장음표시 사용
561쪽
tum ex ea acquiri potest summa cujuscunque seriei, cujus generalis
zz in a. 2 et in vi I .az in uina . . et Q H o--I -i 'ubi a denotat distantiam a primo seriei termino & m dc I sunt integri
G H- &c. - Σ', &c. deduci potest summa cujus iique seriei, quae habet generalem terminum, cujus numerator est a z ' e in &c. in x - , ubi m est: integer numerus & et distantia a primo
Quam Plurimae series deduci postlint ex dividendo alteram quantitatem per alteram & mutando terminos denominatoris continuo.
562쪽
Ex. I. sit fractio 7; assumantur diversi denominatores I Φ r
563쪽
ubi A, B, C, . . L denotant praecedentes terminos & h designat distantiam a primo seriei termino. sHie continuo adjicitur ad primum terminum denominatoris pars residui: in primo exemplo Haec methodus generaliter reddi potest ex asiumendo diversos va
iores pro quantitatibus vel diversas quantitates ad primum terminum adiungendas ad singulas divisiones: etiamque ex assumendo
plures terminos continuo & in numeratore & denominatore contentos.
Eadem principia etiam ad extractiones radicum applicari possunt,& ex hac complexa methodo dividendi & radices extrahendi quamplurimae infinitae series deduci possunt, quarum summae innotescunt. P R O B. X. Ex distis quibusdam seriebus alias invenire, quarum summae innotescunt.1. E datis seriebus inveniatur earum quaecunque functio, quae sit convergens series; & invenitur series, cujus summa e datis seriebus ladata functione facile deduci potest. a. a. E datis seriebus, quae haud sunt summabiles saepe deduci possunt series, quae sunt summabiles: inveniatur enim talis functio e singulis seriebus, ut sint summabiles, i. e. evanescant e summis serierum resultantium summae serierum, quae haud sunt summabiles. Ex. i. Sit υ - & consequenter V m x x -- lx3 x &c. ducatur haec aequatio in x x, Sc resultat sequatio v x x - x' ' x. Ix- x l 'Τx - - &c. inveniatur fluens ex utraque aequationia
564쪽
Sit n impar numerus, tunc ex aequatione -- - ' o PO- terit deduci x --I, adeoque series infinita
tot terminos continuatae quot sunt unitates in nin I; quapropter si n sit numerus impar e summa praecedentium serierum emerget nova series
&c. aequalis seriei finitae -κ s --- H -- ' &c.) ad tot terminos continuatae quot sunt unitates in .n-S a ex earundem serierum differentia emerget altera series infinita
565쪽
utraque aequationia parte, & resultat ih ' --
a . n - 3 . u in au - 3. n - . n - is in ueri in lixo series fiat finita necesse est nihilo evadere aequales tres terminos
--- l in quibus invenitur quantitas logarithmica o. n I . In in I Et sic ducatur haec aequatio resultans in Ux, tum inveniatur fluens ex utraque sequationis parte; & deinde ducatur aequatio resultans in la inveniatur fluens ex utraque aequationis parte; de sic deinceps; & novae continuo oriuntur. seriec quarum summae inveniuntur.
566쪽
a. sit z - & exinde an a: - άx3 ix - H ---εcc. ducatur haec aequatio in x x, & inveniatur fluens ex utraque aequationis parte: I '. sit integer numerus, bc erit lamma
aequalis summae infinitae seriei - - - - n a 3 . n S . n-- 6' ς' Jam si fuerit numerus par, ultimus terminus a afficietur signo negativo; sin fuerit - numerus impar, ultimus terminus signo affirmativo afficietur.
Cor. . Sit -- numerus par. & si modo fiat M' E --οi. e. termini, qui haud inveniri possunt, nihilo aequales; tum erit x - αα I & exinde deduci possunt series, quae exprimuntur finitis terminis. 3 aqq. Sit n Par numerus, & assiimantur fluentes, erit
i in xyὶ , ubi primus & ultimus terminus semper servatur, & tot intermedii quot unitates in in. Eodem processu repetito plurium detegentur serierum summae, &c. Et sic deincePS. . Sit series assumpta π U I x ' - &c. v, ubi υ --- ducatur utraque sequationis Pars in X, di .equationis resul
567쪽
tantis inveniatur fluens, & exinde resultabit finitae seriei summa
Eodem processu repetito plures detegentur series.
s. In genere sit series assumpta v in x rix in
potest fluens fluxionis v x x per finitos terminos, M. ergo Invenitur
continuo repetita hac operatione plures sequuntur series summabiles. 6. Sit si actio fit ita
568쪽
in infinitum; sint α, β, γ, λ &c. radices aequa
volvant correspondentes impossibiles radices, tum reducendae sunt ad
unam fractionem Ei g. j. ES evanescent impossibiles
am is i , , - ας ) η x inveniri posse in finitis terminis, circula
ribus arcubus & logarithmis; in his duobus casibus fiant partes, quae involvunt circulares arcus & logarithmos, nihilo respective aequales;& exinde erui possunt casus, in quibus series, si modo unquam, evadet finita quantitas; ergo summa inventa finitae seriei aequalis erit summou. infinitae seriei, i. e. fluenti fluxionis x x A x Be Cx
Z in α. Z in P. Z - γ. Z δ.&c. 7 primit singulos datae seriei terminos, tibi et denotat di antiam termini a primo, i ,rin -o A, B, C, D, &c., α, β, γ, δ, dcc. b, do si quantitates,m integravi numerum, revective denotant; invenire summam datae seriei.
569쪽
πα &c. ducatur haec sequatio in - . & resultat aequatio
570쪽
set Iergo summa seriei cujus termini semper sint A κ
--- f ; la sic deinceps. Cor. Si omnes differentiae α - β, α - γ, β - γ; α - δ, β - λν - δ, &c. ssint integri numeri, tum fluentes omnium fluxionumta ,, - ,, - ό, &c. a se inVicem pendent & deduci possunt:& consequenter summae omnium serierum, quarum generalis termi
per divisionem, &c. deduci possunt. Cor. a. Si vero omnes reliqui indices γ, λ &c. a duobus α & β distent per integros numeros, tum summae serierum inveniri possunt a
fluentibus fluxionum .; & sic deinceps. Exhinc facile deduci possunt casus particulares, in quibus prardictae series sequant finitas quantitates. Cor. Hinc ex finitis terminis, circularibus arcubus & logarithmis deduci possunt summae omnium serierum, quarum lcimini sint pra dicti, ni duo α & si vel tres vel plures valores incognitarum quantita tum α, β, γ, Sc. sint inter se aequales, nam in isto casu α-β in o & consequenter ejus reciproca evadit infinita: minime refert, annon
possibiles vel impossibiles sint ptaedictae radice. α, β, γ, δ, &c.