장음표시 사용
611쪽
612쪽
In quibusdam casibus series sic transformatae magis celeriter convergant, in aliis vero minime. E. g. I. Si data series constet e terminis in geometrica progressione, vi g. sit series a -- a*x .l- au' - έ xi - &c. tum erit series hoc modo derivata - Π citae in
Rae &c. ubi P, &c. Praecedentes terminos respective denotant, unde constat seriem deriVatam etiam esse geometricam seriem, cujus communis ratio est I T A M. Si haec ratio malor sit quam I : et v, tum magis celeriter converget series resultans quam data, sua aliter vero non. a. Si termini ad infinitam distantiam constituti magis celeriter convergant quam geometrica series, tum series derivata nunquam converget in majore ratione quam series e terminis in geometrica progressione constan S; forsan VPro in minore ratione, & forsan etiam diverget. E. g. Si I- π major sit quam x, tum semper
series praedicta c. evadet ultimo in geometrica pro
gressione; si minor sit, semPer divergCD si vero I - x - x, tum vel diverget vel converget in ratione minori quam quaecunque series constans e terminis in geometrica progressione. 3. Si termini ad inunitam distantiam constituti evadant Prope in r4tione Gqualitatis; tum, si I -- x major sit quam x, serie. Vel CORVerget in ratione seriei, cujus termini sint in geometrica progressione, vel in majore; siin aliter series resultantes vel possunt esse convergentes in ratione Praedicta geometrica, vel in majore, vel in minore, Vel divergente. ; sed Plerumque si modo constent ex algebraicis functionibus distantiae a primo seriei ter mino, & data series sit convergens, resultana etiam erit convergens. a. Erit 1 -- bx -- byx -- byxῖ - - θω 'l' Sc i P ἡ
613쪽
. Infinitae series haud nunquam reduci possimi ad diversas geome tricas series, ita ut termini successivi magis celeriter convergant. E terminis seriei datM, qui maximi sint ad infinitam distantiam facile erui potest prima geometrica series; subtrahatur haec series de data infinita serie, & e terminis resultantis seriei, qui maximi sint ad infinitam distantiam, inveniatur secunda geometrica series; subtrali tur haec series de serie prius resultante, & per methodum praecedentem continuo repetitam progrediendum est. Si vero series per hanc methodum inventae haud celeriter convergant, transformetur ea in seriem quantitatum hujusce formulaea H lx ' . cx .
vel infinitarum aliarum formularum; vel in seriem ediversis seriebus, vel quantitatibus, vel rationalibus, vel irrationalibus
Utcunque in sese ductis, &c. ita vero ut serieS resultans maxime celeriter convergat. E. g.
H --&c. Vel quaecunque alia series constans e terminis vel rationalibus vel irrationalibus ; si modo hae series fiant aequales datae seriei, quicunque sit valor quantitatis x, & convergant.
das cujuscunque aliae formulae vel rationalis vel irrationalis vel ascen-D C Ddentis vel descendentis. E. g. Sit series datae. - - -Φ' ', 'Φ-
614쪽
tis correspondentibus hujus 6c datae sequationis terminis resultanta in A, p - b C- apy, c D- aρ - abs, & sic deinceps. REGULA. r. In summatione serierum simul addantur plures primi termini,& ex ultima ratione terminorum ad infinitam distantiam inveniatur prima approximatio Aὶ ad summam e reliquis terminis; deinde inveniatur terminus t , cujus summa est A, etiamque differentia sD)inter hunc terminum & ejus correspondentem datae seriei terminum ;ex ultima ratione differentiae D inveniatur Prima approximatio B)ad summam, cujus terminus est v, & erit araa B propior approximatio ad summam datae seriei quaesitam; & sic ex operatione continuo repetita resultabunt noVae approximationes ad summam datae seriei
quaesitam magis magisque appropinquantes. I. a. Inveniatur e quacunque methodo quantitas a summa haud longe distans ; deinde inveniatur differentia inter terminos hujusce &datae seriei; lo seriei, cujus terminus est differentia praedicta, inve niatur proxime summa; hujusce quantitatis terminorum & diise rentiae praedictae inveniatur differentia; deinde inveniatur quantita, haud longe distans e summa seriei, cujus terminus est ea differentia.& sic deinceps; & ultimo ad summam seriei accedere liceat.
Ex. I. Sit termInus generali ubi αsit distantia a primo seriei termino, m minor sit quam n per quantitatem majorem quam I; i. e. series sit convergens: addantur plurimi
615쪽
primi termini, ita quidem ut ς multo major fiat quam quaecunque radix uel possibilis vel impossibilis aequationum E
generalis termini ad infinitam distantiam erit - ααα & conse.
