장음표시 사용
581쪽
, is in b,' 3 ς unde si r sit integer numerus praedictis excepti.) summa hujusce seriei in finitis terminis ex primi potest. Et per transformationes prius traditas plures series erui possunt. a. Ex fluentibus fluxionum, quae exprimi possunt ex finitis terminis, circularibus, hyperbolicis & ellipticis arcubus, logarithmis &fluentibus datarum fluxionum, inveniri possunt series, quarum summae per praedictas fluentes exprimi Possunt. Series inveniri possunt ex reducendo datas fluxiones ad infinitas series la earum fluentes inveniendo, ut in priori casu docetur. Ex. Sit fluxio sa -- θα in i κ x ''ἰ x, Ubi r est integer numerus vel aifirmativus vel negativuS, cujus fluens per seriem sic exprimi.
Et similiter reducenda est fluens ad seriem secundum reciprocas dimensiones quantitatis Q progredientem. Ex. Sit Oxio sa - γ reducatur haec quantitas ad terminos secundum dimensiones quantitatis x' vel ejus reciprocas progrediente. 6c resultabit series, cujus summa per ellipticos, hyperbolicos, arcus, &c. innotescit. Eadem principia etiam ad fluentes omnium fluxionum applicari possunt. Ex. Assumatur fluxio sa -- bxφὶ ἱψ κ x x, ubi literae m& r integi Os denotant numeros vel assirmativos vel negativos, cujus fluens per alge dicam semet nem circularium arcuum, togarithinorum S finia
582쪽
sinitorum terminorum exprimi potest; reducatur fluxio ad infinitam seriem, & inveniatur ejus fluens, quae erit an ' ω ..
&c.; P, R, &c. denotant coessicientes praecedentium terminorum& I est integer affirmativus IaiamCTIS.Cor. Hinc innotescit summa seriei al-I .
&c., Q,Je, &c praedecentes coefficientes denotant. Ducantur termini hujusce seriei in funetionem e --j - - zz Ihna -- &c. quantitatis z distantiae a Primo seriei termino i e duentur primus terminus in i', secundus in e fing B-ωc., tertius in
ρ -- g 8, -&c., quartus in ι -3s 9 g a I & sic deinceps; & resultat series, cujus summa innotescit: vel ducantur termi ni successivi datae seriei in terminos -- κ' , - κ ' ἡ *'
583쪽
amini γ i A in &c. , ubi A, &c. praecedentes csessi cientes denotat, & principiis prius traditis erui possunt aliae series,
β - α, β - α, β' - α', β' - α', &c. per n divisis integri sunt assis malivi numeri & literae B, C, D, &c. praecedentes coessicientes respective denotant. P R O B. XV. E. vi conUergente serie, vel eris cujus termini ultimo nihilo fiunt ae7υain, 6' cujus termini secundum dimensones quantita is X progrediuntur, viz. ax -.b ae '' -- c x' - -- d κΤΘ' -- &c.) ita ut ad infinitam di antiam dimensones evadant insuite magns vel negativa vel o mativis, Geujus summa S) datur, s modo seriei st couvergens; in nitas alias cons- miles detegere. Ducatur data series in quotcunque quantitates hujusce generis x x; fluxionum resultantium inveniantur fluentes, viz. f. SA'x; &sie ducantur series resultantes in quantitates hujusce formulad x x,& in-
584쪽
& inveniantur fluxionum resultantium xβ x s. S x x fluentes,& sit series data sit convergens, tum a fortiori series resultans etiam erit convergens; & sic deinceps: deinde ducatur data series inquantitates hujusce formulae x , & inveniantur fluxiones quantitatum resultantium, dividantur hae fluxiones per x, & resultant novae series,
quarum summae erunt S si modo hae resultantes
series convergant. Hae resultanteS series in Plerisque casibus convergent, si modo data series convergat. Et sic de fluxionibus novarum serierum, &c. Usque donec hae series evadant tales, ut termini ad in finitam distantiam haud nihilo fiant aequales, tum ex omnibus his seriebus per prob. praeced. inveniri possunt series, quarum sumi e in
