장음표시 사용
641쪽
B κ in hac summa pro α scribatur ejus
prior valor z, S sult x sum ' E ij; nunς assumo v invariabilem, pro qua scribatur β; z vero variabilem, &evadet summa Bὶ - κ- inveniatur summa seriei,
& resultat summa qVNi x' 2 22 U) 'st. Ex hinc facile constant summae quaesitae inter quoscunque
valores, vel negativos Vel assirmativos quantitatum F, Q, υ, &c.
Assumantur omnes quantitates θ, π, z, &c.) praeter unam sae) in praedicta quantitate Pin tanquam invariabiles; & exinde e concessa methodo inveniatur seriei resultantis summa, quae sit B; in hac sumiama pro x scribantur α & a; ubi is & α sint quantitates, inter quas continentur valores quantitatis x ; & sint quantitates resultantes A& A , & summa seriei inter valores a & α quantitatis x erit A -A-Q: deinde in quantitate et ita assumantur Omnes quantitates λα, υ, et, &c. Praeter unam I tanquam invariabiles, & exinde e concessa methodo inveniatur summa seriei, cujus termini sunt in qua va
lores quantitatis γ inter b & β ponuntur; S sic de reliquis , ultima summa sic inventa erit quaesita. Ex. Invenire summam seriei, cujus terminus est κ - γ P 6 4; in quo incrementum quantitatis v est 1 & quantitatis et est ζ; ερ valores termini υ) inter I & ponuntur; Valores autem termini Π inter i ta 3 ponuntur. Primo
642쪽
Primo suppono et esse invariabilem quantitatem, & invenio summam seriei exinde resultantis, quae erit Xat quoniam valores quantitatis sa) supponuntur inter 1 & con sistere; per prob. in hac quantitate B) pro u scribantur respective
ῖ & 4 -HI S, Unde resultat summa -- - & summa inter valores Praedictos contenta erit
continentur, in hac summa pro z scribantur respective I & 3 in
P; unde summa quaesita erit Cor. In his casibus haud refert, an prius assumatur m) tanquam invariabilis quantitas, an mi & sic de inliquis variabilibus quantitatibus ; nam ex stingulis hisce diversi. modis eadem resultabit summa
Iuvenire generales terminos serie zN V ince ς Veris, g arum summi innotescunt.
Assumatur quaecunque sunctio quantitatum π, F, π, v, &c.) pro summa quaesita; deinde datis incrementi. qVantitatum x, 3, z, o &c.) inveniatur generalis terminus seriei, cujus summa est data
functio ex hypothesi quod v) solummodo est Variabilis: & sit quantitas resultans P: deinde assumatur P) pro summa, & ex hypothesi. 'Fffs quod
643쪽
quod di solummodo sit. Variabili. ii Veniatur generalis terminus seriei, cujus summa est P; & sic dcincepS, de singulis reliquis incognitis quantitatibus: terminu. ultimo resultans erit quaesitus. Eq. Sit functio quantitatUm et & v pro summa assumpta:& v incrementa quantitatum z&z: assumatur sv tanquam invariabilis quantitas, & incrementum datae sunctionis erit P
a z - . - - R) a z -- a z, -- v -- Vel terminus, cuius summa potest in e data functio. Cor. Quamvis unica solummodo datUr formula termini, quae cor
644쪽
Iisdem concessis; inUenire summam feri ei, cujus termini exprimun ar per datam quantitatem, in qua continentur varisibiles quantitates x, y, Σ, v, Go.) ubi litera x, 7, 2, diversos denotent numeros Uel qIantitates, i. e. in dato termino sit x Numerus ac y Uel Z, nec idem numerussiit y ac Z, civ. lyc. Dicatur summa per praedictam methodum inventa A. Pro duabus literis x &3, quae necessario diVersae supponuntur, seri batur eadem litera α, & inveniatur Per Prs dictam methodum summasa seriei, cujus termini exprimuntur Per quantitatem resultantem ,
Libatu etiam in data quantitate pro x oc z quae supponuntur semia per diversae) eadem litera β; & sic pro γ&z scribatur eadem litera&c ia per methodum praecedentem inveniantur summae b, c; &c.)strierum, quarum termini exprimuntur Per resultantes quantitates :aggregatum summarum a b c ἀ- &c.) o singulis hujuimodi se riebus dicatur B. Pro tribus lit eris N, F & z quae supponuntur intei te diversae, in data quantitate scribatur eadem litera ε, & Per praecedentem methodum inveniatur summa se) seriei, cuju. termini exprimuntur per seriem resultantem; & si pro singuli a tribus iiteris diversos numeros esse suppositis scribantur in data quantitate eaedem literae respective,& per pr dictam methodum inveniantur summae cri, g, 6 c. in serietum,
