Novi commentari Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae

151쪽

RARIAE DEMONSTRAT GEOMETR. da Theorema.

f. i. Area cuiusqtie Trianguli BC aequatur re-Fig. q. stangulo ex semisun a laterum in radium circuli 4nscri

Demonstratio.

Ex centro circuli inseripti in singles latera demittantur perpendicula OPO . OR, quae erunt aequalia radio circuli inscripti. Ex o ducantur pariter ad angulos rectae A. OB. O quibus triangulum propositum diuidetur in tria triangula AOB, AOC, BOC, eandem altitudinem R Ο o habentia, et quorum bases sunt latera trianguli AB, AC, BC. in ista triangula iunctim silmia aequantur triangulo cuius basis est limina laterum AB--ACH BC, et altitudo radio circuli inscripti P aequalis, cui cum proinde area ipsius trianguli propositi ABC sit aequalis, haec aequabitur rectangulo ex semisumma laterum in radium circuli inscripti P seuerit area ΔΛ BC ABH ACH BC OP. Q. E. D.

Theorema.

q. T. Si ex centro incirculi triangulo Λ BC inscripti in singula latera perpendicula demittantur ΟΡ, O , Rhis latera ita secabuntur, ut posita semisumma laterum: AB HAC BC in S, suturum sit AR AQ S BC BR BP S AC et S AB. atque A RH-BPH CQ S.

Nam ob perpendicula P, Q, R inter sie aequalia, statim patet sere A TIAR BPII BR et CP CQ, unde a crit

152쪽

so IORI DEMONSTRAT GEOMETR.

ABC insicripti in singula latera demittantur perpendicula o Ρ, ο , O R, erit solidum sub partibus A M. BP contentum aequale solido e semisumma laterum S et quadrato radii circuli inscripti ' confecto seu erit R. BP. C III S. ΟΡ'

Demonstratio.

Ductis ex centro circuli inscriptim ad singulos angulos rectis A UI ad earum aliquam o si Opus est produstam e altero reliquorum angulorum ducatur normali BM , quae radio O producto occurrat in . Iam cum anguli A, B, C a rectis A, B, O bisu iam secentur, erit in triangulo BO angulus extremus B ΟΜ B SC, hinc ob BOM- OBM

153쪽

VARIAE DEMONSTRAT GEOMETR. ss

f. 9 Λrea trianguli cuiusvis ABC reperitur, si a semiasi imma laterum quae sit S singula latera seorsim tib- trahantur, ac solidum sub his tribus residui contentum per ipsam semisti minam laterum S multiplicetur, atque ex producto radix quadrata trahatur. Seu erit area tri

Demonstratio.

Per . . area trianguli ABC aequatur rectangulo ex semisumma laterum S et radio circuli inscripti Ρ, sicque erit area trianguli AI P. Verum cum ex s. praec sit S. OP AR. BI'. C , crit perci trinque

154쪽

36 VARIAE DEMONSTRAT GEOME TR.

Q. E. D. Coros. I. f. o. inc etiam concinna expressio pro radio circuli triangulo inscripti Rexhiberi potest. Cum enim sit . ΟΡ' Λ R. BP. C erit ΟΡ' ideoque ΟΡ V : im ergo pro R, ΒΡ, Q scriptis

valoribus ante indicatis habebitur. Radius circuli inscripti ΟΡ- ' β AC S

ideoque area trianguli quoque cita AEXprimetur.

155쪽

f. et Vltima haec mula pro inuenienda area cuiusque triangilli est maxime nota, ac plerumque in elementis geometriae sedi solet, etiamsi eius demonstratio dissiculter per elementa confici possit. Similis quoque re regula habetur pro area cuiusque quadrilateri circulo inscripti inuenienda , quippe quae pari modo fati concinne per sola latera exprimi potest. Eius quidem demonstrati , si analysiis in subsidium vocetur , non est dissicilis, sed qui eam more aput Geometras recepto adornare sunt conati, maXimas experti sunt dissicultates, Ct: quondam Naudacu non parum in hoc genere laborauit, et geminam huius quoque regulae demonstrationem protulit amist Berol. Verum utraque non tum maxime est intricata et multitudine linearum in seu a ductarum Obruta, Vt sine summa attentione ne capi quidem possit, sed etiam ubique nimis luculenta vestigia analytici cauculi offendunt, Mihi quidem sequentibus propositionibus praemittendis Opus est.

Theorema.

q. II. Si quadrilateri circulo inscripti ABCD duo latera sibi opposita AB, DC ad occursum usqtie in producantur, erit area quadrilateri ABCD ad aream trianguli CE AD' BC ad BC'.

Demonstratio.

Qitia tam angulus AD quam BC cum angulo BCD constituit duos rectos, exit AD BCE, similiterque DC CBE, unde triangula AE et CEBTom L H ertint

156쪽

3s VARIAE DEMONSTRAT GEOMETR.

erunt sim lia , eorumque ergo areae se habebunt ut quadrata latenim homologorum, veluti A me BC: erit itaque

Coroll. I.

g. I cognita ergo area trianguli CE inu nietur area quadrillateri ABCD erit namque

K si area trianguli EC designetur breuitatis gratia littera area quadrilateri ABCD littera erit

Coroll. 2.

q. os . Tum vero quia est differentia quadratorum

Coroll. 3.

157쪽

VARIAE DEMONSTRAT GEO R. ues

Coroll. A.

f. II. Quam formam ita nunciare licet, ut dicamus quadratum areae AB CD decies sexies simium stuz6 Q. aequari producto ex his quatuor factoribus.

Theorema.

Demonstratio.

eandem teneat rationem, ut nempe BC ad AD-BC etiam iumma antecedentium iE-CK ad iummam consequentium DE B una cum AE C eandem seruabit rationem eritque

158쪽

D MIRIM DEMONSTRAT GEOMETR.

Coroll. I.

dus erit: IL SUS TLABH CD AD Theorema.

g. I. Iisdem positis, scilicet si quadrilateri circula inscripti ABCD duo latera AB, DC ad concursiunusque in E producantur, erit: CE BD AB DC AEC : ADH-BC

Demonstratio.

Triangula similia C et E praebent ut an

159쪽

VARIAE DEMONSTRAT GEOMETR. int

re has proportiones: BE: DE BC: A et CE: AE

BC:AD X quarum utraque elicitur componendo

H C eandem teneat rationem , etiam differentia antece

Coroll. 2.

160쪽

VARIAE DEMONSTRAT GEOME TR.

Theorema.

f. q. Quadrilateri circulo inscripti ABCD area inuenitur, si a semisumma omnium eius laterum singula latera seorsim subtrahantur , haec quatuor residua in se in vicem multiplicentur, atque ex producto radix quadrata extrahatur.

Demonstratio.

Si duo latera opposita AB, CD ad concursem Vsque in E producantur, atque quadrilateri ABCD area Ponatur Q. Vidimus . 1 Valorem aequari producto ex quatuor factoribus, quos eosdem factores in 8. . I9. et et f. q. a. et succinctius expressimus, ita nunc Valor ipsius aequetur producto ex his quatuor sectoribus.