Et silc e datis quibuscunque seriebus praedicti generis, facile deduci possunt infinitae aliae per methodos in Prob. Priec . traditaS, quarum summae innotescunt; vel ex multiplicando datas series in quascunque quantitates, ita ut resultent series quarum fluxiones vel fluentes vel integrales vel incrementa producant convergentes series. Et vice versa ex principiis prius traditis investigari potest , utrum summa datae seriei e summis quarumque serierum datis investi rat i
i. a. a. ι 6 ς sic de consin bH. e praecedentibus prin cipiis deducendis. Ducatur data sequatio in a bx cx' -- dx3 - &c. - Ο & re
585쪽
μ &c. ducatur aequatio in x, 6z inveniatur ejus fluens, &
a. a. 3. . S I. a. 3. . S. 6. 71. a. 3. 4. S. 6, 7 8.9
Ducantur successivi termini hujusce seriei respective in quamcunque algebraicam & integralem functionem quantitatis et distantiae a primo seriei termino. E. g. Ducantur termini respective in terminos
tum resultabit series, cujus summa e praedicta fluente deduci potest: si ex termino ad distantiam l) a primo incipiat series, cujus termini facile exprimi possunt per functionem vel algebraicam vel fluxionalem vel incrementialem distantiae a primo seriei termino; e medit. algebr. deduci potest summa e singulis alternis, & terminis seriei ad si)distantiam a se positis. Ex his facile deduci possunt infinitae aliae, &c. P R Ο B. XVI. Datis seriebus formularum, quae haud per algebraicas vel xionales vel incrementiales aequationes exprimi possunt ; iuvenire, annon earum summae itis terminis exprimi possunt. Ruperatur, annon potest esse series continuo ad nihil vergens & ultimo ad id accedens, quae datae seriei fiat aequalis; si modo series inventa ablatis quibusdam ejus terminis auferatur a se, & sic deincepβ; vel quod magis generale erit, quae datae seriei per quasdam quantita
586쪽
tes aucta' vel diminutae aequalis erit, si modo series praedicti generis ducatur in quantitatem investigandam nihilo aequalem. Ex. I. Sit series, ῖ '' ' I 3 φ ... su in i) - i
seriei datae quaesita erit -- H- A ... -
Ex observata lege quam habent termini datae seriei Plerumque facile erui potest: series quaesita. P R O B. XVII. I. Invenire, annon datae seriei summa e pluribus aliis datis Usisseis ferietas in figuri potes. In vestigetur, an non data series sit quaecunque directa lanctio serie rum datarum & finitarum quantitatum, dc perficitur problema. a. Data particulari fluente, infinitae sunt diversae nuXionales aequa iiones, quarum ea est resolutio, & quarum diVersae sunt generales re solutiones; etiamque hoc Verum Crit in seriebus, quae particulares ' V y y fluentes
587쪽
ficentes respective denotant; quamvis sorsan vulgaris methodus unam
solummodo deducat. Ex. a. Sit F T I . a zy -- I et . 3 z3 -- &c. series, quae semper
una aequatio, cuius particularis resolutio est praedicta series; hujusce fluxionalis sequationis innotescit generalis resolutio: inveniatur igitur generalis resolutio, & ita corrigatur ut fiat praedicta particularis resolutio P - ο), deinde quantitati P addatur quaecunque functio et quantitatum γ & z, quae nihilo evadat aequalis, cum P - o, tum erit P in o aequatio, cujus particularis resolutio erit data series 3 &C. Aliter: astu matur data sequatio F - 2 in I. az &c. aucta vel diminuta per quascunque sunctiones quantitatum a Sc F ductas in directas potestates noupe invariabilis quantitatis A ad libitum assumendar deinde inveniatur per methodum prius traditam fluxionalis aequatio,
cujus sequatio asiumpta sit generalis fluens, & erit fluxionalis aequae. tio quaesita. Ρ R O B. XVIII. Invenire in itas series, quae snt generales resolutiones qui sitarum
xionalium aequationum. Assumantur quantitates tot invariabiles quantitates ad libitum amsumendas involventes, quot sit ordo fluxionalis aequationis quaesitae,
quae facile reduci positant ad infinitas series; harum quantitatum inveniantur fluxionales aequatione , quarum generales sint fluentes, &perficitur prob. PROB.
