장음표시 사용
591쪽
2. Si vero termini e datis aequationibus pendeant, tum e datis sequationibus vel deducantur valores terminorum datae seriei vel approximationes ad terminos datae seriei satis appropinquantes, &tum per methodos praedictas continuo corrigatur summa inventa& continuo resultabunt propiores approximationes ad summam quaesitam. Ex. Litera z-i denotante distantiam termini cujuscunque e primo, terminus praedictus exprimatur per reciprocam seriei I
&c. ductam in -, i. e. series sit
H &c. quae series vere convergit; in &C.& facile erit dijudicare de numero terminorum in fractione I ''. . I. a a . 3&c. ad singulas operationes assumendorum, &c.: singulorum enim terminorum praestat, Ut inveniantur approximationes, quae a veris summis per quantitates prope aequales distant, & si requiratur summa seriei vera ad quendam limitem, tum ita inveniantur approximationes, ut earum aggregatum non Produceret errorem limitem praedictum exsuperantem. In his aeque ac in omnibus aliis seriebus ex relatione, quam habent
termini successivi ad infinitam distantiam dijudicari potest convergentia seriei. P R O B. XXII. Gucem meth A detegendi gemenstiter, ovou uua data qua uti assit σμgo furectio aliarum datarum quantita zm, S data serie secure di mensionei incognitae quantitatis x progrediente, cujus summa st y; DV ire
592쪽
amore assignari Ut σμα is, sis algebraica sue seximatis sis, quae de signat relationem inter quantitarea X U y, ta earum uriones. 1. Sit data series bH' cx &e. - ' &e concessa methodo sequitur, utrum data series ' fit algebraica functio literae G
I. e. utrum detur algebraica aequatio, quae exurimit relationem inter quantitates x&y, necne. 2. Inveniantur Primae, secunda , &C. fluxiones datae seriei erunt respectiver nax x -- u in m)bx' 'x -- n amὶ A S - &c. &c. jam vero e concesta methodo detegatur utrum data seriesb H -- &c. - ν sit algebraica functio datae quantitatis x, &
Cor. Generalis fluens aequationis y - γ κ' erit 3 - a st
593쪽
. &c. in infinitum); ubi literae a, c, d, e, &C. & h invariabiles co-essicientes ad libitum assumendas respective denotant. a. Si termini seriei 3 P generaliter exprimantur per fractionem
hVlψὶς gςRς β AE, - ΒΣ--i CL-- - &e. μ ν ubx iitCrN V, 1 a, b, c, &c. A, B, C, &c. invariabiles denotant quantitates, & m Sc nsunt integri numeri, & et distantia a primo setiei tetmino: tum e Prob. praeced. deduci potest fluxionalis aequatio,'cujus radix particularis invenitur ν P. Cor. I. Ex hinc facile colligi potest fluentem generalis fluxionalis
594쪽
i. Invenire quantitatem, in seriem inveniendam magis celeriter convergentem ducta prinbet datam seriem. Hujusce problematis resolutio solummodo deduci potest e termini, ad infinitam distantiam positis; inveniatur enim quantitas si modo talis deduci possit, quae vel in unum terminum cujuscunque formulae, vel in plures terminos proxime convergentes ducta, praebet datam seriem, & perficitur Problema. Ex. i. Sit series infinita A) I -l- b in by -- b3 &c. & erit si b
595쪽
a. 3 . si H- γ) - I in X ' a. 3. .s I x). 1 Q3 Cor. Sit x minor quam I, & omnes series P, Q R, S, &c. evadent convergentes; sit x eadem quantitas in omnibus praedictis seriebus, dierunt termini serierum P, R, S, &c. ad infinitam distantiam re
& sic deinceps; ubi 2 denotat distantiam a primo seriei termino; reconsequenter ad infinitam distantiam minor erit convergentia seriei P quam β', sequam R, R quam S, &c. termini enim ad praedictam distantiam seriei P infinite majores sunt quam termini seriei ', & sic deinceps: in seriebus enim per functiones algebraicas quantitatis χdesignatis, convergentia pendet ex differentia inter dimρnsonep
quantitatis et in numeratore dc dene minatore Conten S.
2. Ducatur series quaecunque Pὶ in quantitatem α - o, se a - x o, & conseqUenter α Ι - xni & si series P) sit convergens, tum series resultans erit m o; si stri es s P) sit divergens, tum series resultans potest esse convergens vel divergens. a. Data functione quantitatis z, quae denotat quemcunque ter' num seriei P), cujus distantia a primo sit z; reducatur data functio ad seriem descendentem secundum dimensiones quantitatis z; deinde inveniatur quantitas A, ita ut, si modo reducatur, finita quantitas A ad infinitam seriem, termini ad infinitam distantiam quam proxime iidem evadant ac termini datae serret; inveniatur series quae inquantitatem A ducta, praebet datam seriem P), & lare series et magis celeriter converget quam series P. . Si vero detur relatio inter succes vos terminos seriei P) ad infinitam distantiam, inveniatur quantitas in quae reducta ad seriem infinitam, cujus termini secundum dimensiones quantitatis et descendentes, eandem prope habent relationem inter successivos terminos ac data relatio ; tum deducatur series Q ita ut A X P, & fere erit series magis ccleriter convergem. Facile
596쪽
Facile investigari possint infinitae quantitates A, quarum termini successivi ad infinitam distantiam vel quam proxime sint iidem, vel habeant inter se relationem, quam habent datae seriei termini. E convergentia totius seriei, i. e. terminorum ad infinitam distantiam minime dici potest convergentia omnis partis; sed fere facile
inveniri possunt termini, cum transeat series e divergentia in convergentiam, vel cum fiat maxime convergens; Vel convergentis incre mentum evadat maximum, &c.
