Ε ad M R adhue minor sit, quam ratio VΕ ad D Κ , atque adeb M R majot foret ipsa DK, quod pariter est absurdum; AEqualis igitur est ratio AVCB ad ADQB rationi V Ε ad DK . Ge. d.
6. Aliam adhuc expeditionem sortasse ejusdem Theor malis demonstrationem subjungemus , his aliis praemissis , quae demonstrasse in sequentibus non pigebit: & primo notare juvat duo quaelibet spatia Logillica aeque alta, juxta in-
42쪽
divisibilium methodum , ostendi esso ad invicem , ut lant Homologae utriusque ordinatae ; nimirum pari existente altitudine B C ab uatium B A UC ad CV erit, ut BAad C V, vel C V ad QM; sumpta enim ubivis B x aequali C n.
Et ordinatis x S, nr, erit ex natura curvae, ut B A ad x S, ita . CV ad - &ahernando, ut ΒΑ ad CV, ita x Sin nr; Rhoe semper; ergo ut una ad unam, ita Omnes ad omnes, nemis
se ut B A ad C U, ita *atium B A V C ad C V D ut quod
Erat,&c. Neque refert sint, ne haec spatia conjun sibique immediatὶ succedentia, an prorsiis disjuncta, vel ex parte com- municantia, eadem quippe ratio, ut constat, perinde obti.
et Deinde observare oportet, spatia post quamlibet ordina- . tam in infinitum producta esse ad invicem, ut sunt ipsae ordi- natae, seu bases talium spatioru; sic D A Bo, & D V C cre, . ex parte R utraque interminata, & infinite longa, sunt ad in vi- . Cem, ut B A,&C U. Id sanὰ constat, tum quia infinita B QR, ct infinita QR sunt aequales, quum differant finita longitu- cine BC 'tillam rationem habente ad apsarum urinnalibet. , quare ex dictis numero praecedente spatia iis adjacentia sunt, 'inprdinatae A B, C V i, tum etiam exactius sie.
43쪽
Diviis interminato spatio D A B QR in infinita spatiamve alta BV, CH, GD. &e. similiter &-io DUC Rin infinita ejusdem altitudinis spatia CVH GH Din&c.
Munt inrobique, ex supra demonstraus inpraredemi numero, spatia illa mes alta, ut frae ordinatae. ade ;In geomet Ira m gessioAe;omnes igitur termini B U. C H. &c ad omnes C H.
D. M. in infinitum continuatos erunt, ut primus rerminus B V ad primum C H. ex ι a. v. elem. aut ex 29. lemmate T Gricellii de dimensione parabolae alias citato a adebuue erunt. ut
B A ad C V. Quod e. d. 8 Hine ultrd profluit tertium Cl. Authoris Dieorema,qubdspatium dua' sordinatis interiectum eii ad infinitum spatio. quod post minorem illaru exporrigitur . ut ditarentia utriusq; ordinatae ad minorem ipsarum ; quia enim DAB QR ad D V C QR est, ut B A ad C U , igstue dividendo A U C B ad subsequeris interminatum spatium post CU est, ut ΕV ad V C, & similiter AD B ad interminatum spatium post mest, ut KD ad D Q. 9 Alia igitur primi huius Theorematis demonstratio se insistanda erit; spinium A BC V ad interminatum V DR . in
44쪽
Adfecundum Hugenii Theoremadem randaran, syllaesit Logisticaparameter ostentitur, , quomon aequalis sis bubtangenti. Post demonstrationem hecandi Geο-rematis ad quartam proceditur, quo demonstrato, δε- terminatoque rectanguis aequali spatio Logisticae tu niu longo , exponitur Auctoris circumspecta loquutio de ratione toniti sparti ad Auitum , ac familiaribus exemplis suaderar insiniιλ Anga spatia determinataeaaηιitaii aqualia esse posse. Datis ρον varia r ιιonis ordinatas in L ica abscissa quam proportis-nem habeant ; regula addignoscendum quando patia infinite longa , aar inst iiii termini Muam aggregent .astitatem , quando versti vitam.
