장음표시 사용
51쪽
ordinatis in ratione tripla, partium 8, dc cujus in ratione qua drupla, partium 9, ac similiter de aliarum rationum spatias ratiocinari licebit ; id ouod tamen ex primo etiam Auctoris Theoremate iacile deduci potest. ii Nescio autem, an obiter, dum ferrum candet, exponere generalem regulam juvet, qua dignosci possit, quando se tia infinite longa, vel termini multitudine infiniti, etiam cum decrescunt, quantitatem absolute infinitam adaequent, & qua-do prorsus finitam, ac terminatam. Eam certe ante plures annos , quum Theologicis studiis adolescentes nostros Imbuere , in quada Appendice ad Tractatum de Uisione Dei, talem proferebam . Soniam, ut innui in notatione Praefationis Vivianeorum Problematumpag. 27. duarum quantitatum ratio COm- Ponitur ex rationibus singularum dimensionum illis quantitatibus competentium, & invicem comparatarum . expenden dum est, num ratio ex his composita iit ratio finita, necne. Jam, aggregatum plurium terminorum, quatenus quaedam dius creta quantitas est, unam tamen continuam maguitudinem,
dc quantitatem integrans, duas habet dimensiones, quippe ex duplici capite quaruitas ex hisce terminis aggregata crescere,& major fieri potest, nimirum ex terminorum multitudine, &ex propria singulorum quantitate i qub plures enim termini adunantur, eb major, caeteris paribus, quantitas consurgit. Puta quo plures fractiones in unam summam colliguntur , ebmajor summa conficitur; & stante alia, pari terminorum multitudine , quo majores in se ipsis singuli tuerint. ed pariter m jor magnitudo colligitur; sic tres fractiones deciniales majorem summam conficiunt, quam tres millesimae, aut centesimae; ut ergo videamus, num propositisquibuslibet infinitis termiuis, ij quantitatem insilitam aggregent, an tantum finitam, observandum est, an crescente arithmetichin infinitum ipsorii
multitudine, decrescat pari ratione, aut majori, vel minori ipsorum quantitas si in eadem ratione decrescat, ut in I. I LI I L, &c. ubi secundus terminus est semissis primi, tertius triens eiusdem, quartus ejus quadrans, &α prout multitudod eorum est dupla unius , triuest tripla, quatuor quadrupla, &
52쪽
premi duiao quantitas omnium simul innnita erit, quia cum terminoruni multitudo sic aequi polleat ipsorum abbreviatio. ni, seu parvitati, ratio quantitatis talium terminorum ad alia assignabilem quantitatem, puta ad unitatem, utpote composita ex ratione multitudinis, & parvitatis eorumdem terminorurespectu dictae unitatis saltera ratione alteram elidentea erit ratio infinita, & ipsorum terminorum quantitas aequipollebit
quantitati infinitorum terminorum invicem aequalium, quae certissime infinita est. At si in majori ratione termini decrescant, ut accidit in seriebus numero B adductis, quae geometrica decrescunt, crescente terminorum multitudine arithm tiee atque in aliis bene multis, quae etsi non geometrice, Omnibus tamen compensatis in majori ratione decrescunt, quam crescat ipsarum multitudo ) tunc praepollente parvitate ungulorum terminorum eorumdem multitudinis incremento, Prodibit ex utriusque compositione finita ratio, & aggregabitur quantitas prorIus finita ; quando autem in minori ratione decrescant termini, quam illorum pluralitas augeatur, ratio plusquam infinita exinde consurget, seu a fortiori, quam in primo Casu, dicendum erit, omnium aggregatum quantitatis este sim-PIiciter, ut aiunt, infinitae, praepollente multitudinia incremento ipsorum abbreviati ai terminorum. ra Idem applica superficiebus, aut solidis, quorum una, aut estera dimensio infinita sit, altera tamen , aut reliquis cDntinuε diminutis; prout enim in majori , aut eadem, minori veratione minuetur altera dimensio, quam crescat ea, quae in infinitum extenditur, judicandum erit spatium ilIud praecisis finitum esse, aut infinitum, vel plusquam si dicere Iiceat) infinitum Hinc CL Uvallisius in Arithmetica Infinito ru optim dobservat, spatium hyperbolae, & asymptoto interjectum, cujus latitudo in eadem ratione minuitur, in qua longitudo a sym-Ptoti crescit propter latera parallelogrammorum aequalium eiusmodi spatio inlcriptorum necessario reciproca esse idcir-Qb infinitae prorsus magnitudinis, in hyper lis autem alioruΚraduum, ex una quidem parte finitum esse, ubi in majori ratione decrescunt lineae ad asymptoton ordinatae, atque aded
53쪽
latitudo eiusdem alii, ex altera autem parte, idest ad aliam asymptoton, pluuiuam infinitum existimandum, eo qubd in minori ratione ordinatae decrescant; id quod in aliis etiam sp tiis, tum solidis, tum superficialibus odservari potest.
