장음표시 사용
651쪽
Facile constat, quod haud inter lari possunt series per methodum differentiarum, ni ultimN disses Atiae ejusdem ordinis sint prope in
I. Sit curva parabolica a xbβc γ, &c. invenire ordinatam PM 3 ad abstisiam A P ; assumatur alia parabolica curva R π b ρ c o &c
in infinitum pergentia a tam radices x - a - b, X - c. c. z - a, κ, b, Z- c, &c. quae Per Praedictas abscissas denotantur, in denotaminatore continentur; & sic de abscissis ad asymptotos in curva af
sumpta, & exinde sequitur ratio, quam habet ordinata in curva assumptae ad ordinatam quaesitam. 3. Si vero impossibiles evadant quaedam radices praedictae, tum exuuibusque duabus correspondentibus impossibilibus radicibus conse quetur quadratica quantitas possibili., quae & in curva data & assumpta pro multiplicatione duarum radicum in sese assumenda est. Cor. . Hinc approximatio Plerumque maxime pendet e radicibus quae finitimae sunt ordinatae quaesitae; dc in hac aeque ac in omnibus aliis curvis pendet e rationibus, quas habent differentiae inter abscisse sam AP oc eas, quae habent communes ordinatas; ad distantias earum a puncti , in quibus ordinatae vel possibiles vel impossibiles evadant nihil vel infinite magna
652쪽
Eadem principia etiam applicari possunt ad inveniendam convergentiam serierum hujusce generis a b x H- &c.'ubi pers & t quaecunque fractiones denotentur, vel irrationales cujuscunque generis quantitates. T H E O R. XXIX. Omnis series est interpolabilis, cujus termini sunt interpolabiles. Interpolentur enim diversi termini do interpolatur data series.
ergo terminus seriei l i k ii evadet se
stantia a primo sit p - a - 2 - - Ii. Cor. . Hinc series hujusce generis sempPr interpolari potest, vir. sit m, sequat terminum seriei
requiratur enim terminus, cujus distantia a primo sit m: assumatur
653쪽
I. In interpolandis quantitatibus, quae sunt functiones numeri quarum continuo augetur factorum numerus, ubi et denotat succestive numeros I, 2, 3, 4, &c. saepe ex interpolatione indicum constabit formula seriei, quae terminum quaesitum exprimet, eX qua Perluu-stitutionem acquiri potest series ipsa, i. e. terminus quaesit Us.
Ex. I. Sint quantitates hujusce generis I, I. 2, 1.2.3, I . 2.3 . Α,& in genere I . a. 3 ... z, vel quod idem est z . z-I . z - 2 ... I, z--I . z . z-Ι. z - 2. . . I, inVenire terminum Intermedium 1nter Uz. z-I . z- Z . . I & T )z I I . z-Z . . Izdimensiones quantitatis z in his daObAS terminrs datis contentae Per unitatem differant, ergo termini intermedii dimensiones different a
l z- γε &c. ducantur hae duae series S re S in sese; & productum fiat aequale factoriz I; ex aequatis correspondentibus terminis sequitur series o)Z tiaram ibi. Quenter terminus quaesitus erit Tκ S. di Ex iisdem principiis ulterius promotis ii Veniri potest terminus ad quamcunque distantiam a dato tζrmino; sed maior erit calculi labor. . Sint quantitates x, x . x -- n . x -- n , x n3, &c. ubi n multo minor est quam x & unitas, tum se ties e multiplicatione deducta Pro generali termino converget. E. g-
654쪽
In hac serie scribatur pro E ejus valor assignatus, & constat terminus, cujus distantia e primo sit Lex hujusce seriei constat e nostris medit. algebr.
. Data quacunque serie, & sequatione relationem inter terminos datae & novae seriei exprimente, ita ut e datae seriei terminis constent novae aequationis correspondentes termini, & si termini datae seriei, tum etiam termini novae seriei, interpolari possunt. Indices interpolari possunt per eandem methodum ae aliae algebraicae quantitateS.
I. Si successivi termini continuo exoriantur e majori numero factorum, qui sunt functiones quantitatis z, in sese ductorum; tum inveniantur togarithmi terminorum successivorum, & deduci potest edisserentiis logarithmorum, &c. series exprimens logarithmum summae, quae forsan progreditur secundum vulgares leges. Si vero numerus factorum in serie deducta designetur etiam per functionem quantitatis et constantem continuo e majori numero factorum, tum inveniantur togarithmi praedictorum logarithmorum, & sic deinceps:& tandem resultabit series exprimens logarithmum logarithmi, &c. cujus termini prope etiam per vulgares leges exprimi Possunt, Di numerus factorum continuo exprimatur Per functionem quantitatis z; quae continuo constat e majori numero factorum. E. g. Sit series 1, 1κ2κ3, IX2κ3X XSX6, &c. ubi n numerus factorum conti
nuo sit in z. ; inveniantur togarithmi e singulis terminis, laerunt eorum successivae differentiae la*l3, i in Isin I 6, i in t 8 Φ I lio, &c. deinde inveniantur secundae differen tiae, &c. Hae vero differentiae exprimi possunt per nota. methodos, ergo se ries ipsa.
a. Sit series a- - b c sedes e se &c. S, tum continuo inve
655쪽
Ite transformationes laepe usui inservire Pollunt 1n interpolatione serierum hujusmodi, quae aliter interpolationem vix aut ne vix recipiant: facile enim est interpolare seriem resultantem, ea vero interpolata, investigari potest interpolatio seriei, ex qua deducta fuit.
