장음표시 사용
631쪽
ordinata Pu ab AF ad BE, ob et M I, & exinde area B in disser. inter ordinatas B E & AF, C differen. inter fluxiones praedictarum ordinatarum, D - differen . inter earum tertias fluxiones. &c. st ibantur με,&c. igitur pro BE - AF, BE -AR DE AR
fluat uniformiter basis, & denotent literae A, C, E, &c. areas superhasim Rra respectivis ordinatis ii, &c. generatas: supponatur
- M. a - - &c. ita reducantur hae aequationes, ut exterminentur a&e. & constabit. prop.
Lex hujusce seriei sic enuntiari potest; sint 2 - ά l
632쪽
areae C, E, &c. sunt respective fluentes fluxionum γ χ, ya, &c. si respectivae differentiae fluxionum Primi, tertii, quinti, &c. ordinis ordinatarum rv dc R V exprimantur Per β, λΤ, θ, &c. tum erit a 2
633쪽
D E SU M MAT IO NE&c. & sic colligi potest
Cor. . Si termini seriei sint alternatim assirmativi de negativi, in priori casu per theor. erit summa assirmatiVOrum zzz - - οῦ ae si 8e δ . ἡ . A eβ
dic. sed quoniam circumferentia circuli sc) cujus radius est unitas, sit c 8. I. . T. si.&c, quae series ita scribi potest e - κ -
634쪽
Haec applicari positant ad inveniendas summas logarithinorum quantitatum in arithmetica progressione. I. Sit 3 χ - κ - κ -- κ κ &c. cuius ultimus valor sit p, &
r quicunque numerus in Progressione 3, 7, II, IS, &c. & Nnum rus, cujus logarithmus est &c. tum erit p
a. Et ex his Principiis deduci potest unicam medii termini ad summam unicarum binomii esse ut ἰοῦ λ Prope, ubi N sit
&e. & r sit potestas binomii cum sit par vel rin I sit potestas, cum sit impar. s. Supponatur basis A a dividi in aequales Partes, & sit area A a ' summa extremarum ordinatarum AF A, de summa om nium intermediarum BE- -F- &c. B, basis Aa R, & ea demouantitates ut antea per ῆ λ Τ, &c. denotentur; tum erit area AB a
supponatur n a, unde tres solummodo erunt ordinatae & Γ media ' E e e e ordinata,
635쪽
secundae & quartae, C vero media Ordinata; erit area A a rati
SR J lce. ex his duabus aequationibus extermine-g N I 6 κ 16 κ 3oa oius λ & constabit area qu sit ' . . - λet. Ex his principiis etiam interpolari Ponunt series. bini PNEsgura, cuius successivae ordinatae ad puncta A, B, C, D, &c. sempersint aequales successivis summis ordinatarum figurae mri 1. e. AF
636쪽
cessive in locos ordinatarum figurae FNz ad puncta A, B, C, D, &c. movere, & exinde ejus successivos valores per theor. inveniri: si vero exterminanda est area supponatur A P - m, & quoniam
Sumantur AR & Pr in oppositis directionibus respective - οῦ ABRV&ro occurrant FM in V& m; sit darea RVor, & β. Zi &d differentiae; quibus prima, tertia, quinta, &c. fluxiones ordinatae ro superant respectivas fluxiones quantitatis R V, ω AB e ut prius ;
ordinata data omnes aliae ordinatae figurae FNQ, quarum distantiae ab ea PM sit n κ AB, ubi n esst integer numerus, facile deduci possunt vel addendo vel subtrahendo intermedias ordinatas figurae FI Cor. 1. Sint I x de T Ax primariae ordinatae figurie F adiacentes ad ordinatam intermediam PN; biseca T T in & occurrat ordinata
637쪽
Cor. z. Iisdem figuris FVΠ F Vs manentibus, sit basia Ff
Cor. . Cum termini progrediantur sine fine, & eorum secundar dis serentiae decrescant, ita ut ultimo evanescant; sit S ultimus valor pri-
638쪽
tenti ' κ κ f κ ' κ ... u -- ij in log. lc consequenter terminus ipse aequalis erit dimidio radicis, quae potest quadratum semicircumferentiae circuli, cujus radius est 1. Hic ultimo pauca adjicienda sunt de convergentia serierum in hac
methodo aeque ac Praecedentibus deductarum.1. Si ordinata curvae, cUjus fluens requiritur, in infinitum progre
