장음표시 사용
61쪽
per caput praecedens inveniatur ejus nuXio, & supponantur datae &resultantis fluxionis termini correspondentes inter, se aequales; & cxinde investigari possunt coefficientes π,- r, &c. quaesitae. Cas. s. Sit data fluxio eadem ac in praecedente casu, & quantitatis sub eodem vinculo contentae sint plures divisores inter se aequales,
62쪽
i viet. divisores hujusce formulae α -- ,3 x vel α -- βx' , ubi litera m Vel hinarium vel majorem numerum denotat; & ita reducatur data Πu io, ut quantitatum sub vinculis nulli inveniantur communes divisoles, Vel in eadem quantitate nulli inter se aequales; deinde ex methodo in praecedente casu tradita investigari potest fluens quaesita.
est quantitas x' γ αεβ x' Xa ' κγ M NIH- mx ox ' &c.' πρ ρκ' rx &c κ T' κ &c. 5c exinde Per methodum prius traditam deduci potest fluens quaesita. 'Cor. 1. Si fluxio sit fractio rationalis irreducibilis cum denominatore ex duobus vel pluribus terminis composito, resolvendus est denominator in divisores suos omnes primos: M si divisor sit aliquis, cui nullus alius est aequalis, curva quadrari nequit: sin dao vcl Plares λ sint divisores aequales, viz. α -Φ- β U γ x'' - - &c. RG & si
adhuc alii duo vel plures μ sint sibi mutuo aequales la prioribus in
thodo, Prius tradita deduci possunt valores incognitarum coemientium AE B, C, dcc. in hoc casu λ & μ sant integri numeri. Cor. a. Si fluxio sit fraetio irreducibilis, id ejus denominator contentum NeWt. Quadr. Curv. p. 5 .
63쪽
tentum sit sub factore rationali & factore surdo irreducibili R ι inveniendi sunt lateris R divisores omnes primi, & sit duo vel plures λdivisores sint inter se aequales, viz.--- βρ- γ x '-l- &c. & si adhuc alii duo vel plures μ sint sibi mutuo aequales & prioribus inaequales,
Φ r x' -- &c. X &c. & per methodum in hoc problemate traditam deduci possunt valores i cognitarum coeffi cientiurn A, B, &C. Cas. 6. Sit fluens quaecunque algebraica functio literae x; tum, si inveniatur ejus fluxio, ea minores habebit dimensiones quantitatis κquam fluens per unitatem; ni dimensiones quantitatis x in prsedicta algebraica surictibiae nihilo sint aequaves, i. e. maximae dimensiones quantitatis x in numeratore aequales sint ejus maximis dimensionibus in denominatore; in quo casuimaximae dimensiones quantitatis x in saetate majorcs erunt quam maximae dimensionos ejusdem quantitatis in fluxione per quantitatem majorem quam unitatem. Maximae dimensiones quantitatis x) in irrationalibus quantitatibus per methodum, quae docetur in Prob. 26. nost. meditat. algebr. acquirendae sunt; incle e contra, data fluxione, quae est functio algebraica quantitatis ae in fluxionem x ducta; & consequenter data maxima dimensione quam. Utatis x in ea contenta, datur etiam maxima dimensio quantitatis xin fluente contenta, exinde sicile constant dimensiones quantitatis x, ad quas & haud plures a rgent seriei termini, fi m 6do haud in infinitum progrediatur. e. g. Sit fluxio lA Bx'--CU . . -l-JIgx )
64쪽
Cas. 7. Si xequiratur fluens praedictae fluxionis AH- BQ. . . κ x A κ μ λ x in serie secundum dimensiones quantitatis es descende 31e; quae in plRribus casibus converget, qUam praecedens series: assamatur--Φ- βα ' Τ -Φ- γx ' - - &c.) x x κ R κ S' T κ &c. pro fluente, ubi φ - κ - π - ρ- σ- dcc.; & deinde inveniatur fluxio fluentis assumptae, & sequentur correspondentes datae& resultantis fluxionis termini, & exinde deduci possunt coemientes , γ, &c. Haec series semper terminat, cum series ex priori methodo deducta terminat. Hic excipienda sunt exempla nonnullarum fluxionum, quarum fluentium termini progrediuntur, usque donec dimensiones quantitatis evadunt nihilo NqRales. Cas. 8. Sit fluxio rationalis functio literae x in fluxionem x ducta,& m ximae dimensiones quantitatis x in denominatore superent maximas dimensiones quantitatis X in numeratore Per Unitatem, tum ejus
fluens haud inveniri potest in finitis algebraicis terminis literae x.
