장음표시 사용
161쪽
haecque quatuor residua S AB S-BC, S CD, S DAin se inuicem multiplicentur, atque e producto radix quadrata Atrahatur. Q. E. D.
g. s. His Theorematibus de area trianguli et *m-drilateri circulo instripti demonstratis, quae quidem ipsa
sitis in nota, aliud theorema subiungam nusquam adhuc neque prolatum neque demonstratum. Complectitur id singularem proprietatem Omnium quadrilaterorum O- tam maxime dignam, quae cum cognita parallelogrammorum natura eximiam habet affinitatem. Quemadmodum enim constat in mi parallelogrammo immam quadra-tOm ambarum diagonalium aequalem esse immae quadratorum quatuor laterum, ita demonstrabo in omni quadrilatero nou parallelogrammo summam quadratorum a binin
162쪽
barum diagonalium semper minorem esse summa quadratorum quatuor laterum, atque adeo desectum facillime posse assignari.
Fig g. 26. Proposito quocunque trapezio ABCD cum suis diagonalibus AC, BD, si circa bina latera AB, BC compleatur parallelogrammiam ABCE, quod cum impegio tria puncta A habebit cummunia , iunganturque reliqua puncta diuersia D et E recta DE, erit summa quadratorum laterum trapezii AB'--BC'H CU--DA' maior quam sturam quadratorum diagonalium AC'H-BD', atque excessus aequabitur quadrato lineae DE seu erit AB'. BC'H CD'H DA' AC'H BU DE .
Ducatur in parallelogrammo ABC altera diagonalis BE quae ipsi cum trapezio non est communis; tum ponatur C ipsi AD , et B ipsi D parallela et aequalis, et qui BC AE istae lineae concurrent in puncto , ut triangulum CB simile sit et aequale triangulo AED. Quo facto iungantur lineae AF, DF et E F. in manifestum est fore tam ADCF quam BD EF parallelogramnaum, atque diagonales illius esse AC et DF, huius uero B E et D nde per proprietatem
163쪽
f. et . Qilo magis ergo trapegium a parallelogram-m discrepat, seu quo maius euadit interuallum D E eo magi summa quadratorum laterum trapezii superabit summam quadratonim diagonalium.
g. 8. Quia igitur in omni parallelogrammo silmma quadratorum laterum aequalis est summae quadratorum diagonalium , in omni vero quadrilater non parallelogrammo maior est , sequitur nullum exhiberi posse quadrilaterum , in quo summa quadratorum laterum minor sit quam summa quadratorum diagonalium
Coroll. 3. D 29, si xtraque diagonalis A et Bu trapezii
164쪽
propositi ABCD bisecetur, illa in haec vero in Q, erit recta Q semissis interualli E, et E aequalis
erit quadruplo quadrato lineae Q, Vnde Xcessus summae quadratorum laterum super summam quadratorum diagonalium valebit quadratum lineae PQ quater sum
Fig. . . so Theorema ergo propositum sine mentione ullius parallelogrammi ita nunciari poterit In omni
quadrilatero ABCD, eius diagonales C et D Me- centur in punctis eaque iungantur recta PQ, erit summa quadratorum laterum AB' DBC'--CD se DA aequalis summae quadratorum diagonalium AC'-BD cum quadrupla quadrati lineae PQ . seu erit AB H BC --CD'-DA' AC' - BD'-- Ρά.
165쪽
Medium elasticum in statu aequilibri versari nequit, Tab. III.
nisi omnes eius particulae aequalibus viribus elasticis in se mutuo agant. Quod si autem n particula adepta fiterit maiorem elasticitatem , quam reliquae, tum ob statum aequilibri sublatum haec sese expandendo, ac reliquas magis comprimendo tamdiu agitabitur , donec persectum aequilibrium inter omnes vires erit restitutum. Particulariam enim elasticarum eiusmodi est indoles, ut
qύο magis panduntur, eo minorem obtineant vim elasticam , contra Vero, quo magis comprimuntur et in minus volumen rediguntur, earum Vi elastica augeatur. Qitanquam autem hoc incrementum ac decrementum elasticitatis pro ratione aucti et minuti Voluminis diuersio sinas proportiones sequi potest, tamen si mutatio voluminis ruerit quam minima , augmentum Vel decrementum vis elasticae his ipsis mutationibus proportionale deprehenditur. q. a. Dissicillima autem maximeque ardua videtur quaestio, qua commoti singularum particularum medii elastici, cum aequilibrium semel fuerit sublatum, quaeritur , simul autem resblutio huius quaestionis in physica maximi est momenti, cum sormatio et propagatio soni
166쪽
in istiusmodi commotione Tarticulanlm aeris consistat. Neoue etiam amplius dubitare licet, quin ipsum lumen, radiori naque lucidorum propagatio a sublato aequilibrio inter particulas aetheris proficiscatur Qtlando enim aeris quaepiam portio in malu minusue spatium compellitur, ob minutum vel auctam eius elasticitatem status aequilibrii cum Vicinis aeri particulis turbatur , hincque in istis agitatio oritur, quae sese continuo in particulas Vlteriores eXtendit, donec bique tranquillitas heri restituta. Hinc igitur sonus , et si in aethere simili agitati eueniat, im de lumen originem suam trallit. sic. i. g. 3. Clim itaqου haec quaestio sit maximi momenti, Operam dabo , t ad eam resoluendam e primis principiis mechanicae iam sternam. Quo igitur a casti simplicissimo ordiar , primum unicam considerabo particulam A , quae quidem in se spectata nullius mutationis sit capa , sed quae silis elasticis inertiae expertibus AP et Ad intra pariete firmos detineatur. Sint autem haec fila seu lustra A et Ad ita comparata quo fiant breuiora , eo maiori vi elastica polleant , dum autem elongantur, eorum elasticitas diminua