ίρ artum ingenii Theorema,pridem demonstratum nova demonstratione per diversam methoduin fl ibilitur ;Tractoriae proprietas hinc deducta , quo Iordinata adaequales curvae partes sint invicem proportionales . Cuilibet curvae tangentem ducere. Velocitates in di-τersis curvae punctis sunt, ut facta ex ordinatis in sub- tangentes alterne sumtas. D Huperbola Dut,ut quadrata temporum contrarip sumptorum. Determinatio tangentium ad inmitas parabolas. Eade expeditior. In aliis curvis quomodo tentanda. Variarum ad id constructionum demon batio. Subtangens curvarum,
qua admodum Spiralium describuntur. Insiuitae Spiralium species quas subtangentes habeant, ct quomoto infinitis parabolis respondeant. Tangens Spiralis Geometrici, se quarumvis figurarum per alterius convolutionemgenitarum. Tangens Coneboidis Meomeder, aliis infinitis cinchoidibus, ct Subeonchoidibus applicabili methodo se a. Eadem geoinetrica demonstratione conismata. Tertia demonstratio quarii Theor malis Hugeniani . Curva parabolica Logistic emper perpendicularis.
54쪽
i ε Uartum Auctoris Theorema; u subi gens, ut BO in eadem figura , ejusdem per es longitudinis, ad
quodvis Logisti punctum tangens periineat, demonstrati ne non indiget, quum probatum fuerit cap. 4. num. 3. subta gen tem aequalem semper esse Parametro hujus curvae, quae imnea quaedam conitans, & definita est; verum ad pleniorem seletiam id aliter, atque aliter demonstrabimus, diversa method , eaque ad alias longε veritates applicabili . a Secunda igitur hujus Theorematis dem stratio sie institui poterit. Sintn. i. hujus diagrammatis quaelibet ad axem Logisticae ordinatae AB, VC, tangentes ad eadem puncta AO, V Q. Dico intereeptas ordinatis, & tangentibus B O , C L
quae subtangentes appellantur aequaleSella. Sumatur quantumvis parva B Ε, illique aequalis CG, ut ordinatis ED, G Fportio tangentis AD Ierὸ cum curva AD, & portio tangentis V F ferὰ eum eurva V F coincidere censeri mist, ob infinite parvum intervallum utri vis ordinatarum pari interiectu terit igitur ex natura curvae, in qua sunt puncta D, F, ipsa A Bad ΕD, ut CV ad GF, juxta primariam Logistime a nectio. Nemi rursus cum puncta D, F supponantur&in tangentibus
55쪽
esse . erit A B quidem ad ED, ut BO ad OE; CU verbad G F. ut C Q ad QG ; ergo eadem erit ratio Bo ad o taque C Q ad QU, & per conversionem rationis eadem ratio BO ad ΒΕ, quae QC ad CG; suntq; consequentia aequa
lia; igitur & antecedentia BO, C aequaIla erunt. . : Poterat rigorosius argui per deductionem ad absurdum, sed quorsum ita λ observa potius quid evenisset, si natura curvaeca foret . ut sumptis non in axe, sed in ipsa curva aequalibus Portionibus AD, VF, eaede ordinatae proportionales essent. An non enim eodem argumento constaret, o A ad A D esse, ut Q.V ad UF: unde consequentibus aequalibus existentibus, etiam antecedentia, scilicet, tangentes ipsas AO, Vc, ubilibet aequales futuras, adelique ejusmodi curvam illam sam fore, quam Tractorωm vocant λ eam scilicet, quam describeret grave A funi Ao alligatum, dum funis extremum oper rectam Ο Ο trahitur in eodem horizontali plano; pondus siquidem perfecte sequetur ejusdem lanis directionem, ademque ejus viae tangens erit perpetud eadem funis Iongitudo quamquam hoc generale est , ut cum relatio ordinatarum ai