tem dimensiones ejusdem quantitatis x) in denominatore sunt f κ dii, di exinde dimeritiones quantitatis x in denominatore majores sunt quam dimensiones ejusdem quantitatis in numeratore per Unitatem ;
65쪽
tatem ; & consequenter fluens fluxionis in finitis algebraicis terminis non exprimi potest. Cas. 9. Omnis fluxio duobus modis in seriem resolvi potest; nam index n quantitatis x vel assii mativus esse potes: vel negativus. Pr
potest κ a lxη κ β - ἰχ- - mx3 'x; vel sc x 'λ - Ι- 3 lx κm- x. Tentandus est casus uterque per praecedentes methodos, & si serierum alterutra ob terminos tandem deficientes abrumpitur ac terminatur, habebitur area Curvae in finitis terminis Si vero una series terminet; tum necessario, rebus recte dispositis,
terminat altera. e. g. bit nuxὶO , cujus fluens est
μ cujus fluens est transformetur haec fluxio in formulam
U Uμὰκ i is ii autem duae fluentes sunt eaedem & eadem facilitate fere per methodum hic traditam deducuntUr. Omnia haec etiam applicari possunt ad subsequentem casum. Cas. io. Data fluxione A Bx &c. --D--Ex -Fx &Q.
66쪽
tatibus R, S, T, &c. contineantur irrationales functiones quantitatis x , viZ.α, β, γ, &c. & fluentis fluXio sit R T 'λ κ Scc. κ x κtum in quantitate et involvuntur irrationales quantitates α, β, γ, o C.'
Sc rectangula sub quibusque duabus α β, αγ, βλ &c.; contenta sub quibusque tribus, quatuor, &c.; αβ γ, 6 c.; &z. Ea, quae dicta fuerunt in praecedentibus casibus de fluxionibus prius datis ad omnes algebraicas fluxiones applicari possunt. QuibuSetiam adjici potest subsequens.
ρ ----- nx-' - &c. aequalis sit fluxioni per quantitatem P BY Cκ' in lac. divisae, i. e. si fluxio prioris partis per poleriorem divisa aequalis sit fluxioni posterioris partis per priorem divisse; tum haud assumi debet quantitas Λ-- Β ω' CΣ' - &c. --d 'in
67쪽
Consimilia etiam assirmari possimi de trinomialibus P - - Κ,&c. quantitatibus. Hinc e praecedentibus principiis inveniri potest fluens cujuscunque datae algebraicae fluxionis, si modo exprimi Possit in finitis algebrateis terminis literae x. Saepe vero facilius investigari potest fluens praedicia, si abjiciantur irrationales quantitates sub Vinculis contentae ; & fluxionis iesultantis inveniatur fluens; e qua etiam laepe erui potest fluens quaesita. Et sic de pluribus hujuscemodi quantitatibus. Cas. I 2. In resolutione casuum prius traditorum nonnunquam
68쪽
denominator termini deducti nihilo evadat aequalis, in quo casu fluens fluxionis quaesitae in finitis terminis noti exprimi potest. CRC IS. Fluentes quarumcunque algebraicarum fluxionum etiam per infinitas series terminorum secundum dimensiones quantitatis )progredientium deduci possunt.