645쪽
quarum termini exprimuntur PVr resultantes quantitates respective;& aggregatum se --f- 'g &c ) e singulis summis dicatur C. Pro quatuor literi π, F, z, vj, quae supponuntur esse diversae, scribatur in data quantitate eadem litera, & inveniatur summa l) seriei,sujus termini exprimuntur per quantitatem resultantem; & sic stritabantur pro singulis quatuor literis diversos numeros este suppositis
eaedem literae, & inveniantur summae serierum, quarum termini ex- Primuntur per literas resultantes; & aggregatum ex his summis dicatur D. Pro literis x dc y, quae diversae supponuntur, scribatur in data quantitate eadem litera; etiamque Pro et & v, quae diversie sunt, scribatur eadem litera, sed e priori diversa; & inveniatur summa seriei, cujus termini exprimuntur Per quantitatem resultantem ; & sic inve-Diantur summae serierum, quarum termini exprimuntur per quantitates ex consimilibus substitutionibus deductas: aggregatum ex his
Hujus seriei lex e prob. 3. medit. algebraic. colligi potest.
Ex. I. Sit quantitas, quae denotat respectivos terminos datae seriei, cujus summa requiritur, k. . 'i, ubi π&F integros quoscunque numeros I, 2, 3, &c. a se inVicem diversos respective denotant. Assumatur x tanquam invariabilis quantitas a , & inveniatur summa seriei, cujus termini erunt
deinde in summa inventa pro a scribatur x, & assumatur γ tanquam invariabilis quantitas, Ecinveniatur summa seriei resultantis, quae dicatur A.
Deinde pro κ&γ in data quantitate scribatur eadem litera
x, & inveniatur summa seriei, cujus termini exprimuntur per quantitatem resultantem quae dicatur B, tum summa quαssita erit A - Γ.
646쪽
Si vero in data quantitate contineantur quaecunque irrationales quantitates, eadem erit methodus problema resolvendi ac praecedens. Cor. I. si vero inter datas quantitates contineantur valores quantitatum variabilium sx, Τ, z, &c. ; tum summa acquisita corrigi poteste substitutione praedictarum quantitatum pro suis valoribus;. 6 C. Cor. a. Haud necessario semper denotant integros numeros literae x, I, z, υ, &c.) sed quantitates cujuscunque generis, & ex iisdem
principiis constabit problematis resolutio. Cor. 3. Si quantitas A inveniri possit, tum semper inveniri possunt quantitates B, C, D, BD, E, BC, &c. i. e. data quantitate, quae exprimit singulos seriei terminos duas vel plures variabiles quantitates x, y, a , &c.) involventis; si modo summa hujusce seriei inveniri pos
sit; tum summa omnis seriei, cujus termini exprimuntur per quantitatem resultantem e substitutione invariabilium quantitatum pro quibuslibet literis x, γ, z, &c. vel x pro F, &c. semper inveniri potest. Cor. ψ. Assumatur quaecunque quantitaS, quae duas Vel plures variabiles quantitates x, γ, z, v, &c.) involvat pro summa seriei; R edifferentia inter hanc quantitatem assumptam do ejus successivam summam, & sic deinceps; deduci Potest quantitas, quae exprimit singulos praedictae seriei terminos. . Cor. s. Si vero maximae dimensiones Variabilium quantitatum Μ, γ, et,&c.) denominatore haud superent maximas dimensiones prcedictarum quantitatum in numeratore contentas per quantitatem
majorem quam numerum diversarum Variabilium quantitatum sae. V 24 U, Rc.) in data quantitate contentarum; tum series in infinitum progrediens necessario evadet infinita. Summa vero hujusmodi seriei, si haud in finitis terminis, semper per infinitas series exprimi potest; per hoc problema enim reduci potest ad resolutionem serierum, in quibus una solummodo conti netur variabilis quantitas; vel ex assumpta serie formulae e formula dati termini facile acquirendae, cujus terminus deducatur, & ex aequa