56쪽
expresso subtangentis transeat ad ipsam tangentem, ut pluri-hus exemplis confirmare in promptu esset. 3 Utilius erit Tertiae demonitiationi ejusdem Theorematis viam sternere generali quodam lemmate circa tangentium inventionem praemisis, quod ex Torricellii doctrina obiter indicata an l. . de mot. gr. prop. ι8. ejusque Scholio, in hunc modum deduxi; sicque nniversaliter proponere statui. Ad datum cujuslibet curvae punctum tangentem ducere . Datum sit punctuiti Α eurvae eniuslibet D A U, euius axis BC, ordia nata ex dato puncto AB: conciniatur haec curva descripta motu ordinatae B A per axem BC aequabiliter fluentis, sibique aequidis anter delatae,& ex motu puncti A versus B accedentis, vel ab eodem in ipsa linea recedentis, non iam aequabiliter sic enim recta linea, non curva describeretur sed velocitate accelerata, aut retardata, prout Opus ad eam curvam generandam. quaelibet certe curva hoe modo genita intelligi potest Fiat igitur, ut velocitas, quam punctum fluens habet in situ A ad velocitatem ordinatae aequisiliter delatae, ita ipsa ordinata AB ad portionem axis B Ο, aeceptam versus eaS partes, ad quas motus acceleratur, si curvae cavitas axem respiciat .ad
57쪽
quas verb retardatur si curva axi convexitatem obvertat. Dico junctam o A est e tangentem. Sumatur enim in ipsa O A , ad Partes accelerationis punetum i , ad partes vero retardationis punctum V, ordineturque cui, CVl occurrenSaxII nc,
Curvae in v , ι, axi parallelae AE per Aductae in e , Ε. Quoniam velocitas puncti A per A B fluentis ad velocitatem lineae A B per axem delatae est, ut A B ad B O, seu lΕ ad E A, aut te ad e A, manifestum est, qudd si motus puncti A non ameleraretur, aut retardaretur, fieret per ipsam AI, seu A i.
ita ut quo tempore ordinata descenderet, aut ascenderet per BC, seu A Ε, aut Be, seu Ae, Punctum A percurreret partem El, seu e i , reperi eturque in i , vel i. Verum quoniam motus puncti A curvam deseribentis interea acceleratur versus u , & versus contrariam partem V retardatur . ita ut veloeitas ipsius A in A major sit, quam in V, quia versus eas: partes remittitur, manor autem, quam in v , quum versus eas partes invale t; ideb quo tempore ordinata venerit in C E . nctum A curvam generans minorem ordinatae portionem EU eonfecerit, quam consecisset si pristinam velocitatem teia
tinuisset; minor est igitur EV, quam ΕΙ , cum vero ordia
58쪽
nata venerit in e e , punctum A curvam generans majorem ejusdem ordinatae tractum eu pertransierit, quam ii .pristine velocitati nullos accelerationis gradus addidisset ; major est igitur eu, quam ei; &ideo punctat, i iunt uirobique ultra,& extra curvam, quare ipsa OA tangit. Quod erat demon
Observare hinc iuvat, velocitates puncti non aequabiliterfluentis, veluti in figura DAB ad axem CV comparata , in punctis D, A, esse ad invicem, ut facta ex ordinatis in sub-
tangentes alternatim sumptas, puta, existentibus tangentibus D P, A V, ordinatisve DE, A F, ut factum ex D E in F Uad factum ex AF in EP; nam velocitas puncti fluentis in Dad similem velocitatem in A rationem compositam habet ex. velocitate talis pubeti in D ad aequabilem velocitatem lineae descendentis. & ex hac ipsa velocitate ad velocitatem puncti ejusdem in A; sed prima ratio, ex hoc Theoremate, eadem