i. Ex irrationalibus quantitatibus facile constat numerus valorum, quos habet quaesita fluens; per infinitas series inveniantur singuli Valores P, R, S, T, &c. quaesitae fluentis, & exinde summa singulorum valoriam qHaesitae niaentis; & sic summa rectangulorum sub singulis duobus; contentorum sub singulis tribus; &c.: Per medit. algebr. inveniri potest, utrum hae summae per rationalem functionem incognitae quantitatis x, & exinde utrum fluens quaesita per praedictam functionem exprimi potest. Haec methodus invenit fluentes, si modo nulli valores fluentium correctionem exigant. a. Si Vero correctionem exigant, tum corrigendi sunt singuli n)valores P R, S, &c.) addendo ad singulos P, Q, R, S, &c. invariabiles quantitates generaliter assumptas A, B, C, D, &c.; Sc deinde inveniendo summam α) e singulis valoribus resultantibus P A, Q in B, R--C, &c.; & S) summam eorum rectangulorum sub quibusque duobus, γ) contentorum sub quibusque tribus, sub quibusque quatuor; &c. deinde Per meditat . algebr. i. e. Per methodum communes divisores detegendi inveniatur, an non ita adcimi possunt quantitates A, B, C, &c. ut Praedictae summae evadant finitar ratio nates functiones incognitae quantitatis x; sit hoc fieri possiti, tum in Venietur aequatio υ' - ατ' ' - γ U ' -φ- dcc. o, cujus su)radices erunt n) diversi valores fluentis quaesitae. EX. Sit fluxio a' - xy)Yx; constat duos ecth valores irrationalis quantitatis a*-x ), Κ consequenter duoῖ esse valores fluentis γὶ, reducatur haec fluxio in infinitas series, 5c resultant duo valores
69쪽
- ὁῖ --- &c. corrigantur hae nuentes addendo quamcunque
9 3 3 ον C. Cor. 1. Si modo sint n) valores praedicti, & corrigatur unus valor addendo quantitatem A; tum ex quantitate A & data fluxione de duci possunt correctiones singulorum sn-Iὶ reliquorum. Cor. a. Si sit fluxio secundi vel m ordinis, cuius fluens requiritur; tum in correctione praedictorum su) valorum assumi possunt m)quantitates ad libitum. P R Ο B. V. Data fluxione quae is se contiuet Meucen su), quae haud exprimi ρο- is rusvittas alebraicis term vis variabilis quantitatis x ; invenire utrum mens datae suxionis sit inita alebraica functio quantitatis x) si' ' dictae fluentis su). . V1. Collocentur termini secundum dimensiones fluentis v, ita ut illi Primum locum occupent, in quibu. maxima invenitur dimensionuentialis quantitatis υ; & sic deinceps. Terminus, in quo maximae inVeniuntur dimensitones fluentialis quantitatis suin, sit rectangulum quantitati. , quae sit functio literae V, in quantitatem B x ductae, in qua haud continetur litera m inveniatur
70쪽
inveniatur fluens fluxionis Bx, quae dicatur X; deinde inveniatur fluxio rectanguli XκW, & erit WX ae praedictus terminus; -XW: in hac vero posteriori parte XW tape quantitas u haud tam multas habet dimensiones quam praedictus terminus IV: & sic his operationibus repetitis saepe continuo deprimi possunt dimensiones
quantitatis v, ita ut tandem evanescet, exinde inveniri potest fluens fluxionis quaesita. Ex. I. Sit v fluen. RuX. i invenire fluentem fluxionis v κω x, ubi n est integer numerus. Hic est unica dimensio fluentialis quantitatis v, quae dicatur W; & erit x x Ex, cujus fluens est
ἡ X; unde fluctio rectanguli X κ IV - i' erit v
& consequenter fluens quaesita erit s); sed fluens fluxionis
at fluens quaesita Ex. a. Sit z - & erit fluens fluxionis et x x per praeceden- erit fluens quaesita
- z: etiamque aq'. si se fuerit par numerus, pro et scribatur log. i in xy); sin impar, scribatur log. si x in. Si n fit negativus