Disterentiae quarumcunque quantitat m ad Perparvas distantias b) a se invicem postarum erunt plQxumqvd in ratione distantiarum ipsarum; & consequenter quantita exprimi potest per quantitatem Z g et a buluice
597쪽
hujusce sormulae A in Ast, & magis generaliter per quantitatem a BO Cοὴ -- Do3 &c. Hoe verum est haud solummodo in algebraicis sed etiam in exposnentialibus quantitatibus. Hinc prope corrigi possunt errores, qui irrepunt in plerasque operationes ad perparva intervalla institutas. Τ H E O R. XVIII. Sint A, B, C, D, E, &c. quantitates quaecunque invariabiles, et vero variabilis, tum in expressione A -- B Q H- C et . ' cis V . lac. scribe numeros quosvis aequidistantes o, n, et Π, 3 π, &c.
pro z. & quantitates provenientes dicantur respective a, b, c, d, e, &c. subtrahatur quisque terminus seriei a - b c Hr d - - e -- &c. de proxime Praecedente, vocenturque termini residuorum a - b, b - e,
e - α &c.) primae differentiae; deinde subtrahatur. differentia quae que prima a proxime praecedente, & residua resultantia vocentur secundae differentiae ; subtrahatur etiam quaeque secunda a proxime praecedente, & residua resultantia dicantur tertiae differentiae; & sic deinceps: sit a primus seriei terminus, d prima primarum differentiarum, P prima secundarum, & sic deinceps; & erit expressio a - d uti a is 'μς termino, cujus distantia a primo sit z. Cor. I. Hinc T - a-b; ι - σ-bὶ - b - ς' - σ-2b G
2 3 Cor. 2. I. Sint a, b, c, d, e, lac. ordinatae ad curvam, quarum communis distantia a su invicem sit n, i. e. quarum abscissae sunt o, n, a R
598쪽
dent A, A, &c- primae, secundae, tertiae, &c. fluxiones primae o
599쪽
sso DE SUMMATI ONE- la sic deinceps: & vice versa sint termini respectivi
EX. a. Sint termini a, ab, aby, alti &c. in geometrica progressione,& erunt differentiae praedictae d d , d &c. respective a in a - ab a κ I - b) αααd fa - 2ab-Dab' a X. I -b η απd , &c. i. e. differentiae successivae a I-b), aκ I-b)η; a κ I-b)', &c. quae sint a, d , c, &c. erunt quantitates in geometrica Progressione.& vice versa sint praedi differentiae in geometrica progressione, laerunt quantitates ipsae in geometrica progressione. Ex. 3. Sit series terminorum a, b, a b, a -- 2 b, 2a -- 3b, 3 a 'l' S b, in 8 b, 5cc., ubi quique successivus terminus est summa duorum Praecedentium, tum termini disserentiarum n ordinis erunt iidem ac termini datae seriei n primis exceptis); primus terminus differentia . ruim n ordinis erit ma - Bb, si mb -- ha sit terminus in data serie,
cujus distantia a primo sit n in I. Si termini sint summae s ) praecedentium terminorum in qUascunque datas coefficientes ductorum, vel eorum quaecunque functiones 4 tum exinde erui possunt differentiae 'P R O B. XXIV. Data sexie a in bH-c-sed --e - &c. in infinitum pergente I e rem minis succescis a, b, c, d, &c. constante, G iuventis dinerentiis I - ὰ- b, d' - a - ab c, &c. M Z di πtia a primo seriei termino, numiter minus, cujus distantia a prim=sit Z, ser theor. praeci erit a - s Z - Z .
ret, ni bin disserentiae ans ustimo nihilo nequales. Invenire igitur, ut limsuta seri in in uisum progrediens, conzerget; necne.1 q. Sit
600쪽
,''. sit data series talis, ut terminus quisque ultimo fit ad terminum successivum in permagna ratione fere ut infinita quantitas ad
finitam, e . g. sit series r - - - - - & denique
ut infinita I ad I. In hoc casu se-i ies clata maxime convergit, .sed series, esultans I - d si E .
Ubeeessi i infinito sint minores proecedentibus; & erit series prope - ο - Η - Ο in &c. & omnes primae differentiae primarum, se-Ari clarum, differentiarum erunt respective a, unde series erit
- Ν -- &c. quae nunquam celeriter converget, ni Q.sit integer numstrus. Si ultimus datae aequationis terminus habeat ad ejus successivum ratio; im majorem quam aequalitatis, i. e. ultimi termini. latae
seriei sint in geometrica progressione, cujus communis ratio est i : ritum, si omnes termini seriei sint in geometrica progressione, erunt differentiae d di &c. in geometrica progressione, cujus communis ratio est 1, 1-r: unde constat, si I major sit quam I-r, tum converget haec series, sin pliher vero non. Eadem etiam assirmari possunt de serie, cujus termini ultimo sunt in geometrica progressione. 3 ''. Si termini ad infinitam distantiam propiores accedant ad rationem aequalitatis quam pro quavis finita differentia; tum, utrum series deducta sit convergens, necne; pendet e ratione, quam habent, ultimo successivae differentiae d d &c. i. e. ex o quatione a zi