45쪽
a PN seeundo Theoremate; Auctor, edi AO curvam ungente adluxauma, qua Iecet Mas CE,
ΓΚ in I, Gi separia OVE, A DE sunt interse, ut recta
DG. Quod pariter ut demonstretur determinanda Prius est Logisticae, ut ipse appellare soleo, Parameιer; haec autem ejusmodi est. a Exponatur linea S, quae eum quavis ordinata inter Logisticam, & axi parallelam , veluti cum V Ε, contineat rectangulum aequale spatio A U C B, adjacenti eidem curvae ad par tes axis; manifestum est, qudd eadem constans linea S continebit cum quavis alia simili ordinata D Κ rectangulum aequale patio correspondenti ADQI ; cum enim ex primo Theoremate spatia V A B C. D A B ci sint, ut rectae V Ε, D Κ seu,' ob communem altitudinem S, ut rectangulum ex S in V E ad aliud ex S in DK , ubi spatium V ABC suppositum fuerit aequale iectangulo S in V Ε, spatium pariter D A B Mequale erit rectangulo ex eadem S iis D K; itaque non incommode Iinea S. Looisticae Parameter deinceps Npellari poterit, eliqubd sit linea, iuxta quam ipsae V Ε, DK possunt spatia Logisticae adjacentia Au CB, AD 3.3
46쪽
3 Ostendemus autem hanc Parametrum Logistieae subtangenti, idest axis portioni inter ordinatam B A. & tangentem A G intereeptae, semper aequalem esse, itaui, posita B O ae ali ipli S, junga O A curvam tangat in A. Sumpto enim in o Aquovis puncto I supra, vel infra A , ordinataque CI ROccurrente axi in C, curvae in V, axi parallelae A K in Ee erie. ob similitudinem triangulorum OBA, IAE. ipsa OR ad B A. ut A E ad ΕΙ; rectangulum igitur o B in EI aequale erit rectangulo B A E ; sed spatium B A U C est, ex numero predenti, aequale rectanguIo Paranistri, idest ipsius Ο Β in v E; ergo rectangulum B A E ad spatium B A U C est, ut recta I Rad EV ; puncto autem i supra A existerite manifestum est rectangulum B A c illinus eue atio B A u e . ergo tune i eminor est, quam eu; ob oppositam rationem, accepto Puncto I infra ipsum A , erit rectangulum B A E majus spatio BAUC, unde & recta I E major ipsa EU; quare in utroque casu punctum l est extra curvam. & ipsa O A est tangens.
Quod erat demonstrandum Hoc posito, demonstratio secundi Theorematis Hugeniani sic instituenda erit; cum, ob similitudinem trianguloruo AB, GAK, sit OB ad BA, ut AK ad G Κ, crit rectangulum ex o B in G Κ aequale rectangulo B A K sed O Bin D Κ jam aequatur spatio A DRB.ex supradictis p igitur reliquum rectanguIum ex OB in DG aequator residuo spatio D A K υ Similiter ostendetur, rectangulum ejusdem: o B in VI aequari spatio A E V; igitur ut praedicta rectangula, livo ut eorum bases D G, UI, ita spatia ipsa D A Κ, UAE; quod
s De tertio Hugenii Theoremate, quod est ; Spatium dum bus ordinatis interjectum esse ad spatium infinitum, quod postminorem earumdem ordinatarum exporrigitur inter Logi am, O ejus t D toton, ut disserentia earumdem ordisuarum es ad mino rem , vempe is praecedenti figura spa tum se ad spatium infinitum , quod post minorem earuandem ordinatarum exporrigitur inter Logisticam, O ejus e F Dron, ut diserev tia earumdem ordinatarum est ad minorem ides in graecedenti
Agura, spatium A B aue esse ad spatium; iam pseps My
47쪽
inter curvam, OUFmptoton inserjicitur, ais KD de hoc. inquam, Theoremate non est quM simus solliciti, quum ejus veritas jam innotuerit ex dictis cap.praeced. m.8. ut nihil iam addendum supe t. nisi hoc quasi corollarium, scilicet. 6 Qed spatium infinitum pou quamvis talisticae ordinatam curvae. & asymptoto interiectum, aequale sit rectangulo iubtangentis, seu parametri BO in eamdem ordinatam;
