장음표시 사용
571쪽
sar DE SUMMATI ONEa. Nunc data series v l dividi potest in plures, quorum termini sint
- α. z β. α - γ&e. ς' qVQςVnquζ alio modo ita ut summa esingularum serierum terminis aequalis sit datae quantitati; deinde inveniatur per subsequentem methodum summa e singulis hisce seriebus, quibus ad unam summam adjunctis, ea erit summa seriei datae quaesita. a. Sit V - summa seriei, cuius termini sint -- - ' ' - α . β . γ . δ α - 1 in I . γ - 1 . δ I . &c. 'α in a a. γ a. a.&e. η' dic, laveniatur fluxio utriusque sequationis partis, & resultat V -
572쪽
jus terminus est & sic de reliquis. Aliter: sit A. et in nr). Q - ρ). z σ). z - τ). &c. A et
573쪽
, - unde facile deduci potest summa seriei, cujus termini
sunt praedictie datae quantitates. Si α -- z vel β et vel γ R, &c. unquam evadant nihilo aequales, tum in detegendis fluentibus terminorum praedictorum necesse erit invenire fluentes fluxionum hujusce formulae x xi , Ubi ndenotat integrum numerum; hae fluentes in libri primi capite se
Cor. i. Hinc facile iterum constat, si modo α, β, γ,a, &c. sint inaequales quantitates, summam cujuscunque seriei,cujus termini respective
m est integer numerus; inveniri Posse ope sinitorum terminorum cir cularium arcuum & logarithinorum. Cor. a. Facile etiam e praecedentibus principiis deduci potest funirimam terminorum inter quoscunque datos terminos contenta, &e principiis in medit. algeb. traditis consequetur summa terminorum, quorum distantiae a primo seriei termino sint respective n. n - 2m,n - 3m,u M, &c. Cor. a. Sit data series Ata in D UM' -- Cx '' Dci: 'Τ' -- &c., cu tu; summa sit functio quantitati a x, cujus fluxio inveniri potest: sit 2 distantia a primo seriei tormino di assumatur functio a Lm -- h, i in e zm da ' -- &c. - P, ubi m est Znteger numerus , in fun- diibne P pro a scribantur O, I, R, 3, 4, &c. dc resultent quantitates α, Q λ λ &c.: tum ex data serie isemper acquiri potest summa serieiis AN - β Β ω'' - γCz ρ' - &c. Cor. 6, D cautur termini praeditae seriei Aa -- Βα - CA '''
574쪽
α an) α - - 3 n) . α -- n) . . . α -- r-I)n) α ubi α est distantia a primo seriei termino. Cor. s. Si fluens fluxionis x κ φ: x detegi possit, tum summa seriei, quae est fluens fluxionis xcp: x) κ az' H- - &c.) etiam exprimi potest. PROB. XII.
Data aequatione relationem inter T, T , T , T ' ' focos Os feriei rei minos, G et di antiam a primo seriei termino, seriem ejus invenire. AFumantur pro n primis feriei terminis respective A, B, C, D, Go. G data inquatione continuo inveniantur successivi termini gummi aeteriri, ef ex is invenietur series quin sta. PROB. XIII. Data aequalione relationem inter succe vos seriei terminos exprimente . invenire inquationem, sue ea algebraica sive fluxionalia Et, si mori hujus is generis detur aequalis), cujus radix erit series Sugcutaue data, qui des-nitur inquatione, in quia termini seriei sunt unius tantum dimensionis. I. Invenire sequationem, cuius radix est series F A -- BQ Cx &c. in qua relatio coefficientium est constans, scilicet i D s C -- r B H- ρ A -- &c. o, ubi A, B, C, D, &c, successivos termino;
& q, r, si &c. invariabilea quantitates respective denotant. sit
575쪽
g - -- &c. nunc primo per methcdum in prob. Praeced. traditam ex assumpta sequatione I in Ax' -- Lx '' &c. inveniatur
sequatio fluxionalis 3 Scc. seriei, cujus generalis terminus sit az b z &c.) T; & sic deducantur fluxionales aequationes, quarum generales termini serierum sint se zβ--fz' &c.) T , &e & sic deinceps ; tum ita reducantur hae fluxionales sequationes, i. e. ducantur in tales dimensiones quantitatis x, ut eaedem ejus inveniantur dimensiones in correspondentibus terminia T , dcc ); & exinde consequentur fluxionales aequationes quaesitae. Ex. . Requiratur fluxionalis aequatio, cujus radix sit 1 ae* x ,- Δαβ - &c. i. e. cujus relatio inter successivos terminos sit κ a z -φ- i)Tx a z et ' T o; assumatur aequatio. I - A 'F A κῆ - CxAE in D xβ in &c. sed quoniam factor T ductus fuit
576쪽
fuit in x , consequitur m Z; & canisqu*nter omnes se torps in quantitates T, T, T , &c. ducti, qui sint Iz - α, multiplicentur inr, ita ut evadant factores hujusce generis zz - β; factores san I, an I, az a vero in data aequatione contenti hane habent io mulam sine ulla reductione. Nunc inveniatur talis nuxionalis functio quantitatum di de x &earum fluxionum, ut aequalis sit seriei, cujus generalis terminus sit a z- i) κ az i)γT ubi T sit generalis terminus seriei a sumptae: per Prob. Praedic. ducatur aequatio assumpta in & resul tat γω - Ax-- Bxa in CxS -- &c. cujus nuxiouerit 7x -- x3 - Αχ-- 3 Lxyx -- fCx x &c. az in I )Tx''x, dividatur haec sequatio per x & evadet S B x x in s Cxix &c. cujus fluxio
successivum T sequationis ductae; unde resultat - xyxγ - x Lain x3γ - xj in xγ)ὶ A- ὸ B)xx' -- I 6 C - 3 B xS x . . . set z - 1ὶκ azH-I)T- az - 2 φν)x' '' o, unde fluxionalis. aequatio quaesita erit x3 - x γ - I - xy γ κ - x- o. Cor. . ordo fluxionalis aequationis quaesitae semper aequat indicem vel α vel si vel γ, &c. ubi α,-γ, &c. integri sint numeri, qui inve nitur maximus, & data series erit ejus particularis resolutio. Et ex data particulari resolutione deprimi Potes: quaesita aequatio ad inferiorem. ua. Si vero numerus sectorum functionis quantitatis z in data aequatione relationem inter succelliVO. terminOS T, T, &c. exprimente
577쪽
continuo augeatur, tum Omnino ex iisdem principiis petenda est solutio. . Si vero diversae Potestates subsequentium terminorum in data aequatione contineantur, tum assumendo seriem pro summis & ex ea deducendo singulos datae sequationis terminos; & correspondentes resultantis sequationis terminos inter se aequando deduci potest series quaesita. PROB. XIV.