quenter prima approximatio A ad summam datae seriei erit f. -
z κίzini) κίz-a . . et 1 - 1) ubi r est quicunque integer numerus, & per methodum prius datam erui Possunt successivae approximationes. a. Et sic detegi possunt approximationes ad summam datae seriei, cuius lex eXPrimitur per quamcunque irrationalem functionem quantitatis
616쪽
titatis z; etiamque constat numerus terminorum, qui primo simul addendi sunt: e. g. sit generalis terminus -; tum summa totidem primorum terminorum inveniatur, ut et evadat major quam ulla radiX aequationis uer o Vel ρ - ο; quo magis quantitas sa) exsuperat omnes praedictas radices, eo magis converget series Per hanc methodum resultans, quamvis non in eadem ratione: Vel haec summa e notis regulis investigari potest, irrationalis functio reducatur ad seriem ter minorum progredientium secundum legem, cujus deduci possunt ad respectivos terminos continuae approximationes; & sic deinceps.
etiamque quantitate, quae est talis functio quantitatis et distantiae a primo datae seriei termino, ut reducatur ad seriem subsequentis formulae a z bH c et ' -- &c. tum summa seriei erit a A b B- cC &c. Ex principiis in hoc problemata traditis erui potest lex, quam observat convergentia datae seriei ex hac methodo derivator. Ex. a. Sit series, cujus termini Ultimo sint prope iri geometrica progressione, tum inveniatur summa istius geometricae seriei; deinde eruatur terminus geometricae seriei, subtrahatur hic terminus ab ejus correspondente datae seriei termino, & deinde Per eandem methodum inveniatur approximatio ad summam seriei, cujus terminus est resul tans disserentia; & sic continuo repetita operatione tandem exorietur summa quaesita.
617쪽
Substituantur pro Q y ; o , Ut, &c. earum respective valores, &facile constat exemPlum. Ex assumptis diversis denominatoribus facile diversis modis dividi potest data infinita series in infinitas series geometricas. a. Sit series a - lx ex* - dx3 -&c. & erit summa quaesita
Et sic multiplicetur vel dividatur data series vel per I-x vel IH-x vel Ppr quamcunque aliam quantitatem; & exorientur novae series, quarum summae vel per hanc, vel per alias methodos traditas, forsan innotescent, . Ex. . Sit generalis terminus seriei, cujus summa requiritur, se
618쪽
pro approximatione ad summam seriei quaesitam; si vero haec sit summa seriei, tum ejus terminus erit
hatur hic terminus de termino A ', & resultat g
proximatio ad summam seriei erit - κ
& sic deinceps. Cor. . Hinc deduci potest summa cujuscunque seriei hujusce generis, i. e. cujus terminus generalis sit functio algebraica quantitatis et in r'; reduci enim potest algebraica functio si haud per alias notas methodos detegi possit summa quaesita) ad terminos secundum reciprocas dimensiones quantitatis et ProgredienteS, & deinde per methodum hic traditam deduci potest summa seriei quaesita. Cor. . Approximatio hujuscemodi seriei sic inventa pendet e ratione prius prolata, etiamque e ratione quam habet I - r : r. Et sic inveniri potest aggregatum e pluribus hujuscemodi seciebus, i. e. pluribus seriebus, quarum termini ultimo sint in geometrica progressione. Haec principia etiam applicari possunt ad series, quarum termini involvunt functionem quantitatis a continuo crescentem; sed hae se ries, cum et sit permagna quantitas, sine ulla transformatione celer
a. Summa seriei, cujus generalis terminus datur, etiam detegi potest ex reducendo datum terminum ad seriem secundum dimensiones quantitatis a distantiae a primo termino progredientem; deinde ex ' C c c c astu -
619쪽
assumendo seriem formulN priu3 traditae pro ejus integrali, id ejus
incrementum deducendo, & seriei generalem terminum exprimenti aequale reddendo. Ex. r. Sit generalis terminus 2'; assii matur pro ejus integrali
Si n sit negativus numerus, tum pro n scribatur - n in praecedente serie, & resultat series quaesita. Ex. 2. Invenire summam logarithmorum, quorum numeri sunt c,-n, a -2u, . . . n-n; hujusce summae decrementum sit log.z-n, quod
inveniatur log. z-ξ - &c.: pro integrali hujuscen d e
620쪽
et ' -&c.; fiant correspondentes hujusce & dati incrementi termini inter se aequales, & resultant An I, unde A - -; An - - , ni &
dictos valores α & β posita, converget data series: si vero α & β vel α vel β habeat perparvam rationem ad quantitatem π; tum vel inveniatur series secundum dimenssiones quantitatis z ascendens, vel in terpolentur plures series inter Valores α oc β quantitatis z praedictos. Cor. Interpolare quantitates inter successivos terminos contentist . ι . . z; inveniatur ejus log. qui erit l. I l. 2 I. 3 . . huiusce seriei inveniatur summa pro dato Valore quantitatis E & i venitur log. quantitatis quMsitae; e dato togarithmo invenia i r numerus ei correspondens, & perficitur problema. Haec principia etiam applicari possunt ad quam Plurima conisulia
a. Sit aequatio data relationem inter successivos seriei datae termi nos&fὶ exprimens, & facile per methodos infinitarum serierum ui ius datas deduci potest series, quae exprimit summam datae seriei e reiiciantur ex data vel datis aequationibus Omnes termini, qui perparvi sint respectu habito ad reliquos, Sc ex aequatione vel sequatio-V V C c c c a Dibu