장음표시 사용
141쪽
prehenditur, tamen eius demonstratio ex praecedentibus non sequitur , pertinetque haec Veritas ad id genus , quod nobis nosse, non autem demonstrare licet. Hi ergo casibuS, quibus ''- per 33n-- non est diuisibile, haec sormula et ''--a diuisionem admittet.
61. Si ergo potestates exponenti I per numerum primum mn - - dividantur, singula residua vel ipsa vel imultiplo ipsiu mn se quocunque aucta idoneo prata hunt alore pro , ut a - fiat per n- - diuisse bile.
62. Hinc si non fuerit per n- diuisibile, tum valor ipsius a in hac expressione 'M- Mn-DI non continebitur, seu nulla dabitur potestas e Ponenti quae per nH-c diuisa relinquat a.
142쪽
63. propositionis huius conuersa, si omni modo aminethur, quo lite Vera deprehenditur . ita ut quotiesa - 1 si1 diuisibile per nn - - toties quoque Valor ipsius a in formula '-- mn DI contineatur seu toties dabitur potestas I quae per n- - diuisa reli qua a pro residuo. Ita cum obseruassem formulam q=- 1 esse per diuisibilem , ob in si fiet 4 Io, dabitur quoque potestas dignitati decimae , quae per si Idiuisa relinquat Atque reuera huiusmodi potestatem deprehendi esse 96'' aeterea vero cum δ' - non sit diuisibile per hoc casu fit u a et meto nulla igitur datur potestas dignitatis vicesimae , quae peri Idiuisse relinquat et Veritas huius posterioris asserti rigorose est euicta , sed adlluc desideratur demonstratio harum propositionum conuersirum scilicet sic' - uerit diuisibile per numerum primum II r- I, tum quoque semper a esse numerum in thac sormula mn - - 1 ab Omprellensium. Atque si a non contineatur in sormula I Mn- - 1 α tum quoque a ' - per Mn-- diuisionem non admittere. Quarum propositionum si altera demonstrari posset, simul veritas alterius esset uicta. Ceterum theorema hic demonstratum huc redit, Vt quoties '-iet tuerit diuisi bile per u -- I, toties quoque formula ' sit per ηI IH Ldiuisibilis. In hoc genere latius patet tiaeorema sequens.
6 . Si fuerit 1 diuisibile per numerum primum mn --I, tum quoque ' - erit diuisibile per Mn- - 1.
143쪽
CIRCA DIVISORES UMEROR sDemonstratio.
Cum ponatur Drmula '-ag diuisibilis per n--I, erit quoque haec formula '' a g ' quippe quae per illam diuidi potest , diuisibilis per n- I. At cum mn - sitntuneru primuS, per eum diuisibilis erit haec formas 'vi' ; nde quoque differentia g ' a'' I seu ipse Drmula a - 1 per n-- erit diuisibiliS, propterea quod per n--1 diuisionem admittere nequeat, nisi simul f per eundem esset diuisibile, qui casus in nostro ratiocinio perpetuo excluditur. Q. E. D.
6s si ergo ' a per un-- non fuerit diuisibile, tum quoque nulli dantur numeri 1 et g Vt haec sermula V-as per n-- fiat diuisibilis.
66. Si stiperioris propositionis conuersa demonstrari posset, tum quoque euictum foret quoties 1'- permn -- diuidi nequeat, tum ne hanc quidem sormulam 1 -- qc diuisionem per Mn-- admittere posse, simes Vero etiam pateret, si 1 - ' sit diuisibile per unH-1, tum quoque dari huiusmodi formulam 1' - , quae it per Mn-- diuisibilis.
6 . Si huiusmodi sormula υ'-bg fiterit diuisibilis per numerum primum IIn - , Um quoque haec sermula '' b erit per n- - diuisibilis.
144쪽
58. Si itaque ' i' non uerit per n- Idivisibile, tum nulli dabuntur numeri pro fet g substituendi, ut huiusmodi formula GJ sit per II 3I- diuisibilis.
69. Huiu propositioni conuersi , quod, si uerit r- mula b diuisibilis per nn iis , simul dentur numeri 1 et g ut fiat diuisibilis per n--IVtcunque Xaminetur, vera deprehenditur. Interim tamen eius demonstratio etiamidum desideratur.
o. Casiis huius propositionis inuersae demonstrari potest, quo numeri in e n sunt inter se primici hoc enim castu semper eiusmodi numeri L et V eXhiberi possunt, ut sit μ=I 1 ν III. Namque si inter numero in et ne operati instituatur, quae pro maXimo communi divisore institui solet, atque quot notentur ectisque ractione ad Oppropinquantes quaerantur , Ultima erit , et si penultima suerit . erit .n- ναν III. Hoc ergo
145쪽
lammate praemissi, demonst ratio Iropositioni conuersae,qila I et si in numeri inter se primi ita se labebit.
i. Si m et 1 suerint numeri primi inter se, at mi ista brmuhi h diuisibilis sit per numerum nina, tum dabitur sormula is ' diuisibilis . per
146쪽
a. Si m sit numerus par, tum aeque negative atque assii maliue accipi potest , hoc ergo casti suerit diuisibile per In - - , tum etiam eiuSmodi sormula a - - per n-- diuisibilis assignari poterit; id quod etiam inde patet, quod sit numerus impar, ideoque potestasi negativa fieri queat.