nam, ut DK ad D Q. ita rectangulum ex Bo in DK ad re- Elangulum ex Bo ita Q. & ita etiam spatium ADQB ad ad infinitum spatium poti exporrectum; quare quum rectanguIum ex B O in V K sit, ex dictis, aequale sititio A D ci etiam Bo in D tit aequale spatio infinito post QDexpor
7 Quae verbeircumspectὸ ingerit Nobilissimus Auctor illis verbis: Ckmporeὸ dicimus infinitum spatium ad quoddam finia
sum in certa ratio-se, Me unum intelligendum volumus , tam proximὸ illud accedere ad daιum spatium, suo finito illi spatio indicta proportione respondeat, ut disrentia miuor evadere possit qualibet magnitudine data. Non ita accipienda sunt, nec etispectant certissime, ut scrupulum movere videatur Cl. Author,
48쪽
num exacta aestimanda sit proportio, quam inter utrumq; spatium assignat; ex quo enim Torri cellius infinitum solidum hyperbolicum in cylindrum aequalem determinatae basis, Sc altitudinis commutare Geometras docuit, necnon infinitorum proportionalium terminorum series in unam summam colligere, jam extra dubium est magnitudinem una, vel altera diis
mensione infinitam sputa multitudine, licet non mole, si de quantitate discreta sermo iit, longitudine,licet non latitudine. ii de spatiis superficialibus loquamur, aut longitudine, licet non crassitie, vel crassitie quidem . sed non longitudine, loquendo de solidis ὶ ita reliquis dimensionibus ad absolutam ejus magnitudinem integrandam concurrentibus limitari posse, ut quantitatem prorsus finitam adaequet.
8 Neque inhoe relictum esse puto Geometris ambigendi locum, ut ut id Tyronibus prope incredibile videatur, qui admirationi, aut potius praejudicatae, qua tenentur,opinioni paulatim deponendae assuescent. si has fractionum series F , L, FI, 2 , &c. in eade ratione dupla decrescentes, aut a, a , a, a , caeterasque decrescentes in ratione tripla, aliasve cujusvis rationis progressiones in infinitum minoribus, & minoribus terminis coalescentes in unam redigere summam attentaverint; cumque experti fuerint, non polle tot sumi in prima serie, quae umquam ad unitatem pertingant, eo quod, in additione clijuslibet termini ad praecedentes, non additur quod iplis deficit ad unitatem integrandam, sed semissis dumtaxat talis defectus,
puta ad a addendo a additur semissis ejus,quod primo termino deficiebat ad unitatem, & alter semissis relinquitur, addendo autem duobus praecedentibus a non additur quod in prima additione relictum fuerat , nempe quadrans unitatis, sed ejus ruadrantis semissis, idest octans, altero octante relicto, qui efectus rursus non suppletur per sequetem additionem, quippe non additur octans relictus, sed ejus semissis, nempe , atque ita porrd; nee posse tot sumi in serie secunda, quae umquatinitatis semissem restituant, quia cum primus terminus a de-
49쪽
sciat per semissem sui, idest per a , a semisse unitatis, non resarcit quis illum desectum addendo L, quippe qui deficiat ab L rursus per sui semilam L. hic verb non suppletur additione sequentis tetrivinia deficientia ab illo residuo a ruralis per sui
semissem, atque ita portli semper procedendo. ita ut nihil minus ad hos limites nempe ad unitatem in serie prima, & ad semissem unitatis in serie secunda, semper propius accedatur sumptis pluribus, & pluribus terminis ejusdem seriei, defectu semper decret cente infra quamlibet allis natam quantitatem veluti in figuris plurium, & plurium laterum circulo, aut parabolae, alterive curvo spatio itiscriptis veterum more contingit donec penitus in seriei fine evanescat: cum id, inquam, experti fuerint, atque attenta meditatione rei hujus naturam contemptaverint, fateantur nece illa crit, qubdit prorsus omnes