tig correspondentibus datae & resultantis seriei terminis erui potest Praedicta resolutio. Convergentiae harum serie sum ex iisdem principiis ac convergentiae
647쪽
tiae serierum unam variabilem quantitatem solummodo habentium dijudicari possunt. Τ H E O R. XXVI. series n) ordinis dividi possunt in infinitas series sn - i) ordinis ita quidem saepe ut summae ex singulis praedictis infinitis seriebus innotescant; & hae summae praebeant convergentem seriem. Ex. Sit series secundi ordinis,cum terminu. gonstrati. ςstuci l .sto ubi literae et&υ quoscunque integros numeros denotant ; sit vero te minus negativus, cum sit integer numerus, sin aliter affirmativus : dividatur haec series secundi generis in infinitam seriem serierum primi generis, quarum summae detegi possunt, & exorientur novae infinitae series: ex. g. dividatur data series in alias ----- 5cc. ubi differentia inter v & et semper est a),
&c. ubi praedicta differentia Ost ), i ii
-- &c. &c. tum innotescunt summae harum serierum resultantium,
Et sic de pluribus hujuscemodi seriebus ad novam seriem reducendis. Si vero contineantur plures n) Variabiles quantitates in dato termino , tum reducenda est data series ad infinitas alias, quae continentn I variabiles quantitates, & quarum summae innotescunt; & exinde sequuntur novae infinitae series, &c.
648쪽
Data serie ex irrationalibus terminis consante, inoenire ejus summsim. Primo dentur solummodo n irrationales quantitates; &, si modo postibile sit, ita dividatur series in Plures, ut unica, dec. solummodo contineatur irrationalis quantitas in singulis, & Per methodos praecedentes inveniatur summa e singulis hisce seriebus. aqq. Si modo infinitae dentur irrationales quantitates in data serie
nonnunquam ita transformari possunt irrationales quantitates e numeratore in denominatorem; & vice versa, e denominatote in numeratorem per medit. algebraic. &c. ut evanescant e serie omnes irrationales quantitateS.
tur irrationales quantitates e denominatore in numeratorem;&quoniam
ma erit Cor. I. Series constantes eX irrationalibus terminis, quarum sum
mae dantur, facile deduci possunt ox principiis prius traditis, quae deducunt series summabiles, quae haud involvunt irrationales quan titateS. Ex. 1. Assumatur series, haud refert utrum summabilis sit, necno: modo ejus termini ad nihil continuo Vergant, & denique propiores ad id accedant, quam ulla quTVia differentia; & subtrahatur ipsa meta seipsa demptis r primis terminiS; deinde transformentur termini resul-
649쪽
resultantes e numeratorς in denominatorem per medit. algeb. vel in alios diversae form l. m tentur, & invenitur series quaesiita. E. g.
trahatur ipsamet a se ipsa demptis r primis terminis, i. e. O -
x- -- &c. ducatur haec series in quamcunque quantitatem. E. g.
650쪽
xη in &c. 3. Ducantur series hujusmodi in quascunque alias quantitates, o sacile inveniri possunt series irrationales summabiles omnino per eundem modum ac series rationales: & sic de reliquis methodis inveniendi rationales summabiles series applicandis ad irrationales series summabiles inveniendas; etiamque irrationales series ope aliarum serierum deducendas.
omnia quae prius de rationalibus seriebus quoad earum convergentiam, &c. tradita sunt, etiam ad has irrationales applicari possunt.
In seriebus interpolandis, juxta ac in iis summandis, necesse est ut inveniantur limites, inter quos consistant termini qua siti, aliter de iis nihil assirmandum est: e quibuscunque finitis datis ordinatis ad ciuascunque datas distantias a se invicem positis minime ullas alias interponere possumus, ni detur lex, quam ObserVant termini in genere, haud enim sunt data, e quibus deduci possunt quaesita: si vero detur lex, tum exinde deduci potest lubstitutio, ex qua interpolari possunt.