4. simili modo demonstrabitur, si fuerint ut anteis et timeri inter se primi, atque haec brmula a ''-b sit diuisibilis per p-- , tum quoque exhiberi
posse mulam huiusmodi a - diuisibilem per
147쪽
eperitur in commercio epistolico Fennati propositio quaedam geometrica , quam Geometris demonstran-d: propositi t. tiae etsi ad naturam circuli spectat, nihilque disticultatis primo intuitu inuoluere videtur , tamen a pluribus Geometris ustra est sit scepta , neque S- quam adhuc eius demonstratio est tradita. er Analysui quidem non dissiculier eius verita agnos itur , indeque de monstrationem derivare non admodum foret arduunt, scd huiusmodi demonstratione plerumque ita analysim Olent, ut ab huius artis expertibus vix intelligi queant. Requiritur igitur huius propositionis a Fermatio allatae eiusmodi demonstratio geometrica , quae more Veterum Geometrarum sit adornata , et quae etiam ab iis, qui ana' lysi non sint assueti, intelligi possit. Talem igitur demonstrationem hic tradam , quae sequenti lemmate inni
f. in . Si linea recta AB utcunque secetur in duo-Fig. r. bus punctis Met , erit rectangulum ex tota Assi in partem medi: in M, Vna cum rectangulo e partibus ex
148쪽
Fig. a. f. a. occe lemma etiam sequenti modo per Q-lam figuram geometricam demonstrari potest. Super data recta AB in punctis utcunque diuisa constituatur quadratum AB ab et latus a simili modo secetur in puncti r et , ut sit 1 BL 'TIS et ar Ax tum ductis rectis m, S item sc,r lateribus quadrati parallelis erunt partes in quadrata circa diagonalam B sit , ideoque eritae Ae ae Addatur
er. At est A 'IAM Br II AS AER et VIIIar. BS AR B atque crIT AB. r. m AB.R , quibus valoribus substitutis elicietur AS AER A M. B H AB AES seu AB AES 4 AR AES ITA S. B prorsus uti lemma habet. Theorema
149쪽
VARIAE DEMONSTRAT GEOMETR. set
g. . Si stipe semicirculi AMB diametro Brig. 3 constituatur parallelogrammum rectangulum ABFE, cuius latit ido F seu BF aequetur chordae quadrantis eiusdem circuli seu lateri quadrari inscripti , atque ex punctis et ad quodvis peripheriae punctum M ducantur rectae EM , Im his diameter B ita secabitur in punctis et , ut sit: AS' H BR': AB
Ex puncto M per terminos diametri A et B producantur rectae 'Ari et M BQ donec lassi EF pro
ductae occurrant in puncti P et dam uix angulus AMB est rectus, erit PH- ang. rectori at est etiam Ρ--α ang. recto H-δ ang. recto rectas
A et BF ad EF normale ; unde eriti te QTI α, ideoque triangula ῬEx et BF inter se suntlia ex quo labebitur TE: AE BF: F hincque PE N F AE . BFITAE et propterea et ΡE Ny 2AE'. At quia AE aequatur chordae quadrantis, erit in AE' AB' EF . ita suturum sit ΡE EF'. Qitare cum hic uecta ad cita in punctis et i secta habeatur si duplum uectangulum sartium extremarum JE et aequale partis mediaes EF quadrato diameter vero in iunctis AE et risimili , modo sit secta , sequiitu sere quoque duplum ae-ctangulum partium Xtremarum A et B aequale quadratin partis mediae M . seu erit 'AR AES RS'. Iam cum sit A SH BR II A RH R S, erit quadratis sumtis:
150쪽
f. s. In Vulgus deinde nota est regula inueniendi aream trianguli ex datis eius tribus lateribus, quae ita se habet, ut a semisumma laterum singula latera seorsim subtrahantur et blidum seu productum e his tribus residuis ortum per ipsim semisilmmam multiplicetiit, tim vero ex isto producto radi quadrata Xtrahatur, quae exhibitura sit aream trianguli propositi. Analytice quidem haec regula ficile demonstratur, ac demonstrationes
ex analysi concinnatae passim occurrunt, Verum eae a more geometrico non mediocriter dissident, ut non nisi a lectoribus in Analysi exercitatis intelligi possint. Qilocirca
istius regulae hic demonstrationem pure geometricam tradam , in qua nullum analyseos vestigium percipiatur. Petita est ea e circulo triangulo inscripto, cuius symtomata a Fuclide sufficienter sunt exposita quibus autem ad demonstrationem formandam opus habeo, ea in sequentibus propositionibus complectar, quae iam ad memo-iatae regulae demonstrationem parabunt. Theorema