588쪽
PROB. XIX. Invenire, quando termini datae seriei stant maximi. Inveniantur, quando proximi termini datae seriei stant aequales, G exinde constabit,
quando fiant maximi; unde fiant maximi, cum feries nec convergat nee divergat; vel quod idem es, cum xio termini nihilo sit inquatis. a. Invenire punctum inflexus in data serie, cujus termini vel re lationes inter terminos dantur.
Assumantur tres termini in genere successivi Q, R & S, supponan tur R - R - S, & exinde detegentur quantitates R & S, &invenitur punctum inflexus quam proxime; & idem deduci potest e
principiis fluxionum prius traditis. Et sic de inveniundis punctis vel terminis, in quibus consistat quaecunque data relatio: assumantur enim in genere termini datam habentes inter se relationem, & ex aequationibus resultantibus facile constabit resolutio. PROB. XX.
Invenire fumwabios feries. Assumatur quaecunque quantitas Pro summa, & reducatur ea ad seriem, cujus termini secundum quamcunque legem Progrediuntur,
ita autem ut series resultans converget, & perficitur prob. vel quod ad idem redit: sit quaecunque finita quantitas vel rationalis vel irratio natis, cujus inveniatur proximus valor; deinde disterentiae inter hune valorem & datam quantitatem inveniatur valor prope, do sic deinceps in infinitum, & resultabit convergens series.
589쪽
Facile demonstrari possint haec theoremata e reductione fractionum ad communes denominator S.Cor. . Ex assumptis diversis seriebus numerorum pro quantitatiubus a, b, c, d, e,in, &c. facile consequentur series, quarum innotescunt summae. Ex. a. Sit series I -- θ b c - b c d --lc de -- b c d -- &c. cujus termini continuo decrescunt, & ultimo nihilo aequales fiunt, &
590쪽
a ab a b c a 2 b e dfractiones novae ultimo sint minores quam UnitaS, i. e. o I
ubi ir, a &c. sunt quantitates minores quam β, γ, λ ε, &c. Si modo addantur quantitates, q ad continuo decrescant in uno termino, & detrahantur in successavis, vel prope; tum resultabit series cujus summa innotescit ; laaec principia continent methodum series deducendi ,. quarum summae innotescunt. Haec principia etiam applicari possunt ad inveniendas series convergentζs, quarum summae sitiat quaecunque irrationales quantitatesu sed
perraro usui m serviunt consimiles transformationes, I '. enim neceiseest, ut detur methodus inveniendi quantitates V, b, c, d, &c; α, β, γ,&c. e datis seriei terminis, aliter non datur seriei transformatio ; i. e. non ex data serie acquiritur series convergen S. 2. Data serie convergente, inveniatur ejus functio vel algebraica vel fluxionalis vel fluentialis vel incrementialis vel integralis e Principiis prius traditis, quae evadit convergens, & Perficitur Prob.
P R O B. XXI. Invenire summas serierum, quarum sit uti termini dantur ex in nitis feriasus.1. Si vero dentur termini ex infinitis seriebus: per infinitas series inveniantur vel summae harum infinitarum serierum, vel approximationes satis propinquae ad illas summas; quibus in terminis seriei, cujus summa requiritur, pro suis valoribus substitutis, resultat series, cujus summa inveniatur prope, & erit summa quaesita prope. Tum continuo Per methodos prius traditas corrigendae sunt an proximationes inventae, & exinde corrigetur summa seriei quaesita, Sosic deincepS. z. Si