장음표시 사용
601쪽
inter se ultimo successivi seriei termini, constabit, utrum series resul-.tans sit convergens, necne. Hi ne constat, ut haec series plerumque maxime, cum data series minime convergat; semper autem minime cum maXime convergat
data series: pendet enim e rationibus, quas habent inter se successivae differentiae ii, &c. Τ H E O R. XIX.
ε - &c. ina a 3 a 3 4 infinitum. Cor. . Si modo series data sit conVergens ; tum omnes series, quorum termini sunt differentiae cujuscunque ordinis erunt etiam convergentes.
Facile constat, si modo series sit assirmativa; sin termini ejusdem seriei, si. e. cujus assirmativi & negativi termini eandem prorsus observant legem) sint alternatim assirmativi & negativi, tum erunt praedictae differentiae alternatim assii malivae & negativae, & series erit
I. Sint d d , d , &c. ut antea successivae primae differentiae terminorum seriei a - bH-e--d--e-- Sec. i. e. cujus termini sint successive si, b, c, d, e, &c. Sit etiam series, cujus termini sunt successive
602쪽
erit summa novae seriei B ία - 2) - δ' x et in a) κ-- μ δ' κ E a) κ -- . - &c. ubi quantitas B ad libitum assumenda est,& sic deinceps. Cor. I. Hinc tot quantitates in hac serie assumi ad libitum pos
& e praeced. constat etiam summam Posterioris esse a- z r D et i)κ- σε &c. si vero A m o tum summa hujus seriei eadem erit ac praecedentis summa. Cor. a. Et sic si modo ab alio puncto incipiamus: lex enim sere eadem erit, ut constat e praeced. Et tot assumi possunt ad libitum incognitae quantitates, quot sunt illae differentiae, quae ortum suum ducunt ante primam differentiam seriei praedictae a - b. a. Erit a - z d et . d' - z . - - . d ' -- - a Aaaa Ι -
603쪽
quarum radices sunt in arithmetica Progressione, ubi a & b sunt assisemativae quantitates; tum Praecedentes differentiae singulorum orditanum, qui sunt minoreS quam m, erunt minores quam ejusdem ordi nis subsequentes; e contra erunt maiores quam subsequentes in ordinibus qui proxime majores sunt quam m; & praecedentes differentiae primi. ordinis majores erunt quam subsequentes, si m negativa sit quantitas, vel minor quam Unitas. Sit m integer affirmativus numerus, tum erunt disserentiae ordinism inter se aequales. Haec principia etiam applicari Possunt ad Plures compositas quantitateS. 2.Invenire valorem quantitatis n, cum Praecedentes primae disserentiae evadant minores quam subsequentes, i. e. α' - n sa - - δ) -- n.
604쪽
majores vel minores quam secundae, &c. i. e. .nsa se b)' n.
quantitatis n, cum Praediistae quantitates evadant aequales; & id, quod requiritur, conficitur: & similiter resolvi potest hoc problema, cum dentur quantitates n & m; Vel n & ratio, quam habent quantitates a& b inter se, & requiritur prsedicta ratio, vel quantitas m.
- I. - . - a H- 3 b &c. ad finem seriei nihilo aequalis, si m minor sit quam & m & l sint integri affirmativi numeri; si verom erit praedicta quantitas se in I . 2.3. . S . . . I x b': signum aifixum erit -- si m sit par, sin aliter - . Haec enim quantitas erit prima disserentia fl) ordinis praedictarum quantitatum in arithmetica progressione, quae semper erit nihilo aequalis, cum I major sit quam m, & I & m sint integri numeri. Consimiles propositiones amrmari possunt de casibus, in quibus vela vel b vel utraeque sunt negativae quantitates, in utrisque prioribus casibus quantitates crescant usque ad infinitum, & deinde decrescant
Detur series ordinatarum intervallis quibuscunque ab se invicem di an tium, pergens vero ex und tantum parte in infinitum; invenire lineam pis rabolicam, quae transit per extremitates omnium.
