Novi commentari Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae

221쪽

A PRINCIPIO MOTUS INTERNO PROPEL. In

Qtii vero est pii PT ponamus t JTm erils et quibus valoribus loco substitutis

erit

Cum autem tempus percussionis i sit quas infinite par-Vum posito erit et .c- - C, Vnde ab subsequente penduli actione ab eius tensione oriunda fiet: U I2α --6ς -- -φ' etc. Vbi reliquos terminos negligimus, quia prae his duobus sunt valde parui. g. 3O. in ergo manifestum est rem clis, 1-deoque celeritatem nauis a quavis penduli actione , quae primum ex ictu tum Ver ex tensione penduli componitur, diminui debere. Etiamsi ergo nauis iam habeat celeritatem quamquiam antrorsum directam , eam tamen ab actione penduli mox amittet, unde multo minu cum quieuerit, a pendulo illam motum adipisci poterit. Quod si vero obiiciatin nauem sorte a pendulo retrorsum repelli permutandis velocitatibus u et simili modo ostendetur , celeritatem quoque retrorsim directam, si quam nauis habuerit, ab actione penduli continuo ire minui debere , atque adeo nullo modo naui ab huiusmodi

222쪽

Tab. V.

DIssERTATIO GEOMETRICA,

PROBLEMATIBUS ALIQUOT COXL

CIS PER ANALYSIN CONCINNE SOLVENDIS . AUCTORE GEORG. LVO FG. R FT. Theorema.

f. L.

Si si ierint, in Ellipsi ΛΜ B, axis AB, tangens pillacth cuiuslibet Μ centrum C, ordinatim applicata ad axem erunt CP, A CT, proportionales

continue.

Demonstratio.

que aequatio naturam Ellipseos Xprimens haec, ' u Dueta ordinatim applicata priori infinite vicinapin , et rectam ad axem AB parallela erit, X natura trianguli characteristici infinite parui, N

substituendo pro valorem ipsius ex aequatione illipseos desumtum subtangens T ξε et rursus substituendo valorem ipsius I , fit eadem subtangens PT IU-X; ergo CTI Ia H PT Vnde oritur analogia

223쪽

DAT OBLEMATIBVS ALIQUOT CONICIS O p. 12ς

lib. . quam vero sic telae demonstrationi nostrae int Xere Volui

Theorema.

f. a. In Ellipsi summa quadratorum e semidiametris quibuscunque coniugatiS, aequalis esst summae quadratorum ex semilaxibus eiusdem Ellipseos.

Demonstratio.

Sint axis maior AB, et semiaxis coniugatus CD Fig. puncti ' cuiuslibet tangens Ma ordinatim applicata Μ' semidiametri coniugatae C et Lm; et punctit ordinatim applicata ad axem H Quibus ita positis statuantur CP ae, M , CA CB ni, CD mn Atque habebuntur , e theoremate prae-

semidiameter CH parallela est tangenti TM ; erunt tri

224쪽

Theorema.

Fig. a. f. a. Sint Ellipseos axes dimidii C , CD, et semidiametri coniugatae quaecunque C, CH atque rectangulum sub dimidii axibus aequale erit parallela-srammo sub dimidiis diametri conjugatis.

Demonstratio.

Per extremum diametrim ducatur tangens T ME erit haec parallela ipsi CH per extremum diametri ducatur alia tangens E erit haec iam parallela ipsi Cm adeoque erit parallelogrammum sit dimidiis dia metris coniugatis MEH. Ponantur denuo AC CD n, MCIIa, CH ib, CP aeri atque habebitur

sin. H CF, ob parallelas Eet CH. Demissa nunc ex H perpendiculari H in productam C. erit in

225쪽

ΗF - ') Est igitur area parallelogrammi ME HI CMκHFIIa κ ' mn ACκ CD rectangulo sub dimidiis axibus. Q. E. D. Habet hoc elegans theo, rema Gregorius a Sancto Vincentio , de Ellipsi, prop. 2, sed longe aliter demonstratiim. Vtilissimum vero est theorema hoc ad varias applicationes concinnaS, praecipue Ob commodam expressionem sinus anguli ces , quem duae diametri coniugatae quaecunque inter se ficiunt. qui sinus nimirum est Commode et perspicue iam hinc bluitur etiam sequens

Problema.

β . Datis iustus diametris coniugatis Ellipseos:

inuenire meta

Solutio.

sint datarii diametrorum dimidia Oznis CH Fig. 4. zz I semiaxes quaesiti AC CD IJ; anguli da,li MCH , quem suppono obtusium , sinu Ita e , Osinus - f; erit ergo anguli CF sinus cosin. - . Ex H in C demittatur perpendicularis F, atque erit primo , - - - γ' IT a'--b'. f. a. Deinde in trian

Erit ergo secundo abe, β. a. aut Vero X metabe , quibus additi ad aequationem modo positam pri

aut Vero extracta radice, o I cy-2abe --b'). Subtractis autem axata a cabe ab aequatione modo in-Venta

226쪽

adis VssERTATIO GEOMETRI

I in X - - et x I , per triangulum rectangulum, Stheoremate Pythagorico, nullo labore capiuntur , quartundeinde summa est axis transuersius, differentia ero axis Coniugatus. Restat determinandus situs axeos Super diametro coniugata H descriptus sit semicirculus quern is secet in erit QI rectus anguluS hinc ex na

Vnde mediis et extremis in se ductis , factaque reductio De Oritur H du db:, . Clim igitur datae iam sint magnitudine AC et D poterit a leui constructione obtinerim , qua possit in semicirculo ex H in , abjtur punctum et ducendo dein per datum C, et inuentum , lineam rectam ACB , dabitur in hac sitio aXeo ininsiuersi. I. Q. E. I.