est, quae DB ad Ε P, secunda verb eadem, quae V F ad F A; igitur ratio velocitatis pundii fluentis in D ad velocitatem eiusdem in A componitur ex D E ad E P, & ex V F ad F A. idest eadem est, quae facti ex DE in FU ad factum ex A F in E P. Unde adhuc colligitur, in Hyperbola ApoIloniana DAB. cuius asymptoti SC, CV, velocitates puncti fluentis inquibuslibet punctis D , A esse in duplicata ratione temporum
59쪽
contrariε sumptorum; spatia enim aequabili motu lineae per axem CV delatae transacta, velut CE, CF sunt, ut tempo
ra; subtangentes autem EP. FV sunt ipsis E C, FC distantiis a centro aequales; ergo eaedem subtangentes pariter sunt, ut EC, FC, seu ut FA, ED; ratio igitur facti ex DE in FU, &ex AF in EP erit eadem, quae facti ex DE in F C.&ex AF in ΕC idest composita ex DK ad AF, &ex FCad C Ε . quae eadem est priori, unde cum illa componit duplicatam rationem F C ad C E. quae proinde duplicata erit
temporum contrarie sumptorum, sicut& homologarum ordia natarum D Ε, A F; & hoe erat demonstrandum. 4 Hinc tangentes omnium in primis parabolarum determinationem accipiunt; quemadmodum D eq. si C a A fuerit parabola quadratica, quae aequabili motu ipsius C N per C Φ tibia 'quidistanter delatae, ac descensu naturaliter acceIerato, idest lingulis aequalibus temporibus novum sibi celerita is augn.entum superaddente, punm C versus N per lineam fluentemd misso describitur, contingit, ordinata ex foco n ipsa na, celeritatem puncti descendentis in quolibet curvae puncto A ad aequabilem celeritatem ipsius lineae delatae semper esse, ut ordinata ex diisto puncto AN ad praedictam ordinatam ex foco na, iuxta citatam prop. Torricellit; edqubd, ccm velocitates descensuum crescant, ut te ora, atque adeli ut spatia motus aequabilis, id est ut Φ C, fC, seu AN, an, quas linea
60쪽
N C aequabiliser transilit,si ves itas descensus in A sit ut A N,
velocitas in a erit ut an, velocitas autem descensiuina est aequalis velocitati motus aequabilis. quia ordinata ex laeo an dupla est abscissae en . eadem verd est celeritas, quae motu in hac ratione accelerato acquiritur descensu per C n . & qua aequabiliter perseverante conficitur duplum spatium na , Igitur si velocitas in A si AN . velocitas motus aequabilis erit
eadem quae descensus in a, idest erit, ut na : quemadmodum igitur hoc in quadrattea obtinet; ita in cubica, ubi celeritates defcc.ὲsuum crescunt in duplicata ratione temporum, ideoque sunt,ut quadrata Ptiorum motus aequabilis. scilicet A N, a n. comparando descensum in A ad descensum in a saetaprilis a n tripIa abscissae Cn, quia hoc accelerationis genere velocitas per C n descendendo aequisita , tripla spatio a npercurrendo par est , si aequabiliter permanere intelligatur, unde similiter velocitas delaensus in a aequalis erit velocitati aequabili lineae habebitur, velocitate descensus in quovis puncto A esse ad aequabilem illam lineae delatae velocitatem , ut quadratum A N ad constans quadratum an simili ratione in Parabola quadrato- quadratica erit velacitas des eensus in Aad illam aequabilem velocitatem, ut cubus A N ad an positam quadruplam ipsius n C abscissae, atque ita deincens in aliis gradibus, facta ordinata an tam multiplici abscissae Cn, quam
multiplex est unitatis exponens ordinatarum , Diuitiaco by Cooste