diatur, forsan ejus area sit finita; i. e. fluens sit sinita, quamvis ejus fluxio sit infinita; tum nunquam series pro area, in qua continetur praedicta infinita ordinata, converget; ni area, i. e. fluens terminet ad ordinatam vel fluxionem, quae est infinita. a. Si ordinata haud sit infinita, sed ejus fluxio cujuscunque ordinis sit infinita; tum haec series haud ultimo converget, ni ab ordinata, cujus fluxio est infinita, terminetur.3. Si fluxio areae vel fluentis cujuscunque ordinis evadat nihilo aequalis; tum haec series pro area, in qua continetur praedicta fluxionihilo aequalis, nunquam converget; ni area terminetur ad ordinatam, in qua invenitur praedicta fluxio nihilo sequalis. Constante praeceden. . Eo magis ceteris paribus conVerget series resultans, quo magis distant termini datae seriei a Praedictis punctis; & quo plures proprie interponantur termini, eo magis saltem in ratione numeri terminorum interpolandorum converget series.s. Si valores quantitatis x longe distent ab omni radice sequatio
num resultantium ex supponendo generales terminos, lac. tum. series 3 proprie per seriem hujusce formulae a -- b x in cx &c. ex hiberi potest, sin aliter non: sunt casus, cum X sit Perparva, In quibus I per seriem a -- b cx' - - &c. vel ax' - - bx ' c x '' in &c.,&c., designari potest; cum autem x sit permagna quantitas, sunt ca sus, in quibus γ per seriem a -- bx ' -- cx ' -- dx ' -l- &c., vel per
&e., designari potest; & ad hos casus consimilia iis, quae in hoc pro hiemate ad seriem a se bx in cX b c. dantur, etiam applicari
639쪽
sic enuntiari potest, sit e - Ο &c. dc erit
M- - α -- - β in γ) υ &c. unde facile constabit lex seriei
a. a. 3 I. a quaesita. Cor. . Hinc ex data incrementiali sequatione reIationem inter e,t, i, &c. α 5c z exprimente deduci potest infinita fluxionalis sequatio:
scribantur enim pro t, , , &e. in data aequatione earum valores, &resultat sequatio quaesita. T H E O R. XXVLEx reversione praedictarum serierum inveniri possunt v - t - e t -- - &c. ρ - t - t - &c. v t -
Cor. . Scribantur hae quantitates in data fluxionali aequatione pro suis valoribus υ, υ, υ, &c. & resultat infinita incrementialis aequatio. Series distingui possunt in diversos ordines; prout quantitates, quae exprimunt earum terminos, continent unam, duas, tres vel plures independentes la variabiles quantitates x, I, z, Γ, &c. E. g. Ea serieS, cujua termini exprimi possunt per quantitatem, in qua solummodo continetur una variabilis quantitas, dici potest series primi ordini ;ea, quae continet duas variabiles quantitates, dici potest series secundi
640쪽
P R O B. XXXI. I. Concessa omnium serierum primi ordinis summas generaliter inveniendi methodo; invenire summam cujuscunque seriei A) secundi, tertii,
Uc. ordinis. Assumantur omnes variabiles quantitates se, et, &e.) praeter unam x in data quantitate, quae exprimit seriei terminos tanquam in variabiles; & exinde e concessa methodo inveniatur seriei resultantis summa, deinde in summa resultante assumantur quantitas x & omnes reliquae praeter I tanquam invariabiles, & e praedicta concessa methodo inveniatur seriei resultantis summa ; & sic progrediendum est usque donec omnes invariabiles & independentes quantitates x, Ψ, Σ, &c.) sejunctim tanquam Variabiles assumptae fuerint, i. e. toties inveniantur summae resultantium serierum, quot variabiles & inde- pondentes quantitates x, γ, z, v, dcc.) in data serie A contineantur ;ultima summa resultans vere correcta erit summa quaesita. Ex. I. Sint et & U quicunque integri numeri I, 2, 3, 4, 3, &e. & sit data quantitas A, in cujus formula continentur omnes termini seriei, cujus summa requiritur, κ κ&c. ubi z- I Sc U I, 2, 3,&c. 5cc. ubi et M 2 dc U I, 2, 3,&c. dic. ubi et M 3 & U I, 2, 3,
ubi si & v crescunt per unitatem. Assumo a tanquam invariabilem quantitatem, pro qua scribaturis. & seriei, cujus termini exprimuntur per quantitatem resultantem