Scholion.

f. s. Si praeter diametros coniugata data etiam sit Perimeter Ellipseos, quod Veteres in hoc negotio fere semper supposuerunt tum facilius hoc problema resolvitur

227쪽

DE PROBLEMATIBUS ALIQUOT COXICIS e. Ias

vitur, Ut docet Appollonius prop. 6 et lib. II. Fig. s. Ex dato enim per diametros coniugatas centro EllipseoS , describathi arcus circuli x quolibet nidi , secans perimetrum datam in A et B arcus interceptu bisecetur in transibit axis per data iam duo puncta et D. Euidens enim est, ore ut haec CD ordinatam AB bisecet ad angulos rectos. Quodsi vero perimeter data noti sit : difficilior euadit huius problematis sollitio, uti iam vidimus. Huius itaque ipsius, quod modo sol-VimVS, problematis constructionem primus dedit agnus Aleaeandrinus, in Collecto. Mathem Libro VIII. prop. 1 sed nullam addidit demonstrationemri hanc supplere conatus est commentator Puppi, Fred. Commandinus, Verum non satis eliciter quod testantur Gregorius S. Vincentio de Ellipsi prop. 9 , et Blondellus , in Memoires de P Acad. de Sciences depuis, 1666 usqu' 1699, pag. 46 qui idem hic etiam de hoc problemate, ex

Occasione aedificandorum fornicum , agit, nouam eiu constructionem exhibet , et mancam Commandini demonstrationem emendat. Pappi constructionem habet quoque Gregorius a S. Vincentiori nec ab eadem multo abludentem tradit o pitalius , des sections coni ques, Lib. II. prop. 11. Si quis Vero hanc nostram comparare Voluerit cum enarratis sollitionibus : inueniet eam concinnitate et uidentia reliquo facile superantem.

Problema.

g. 6. Data Vna diametrorum coniugatione : inuenire alteram sub angulo quouis dato.

Tom. I. R Solutio.

228쪽

ia DISSERT GEOMETR DE PROBL CONIC. c. Solutio.

Inueniantur ex data diametronim coniugatione aXes, ), quorum dimidia sint C m, CD in semidiametri quaesitae ero sint MC X, et CH , Onstituentes inter se angulum M CH datum , quem suppo

sibi his duabus aequationibus prodit ae -- et m. 3r' - siue , Xtractis radicibus, erit X -- V m --n ). Subtractis vero a se his prioribuS, aequationibus, XtractiSque rursus radicibus, oritur X I f Wίm--n F). Data itaque denuo summa et differentia diametrorum quaesitarum , dabuntur illae ipsae magnitudine. Vt vero cognoscatur artim positio sit M punctum illud perimetri Ellipticae, quod e sectione diametri quaesitae oritur , et inde ad axem semiordinata M; atque erit CP et II fra in cum igitur data iam sit magnitudo ipsuis X poterunt facili constructione reperiri hae duae C et M atque exinde situs diametri δεμ cognosci, cui deinde sub imperato angulo MCH iungantu altera diameter priori coniugata. Ab aliis problematibus, quae simili concinnitate ex his principiis solii possunt, iam abstine , contentus iam ad illa adeunda me m0nstrasse.

229쪽

DEMONSTRATIONES DUORUM

THEOREMATUM GEOMETRICORUM. AUCTORE c. LV. I RAFFT.

Primum honi Theorematum benevole mecum com municauit , sine lubiuncta demonstratione , Celeberr. Dom Leonb Euserus , in literis . . I . Febr. 1 4 8. ad me scriptis quod nouuiri non modo visum est, sed et generalitate sua mirum in modum mihi placuit huius itaque demonstrationem sequentem in modum postea Gornaui, Vt praemittere debeam ex Trigonometria petitum sequens.

Lemma. Data sint Ganguli ιtanguli duo latera A et BC,

cum angulo Itere tora quaeritur magnitudo lateris tertii AC. Ponantur BC β, anguli acuti sinUS I. , Osinus I μ' , posito sinu toto AT 1 et demittatur perpendicularis D. Erit iam in triangulo

230쪽

xa DEMONSTRATIONES VORVM

sumi debere negati utim , t nempe tum sit νία' - - β'. et αδλ . time determinatio Trigonometrica huius lateris Aci, quamui nulli fere dissicul ite eruatur,vsium tamen insignem habet in soluendis tam plurimis problematibus, quam adstruendi theorematibus Geometricis, qui idem etiam sese ostendit in hoc sequenti meo proposito , cuiu iam ipsitu est subiunctum

Theorema.

Fig. 7. Si quadrilateri cuiuscunque ABCD diagonalas AC, DB , secenta in F et ducatuTque recta FG erit summa quadratorum e lateribus aequati summae quadratorum e diagoniis una cum quadrupD quadrati FG hoc es, erit A BR HAEC H CD' H DA AC H DB --

Demonstratio

Ponantur breuitatis caussa sequente Valores,