tur. His positi manifestum est corpus A sore in aequi librio , si utriusque elastri Areta eadem fiterit vis quod euenire ponamus, si utriusque elastri longitudo AP et Adfiterit aequalis. Sit laque ΑΡ ITA IT cl et triusque iselastica tauri quoniam corpusculum A trinque aequaliter Urgetur, si semel quieuerit, perpetu quiescere perseuerabit. f. q. Concipiamus nunc hoc corpusculum A ex
situ aequilibri semel fuisse dimotum , ita ut alterum clastrum
167쪽
strii longius alterum vero breuius sit factum. Cum igitur hoc modo ex altera parte vi elastica sit minuta, ex altera Vero aucta , necesse est ut corpusculum A motum conceperit, quem hic determinabo , in hypothesi quod elongatio et contractio amborum 'astrorum it minima ita Vt augmentum Vel decrementum vis elasticae ipsi contractioni seu longationi proportionale censeri possit. Elapso ergo tempore t peruenerit corpus A , cuius massilittera A exprimatur, in situm quem figura resert. O- natur longitudo elastri A PIIIa --W; erit ob ae prae valde paruum , eius Vis elastica g 1 - '. alterius lustri Ad longitudo consequenter erit 'a X, eiusque vis elastica IH Vnde corpus secundum directionem A urgebiti ire vi f. s. Onamu tempusculo di corpus progredi per elementum spatii dae , erit eiuS celerita I. Tempus autem t ita Xprimatur, ut haec ractio an exhibeat altitudinem celeritati, quam corpus in habet debitam. Sumto ergo elemento di constante, erit vis sollicitans II HE , cui aequalis poni debet is qua corpit actu metur quae cum motui renitatur, habebimus hanc aequationem
'ultiplicetur haec aequatio per dae, et integretur, erit
168쪽
q. Vocetur breuitatis gratia , et tatis constantibus valori ipsius ita exprimetur: x bsin. cos aquae constante ex primo aequilibri turbati statu definiri debent Posito scilicet habebitur Deinde cum corpori celeritas sit II fi Tnb costant nc sin ni, initio , quo 'O, eius celeritas erat Itan b. Quod si ergo corpus A ipsi, initio quiestens ponatur, atque intervallum tum fuerit Iza -- ω fiet et cmae Unde quouis tempore t elapso erit situs corporis A
bi signum indicat eius motum versias parietem P Q- re directum. g. . Corpus ergo A celeritatem habebit maximam, si angulus ni fiat rectus , quo casu fit Ama ita ut perpetuo in ips situ aequilibri celerrime moueatur.
Tum vero cum angulus ni ad duo rectos eXsiurgit, celeritas iterum sit O , et interuallum A a- ω, quod in altera longatione maxima a puncto medio euenit. Vnde patet corpus alternis motibus circa punctum medium instar penduli motum iri huncque motum perpetuo esse duraturum, nisi quatenus a resistentia diminuatur Pendulum igitur simplex assignari poterit, cuius motus ostillatorius conueniat cum isto corporis A motu reciprocori reperietur autem longitudo huius penduli simplicis 1Q chroni E. Quod si ergo fiat ni 18o , ut sitt tum tempus t aequabitur tempori unius ostillationis
169쪽
Iationis penduli, cuius longitudo I . in generaliter, si angulus 18O' Xprimatur per reperiaturque tempti s Trim, tum hoc tempus cognoscetur in mensura consueta , quoniam aequabitur durationi unius stillationis penduli cuius longitudo est Imm quae mensura in sequentibus adhiberi poterit. g. 8 Casi hoc primo eoque facillimo expedito FG-3' contemplemur duo corpuscula A et B , quae cum inter serum inter parietes immobiles elastris A AB, BQ detineantur. Sint corpora ambo inter se aequalia, et in aequilibrio constituta, quando tria interualla Ρ, AB, BQ fuerint aequalia. Ponatur hoc casti uniuScuiuS-que elastri longitudo a et vis elastica itemque Vtriusque corpori massa TA. nota iam corpus A ex statu aequilibri deturbatur, dum propius vel ad 'vel ad B impellitur, corpus quoque ad motum concitabitur, hocque vicissim in A aget Vnde motus in Vtroque Orietur, qui a casia praecedente maxime discrepabit, neque amplius motui oscillatorio similis erit, Nque ob hoc ipsium multo dissicilius definietur. Ad eum autem resoluendum ponamus elaps tempore t ambo corpora in punctis A et B versiri, esseque ΡΛ a--X AB a- BQ a-Ha
170쪽
celeritas et vis ad eius motum requisita quae ipsi vi aequalis esse debet. Deinde ob s a --x- erita corporis i celeritas
1a ab hac subtracta relinquit 'λ existen
di limo et bsin. ni VI--ccosnt VI, quarum prior integrata dabit II α sim ni V -- costant Z unde et alor ipsius , hincque porro XII Tu inveniri poterit. g. 11. Ponatur breuitatis gratiarasin. n Y Dccosnt VI erit uddO-- dudo nn Tdi' quae per multiplicat tutarata dabit auudv nn d Tudiet