illi infiniti termini simul acciperentur, praecise forent in prima serie aequales unitati, i a secunda serie unitatis semissi. in aliis alteri quantitati similiter determinandae. v Uti autem in quantitate discreta, ita in continua s quae semper indiscretam dividi. & resolvi potest idem obtinet; spatium quippe infinite longum in spatia determinatae longitudinis multitudine infinita resolvi potest, quae poterunt semper minora, & minora esse, si latitudo proportionaliter decrescere intelligatur, itaui illa infinita spatia per ordinem cor-re I pondeant inlinitis terminis alicujus geometricie propressionis, uti certe correspondent spatia Logistica ad aequales axis portiones abscissa, uti ex dictispraeced. cap. nitin. 6. Colligitur
omnia ergo hujusmodi aeque alta spatia per infinitam Logisti. cae longitudinem distributa, quum lint quaedam series geometrica proportionaliter decrescentium terminorum in ratione, vel dupla, vel tripla. vel alia qualibet, prout extremae ordinatae cujuslibet aeqvh alti spatii lix data ratione aeceptae fuerint, determinatae magnitudini aequalia esse, prout in Iractionibus contingit, nil prorsus repugnat, imo vel ex hoc ipso, quod infractionibus ostendimus, evidentissime ita debere contingere demonstratur; idemque similiter de spatiis aliis infinite lorus sa
50쪽
gis, de quibus passim Geomettae, & nos insta nonnulla dicturi
sumus, absque scrupulo pronunciandum, quod scilicet deter minatae magnitudini aequalia simi, duinmodli tota prorsus accipi intelligantur, nulla ipsorum portione relicta. quod quia conceptu dissicillimum eli, quum infiniti natura respuat, nedum ut totum integre designari queat, sed etiam ut imaginatione comprehendi valeat, itaui, post quamlibet partem, non aliam, & aliam ejus extensionem cogitemus, quippe cujus ultimum limitem non concipimus; ideo prudens Auctor cauthaddidit: Spatia illa, non tam absolute infinita, quam juxta illam dimensionem interminata, ad datam eum spatio finito proportionem tam prope accedere, ut distare possint desectu minori quolibet dato, quamdiu scilicet illud spatium indeterminath sumitur, ut longius, ac longi iis protensum, nee totum semel integrὶ accipi intelligitur, aut saltem accipi fingitur. io Mirum autem nemini videatur, qudd idem spatium Logisticae infinith longum in spatia cujuslibet progrestioni S, nempe terminorum in ratione dupla, tripla, quadrupla, sesquialtera&e. decrescentium in infinitum distridui posui, pro varia portionum axis altitudine, quum tamen progressiones diversarum rationum non ejusdem sint valoris, sed progressio dupla sequalis unitati, tripla semissi unitatis, quadrupla trienti, &e.
Don enim eadem est quantitas, quae locum unitatis obtinet diviso Logisticae spatio in terminos rationis duplae, ae quae eamdem unitatem repraesentat, chm dividitur in terminos rationis triplae, aut quadruplae; siquidem in primo casu unitas est duplum primi ipatii, in secundo triplum spati i primi, in tertio
quadruplum, &c. quae sunt quantitates longὸ diversistiniae; intere, hinc habetur,eamdem magnitudinem esse duplam spatii, cujus ordinatae sint in ratione dupla, dimidiam tripli, hoc est sesquialteram,spatii,cujus ordinatae sint in ratione tripla, trientem quadrupli, hoc est sesquitertiam spatii, cujus ordinatae sint in ratione quadrupla, atque ita deinceps, eadem exiliente omnium horum spatiorum majori ordinata, singulis pro communi rationis antecedente inserviente; adelique si totum Logisticae infinitum spatium ponatur esse partium t a. spatium primo, cujus ordinatae sint in ratione dupla, erit partium 6, dccujus