I. Datis duabus vel pluribus conCergentibus feriebus S, S , S tac. ex iis deducere feries, quarum consequentur summae.
Sint di, β, γ, λ &c. quicumque successivi termini ex una serie; ρ,
ir, τ, &c. eX altera, &c. tum erit a se bβ cγ--dδ--5cc. hπ-I ρ --- mσ -- -- &c. terminus generalis seriei, cujus summa facile erui potest e summis datarum convergentium serierum, ubi a, b, c, d&c. L m, &c. stant quaecumque finitae quantitates.
a. Si vero quaedam e prsedicti5 seriebus S, S , &c. haud sint con vergentes, sed earum termini continuo ad nihil vergant, & ultimo minores sint quam quaevis assignandae quantitates; S , S &c. vero sint convergentes series; tum erui potest summa seriei, cujus generalis terminus est aα - cγ- &c. - β π Iρ -- m ιr &c.
&c. &c. sint termini successivi serierum datarum haud convergentium; sed p, Τ, dcc. r, s, &c. termini successivi serierum convergen tium : etiamque sint a, c, &c. m, &c. &C. B, &c. D, E &e quaecunque finitae quantitates, ita vero ut in coefficientibus serierum quae haud convergunt, singantur si in b in c &c. αα o, l m
Si modo series progrediatur secundum dimensiones quantitatis aelum b, c, dcc. l, &C. C, &z. D, E, &c. sint functiones quaecunque ipsius x. Haec etiam principia applicari possunt ad summas serierum, quae sunt tales functiones datarum convergentium serierum, 'iussi nullas inse
578쪽
se reciprocas potestates involvunt ; vel convergentes series praebent. Inveniantur enim functiones datarum serierum & quantitatum, quibus hae series aequales sunt, & erunt summae serierum resultantium aequales summae quantitatum resultantium e praedictis quantitatibus. Cor. I. Ex primis terminis serierum, quarum termini ad nihil vergunt 1 & ex datis primis terminis, & summis convergentium serierum, quae haud in quantitates simul sumPtas nihilo aequales ducuntur, facile innotescet summa seriei quaesitae. Cor. I. Datis summis quarumcunque serierum, facile plerumque detegi potest, utrum summa cujuscunque seriei ex iis per methodos prius traditas deduci potest, necne: ex observatis factoribus in den minatore praedictae seriei & serierum, quarum dantur summae, consequitur substitutio, e qua erui potest in summis datarum serierum summa seriei quaesitae. Cor. a. Ex data serier m x in I xy -- - - &c. erui potest summa cujuscunque seriei, cujus generalis terminus est αα -
& consequenter Fcγ-&c. ubi α, jS, γ, &c. sint termini ad distantias a primo
quod requiritur, exinde facile erui potest. T H E O R. XVI. i. Ex fluentibus fluxionum, quae finitis terminis exprimi pollant, acquiri possunt series quantitatum, quarum summae innotescunt.' X x x Redu-
579쪽
Reducantur datae fluxiones ad infinitas series secundum terminos, quorum fluentes finiti. tζrminis exprimi possunt, progredientes ; inveniantur fluentes terminorum resultantium, & resultant series, qu rum summae innotescunt.
Ex. Sit fluxio a bx' 'x 'ae, cujus fluens sexceptis excipiendis) in finitis terminis exprimi potest, cum r sit integer numerUS; re-
r & l sint integri numeri, in finitis terminis exprimi potest. I. 3. Per caP. 3. medit. algebr. erui potest in finitis summa e termini
580쪽
praedictae seriei ad l distantiam a se positis, e. F. - I
vicem positorum terminorum ejusdem seriei. In his seriebus pro h scribatur -δε, & evadunt termini seriei alternatim affirmativi & negativi, dc δε- ni, b -et m, &c. fiunt B in - θ - 2 m, &c. i. s. Si - - - r sit integer assirmativus numerus, tum ob sa H
scribatur H- - - r, & pro a scribatur b & pro a; dc pro x ι δο resultant series ejusdem formulse, quarum sum e innotescunt.