Sint A, A i, A a, A 3, A &c. ordinatae insistentes abscissae in angulis rectis, sitque R punctum quodlibet in abscissa: & ponaturis in RA, b RA I, c RAa, d NA3, &e. Attamen designet T ordinatam quamvis in genere, cujus distantia a puncto E sit et:
605쪽
d - c e- c j - c&c. &c. &c. atque erit ordinata T - Α -- B κ z - a) - Cκ et: - a κ Σ - b)-- D κ z - a) κ z - b) κ α - cὶ - - Ε κ χ - a) κ z - b) κ z -cὶ κ set: - Q in &c. facile constabit hoc prob. e scribendo in data sequatione pro z in ordinata α - Α-- Γ ία - a doc. ejus successivos valores a, b, c, &C. r. . Hinc, si modo scribantur fluxiones radicum pro disterentiis ordinatarum; & pro earum intervallis fluxiones abscissae, investigari potest radix fluxionalis aequationis. P R O B. XXVI. Detur series ordinatarum utrinque excurrens in infinitum, invenire lineam parabolicam, quae transibit per extremitates omnium. I. Designet a ordinatam in medio omnium, sintque a 2, a 4, a 6, a 8, &c eae ex una parte; & aa, qa, 6 a, 8a, &e. ex altera, pergento progressione utrinque in infinitum. Collige earum disserentias primas 7B, SD, 3 B, a B, BI, B 3, B S, B I secundas 6b, 4b, 2b, b, ba, Λ , b 6 ; tertias SQ 3C, I C, C I, 23, CS; quarta. 6 Q ac, c, ca, e ιι & sic in reliquis, auferendo semper antecedentes de consequentihus ut in Prob. praec. Sint jam a, b, c, d, e,dce. Ordinata media & media disserentiae in ordinibus alternis respective; sintque 1 B & B 1, 1 C &C 1, 1 D & D i, &c. duae mediae differentiae in reliquis ordinibus, &ponantur B - IB - BI, C ICH CI, D in i D in Di, E iEH-Ei: sitque intervallum inter quamvis ordinatam me diam G ad intervallum commune aequid istantium ordinatarum ut 2 ad unitatem; eritque ordinata Tina
606쪽
ad binarium ; eritque T --- - -
607쪽
iacet. Hi quidem omnes casus e prob. praec. facile erui possunt. Hic vero animadvertendum est series ex his methodis deductas haud convergere, ni ordinata quaesita quam proxime exprimi possit per seriem in terminis abscisse ae hujusce formulte A -- Lx Cx -- D-- ω. designatam. Ex. Sit formula seriei κ sa - - bx cxη - dxi ex -- dcc. F, ubi et sit quaecunque data functio quantitatis x, & n sint incognitae coefiicientes a, b, c, d, e, &c. tum facile e datis n correspondentibus Valoribus quantitatum x Sc 3 per regulas prius traditas, si modo scri- γbatur v, acquiri possunt n) coessicientes a, b, c, d, &c. Et sede infinitis aliis. In casibus prius traditis praestat, si terminus vel ordinata quaesta
longe distet a terminis vel ordinatis datis, ita transformare datas Ordinatas, ut inveniantur aliae, quae haud longe distant a quaesita or
dinatu. Ex. a. Sit aequatio ax' -- bx cx' ' ρ &c j x -- g - - - μ
c, d, dcc. inveniri post uni e datis correspondentibus valoribus quantitatum κ&F, eadem methodo ac coefficientes aequationis ax'' 'H-b x c .... - , - Γ ; scribatur enim in priori aequation pro γλ' ejus valor υ, & resultat secunda.
608쪽
' ς P in Sc. - γ, ducatur haec tequatio in x in α)φ γ x - β) κ &c. & resultat sequatio, cujus resolutio si modo dentur α, β, γ, &c.) haud differt a praecedente. Cor. 3. Hinc per n puncta duci potest parabolico hyperbolica
curva eadem facilitate ac Parabolica curva Per eundem punctorum
tur resultabit praecedens aequatio υ - a x b x ead parabolicam cUrUam.
Invenire solidum algebraicum, per m Ia I data puncta transeat. RTumatur aeqUatio a --- c γ' - . . . in Bz-- Caa... Fz - γ, ubi x & Q sunt duae abscissae & F earum correspondens ordinata; ex datis m in n- I correspondentibus valoribus duarum
abscissarum & ordinatae erui possunt coessicientes a, b, c, &c. B, C, &e. Haec est maxime simplex formula, quam forsan recipere potest problema.
i. Sit P algebraica functio quantitatum X, y, Ζ, &c. generis,m incognitas quantitates invariabiles habet, es dentur m correspondentes functionis P U quantitatum X, y, g, &c. valoret; iuvenire in incognitas quantitares a, b, c, d, &c. feribantur in data sanctione P pro literis x, 7, &c. earum correspondentes valores respective & pro quantitatibus resultantibus P
609쪽
earum respectivi valores, & exorientur m sequationes totidem incognitas quantitates G, b, c, d, &c. habentes, e quibus inveniri possunt valores praedictarum quantitatum a, b, c, d, Scc. u. Si vero dentur duae vel plures quantitateS P, Q &c. quae sunt functiones quantitatum M 3, z, &c. & correspondentes valores quantitatum P, &c. x, F, z, &c. pro suis quantitatibus respective substituantur, & si exoriantur tot aequationes quot incognitae quantitates; tum ex iis deduci possunt incognitae quantitates quaesitae. Cor. a. Si aequationes exortae sint simplices, tum e simplicibus sequationibus facile constabunt incognitae quantitates quaesitae.
r. Invenire summam fractionum, quarum numeratores crescunt juxta progressonem feriei numerorum disierentiam consantem habentium, vel quarum ultimae dimerentiis ejusdem ordinis fere sint inter se in ratione aequalitatis, quarumYue denominia ores consituant progressonem quamlibet geometri Q. Sint I : I -x commUnis denominatorum ratio, etiamque d d d &c. differentiae primae, secundae, tertiae, &c. numeratorum datae seriei AH- BxH-Cx --Dx3- -&c. & erit per theor. Praec. quique terminus,
610쪽
In hac summa inventa ponatur x in & evadet series data A
Haec facile constant ex hac Propositione, nempe I -x) ρ - I -b.
a. Si vero requiratur summa n primorum terminorum seriei A -Φ- Bx Cxφ - Dx3 - &c. inveniatur summa seriei in in-
qua subtrahatur summa seriei, cujus distantia a primo sit n, in infinitum progrediens, i. e. sit et ' terminus seriei oriundus post n numerum terminorum, sit praeterea Π prima primarum differentiarum exurgentium post terminum me', D' prima secundarum, D' prima tertiarum, &c. tum erit series incipiens a termino et ' atque in