. Si vero series exprimlitur per terminos, quorum indices per praedictas functiones progrediuntur ; tum e praecedente methodo Inveniantur togarithmi seriei, & saepe deduci potest logarithmus seriei summae in terminis secundum vulgares leges progredientibus.
Cor. . Fluxiones, vel incrementa, &C. quantitatum I. a. 3 . . . m
uel I. a. 3. . et , vel infinitarum aliarum, facile deduci possunt e principiis prius traditis pro interpolationibus consimilium quantitatum. Numerus factorum vel dimensiones quantitatum, quae ex hac methodo interpolantur, deduci possunt. P R O B. XXXV. Dornire suentes V exinde series per datam fluentem interpolabiles. Assumantur quaecunque quantitates in data fluente tanquam constantes; vel eaedem in data & quaesita quantitate variabiles, quaecunque vero aliae variabiles, i. e. diversae relationem assignabilem inter se habentes; reducantur quantitates resultantes ad infinitas series, & resultant series, quae per datam fluentem interpolabiles erunt. Ex. i. Sit data fluens f. say-- x' ἰx, assumatur index . variabilis, i e pro indice scribantur respective o, I, 2, 3, 4, 3, &C. denique lueuute series per interpolabilis est, & resultants. say - xy 'x, aa Napae, a* - x ) x, s. a' - xy) x,&c. & consequenter series in termedia inter has fluentes inter eosdem Valores quantitatis x contentas, erit s. a*-x' xx, qu per aream circuli exprimi potest, unde intermedius terminus inter primum & secundum seriei et, . - Ι, . -
cujus radius est I. r. Asium tur index a variabilis, & erit praedicta fluens intermedia inter fluentea nuXionum a - lx, a - x )ἔx, a' --&c. 3. Et
656쪽
s. Et sic assumi possimi indices et & I invariabiles, & quantitas a
variabilis, ita vero ut simul sint interpolabiles omnes praedictae Variabiles per datam fluentem. Inveniantur per infinitas series fluentes praedictarum fluxionum, & resultant series, quae per datam fluentem interpolabiles erunt. Ex. a. Sili. x in xy -- o data fluens, & erunt fluentes fluxionum x κ x -- a)φ, x x' - I J, x xy- a)φ, &e, Per eam interpolabiles. Cor. . Fluentes fluxionum x I Σα xyὶτ, x κ I tadix )ἱ, x I in xa φω κ 1 αα xy)l & consequenter arcus elliptici vel hyperbolici), & gene raliter x i Σακη , ' & x i Uzx ) ' deduci possunt ex interpolatione serierum, quae oriuntur e fluentibus fluxionum Izrix 'x, i Σαα )yx, &c.
Ex. a. Sit s. I x data fluens, quae exprimit hyperbolicum arcum, ergo hyperbolicus arcus erit intermedius terminus inter pri-
mum lc secundum seriei expressie per fluentes fluxionum - I x )L'; κ i 5 κ i in x' ', &c. terminum. Cor. . Arcus hyperbolicus exprimi potest per seriem
Si vero requiratur descendens series, tum erit x I i. a 3&c. quae quoad coessicientes et φ . a X 7 2 3. a. o attinet, prorsus eandem observat legem ac praecedens.
657쪽
hae vero fluentes inter V lorς. O & quantitatis x contentae erunt re- I 7 3 R , & medius terminus in-sPζctivς I, 2 ' s κ 32 an I) . δ' ter duos primos erit hvp. log. 2. Omnia haec etiam ad incrementiales & integrales quantitates applicari possunt. Facile consimili methodo inveniri possunt inlinitae interpolationes incrementialium quantitatum.
Si numerus factorum in successivis terminis contentorum Per arithmeticam seriem designetur, tum forsan relatio inter successivos tei minos sit constans, i. e. numerus factorum In ea contentus idem semper maneat. E. g. Sint successivi terminὶ I, I κ 2, I κ 2 κ 3, I X am' &c. quorum numerus factorum semper augetur per unitatem, runt x, a, 3, 6, M. sint tM 'staccessivx-κvero distantia termini t a Primo seriei termino, tum erit Z ε a) κ -- t constans relatio. Cum vero relatio detur constans Inter successivos terminos, tum ex quibusdam datis primis terminis erui possunt reliqui; & consequenter sit interpoletur quantitas π ὶ inter primum &secundum terminum, cujus distantia ex Primo termino sit -, e termino vero secundo sit tum ex ptaedicta constante relatione erui potest quicunque terminus, cujus distantia a termino i sit ubi r est in teger numerus; a termino vero PrOXὶme subsequente sit nam
658쪽
Consimilia etiam applicari possunt ad series, quarum primae, secundae, tertiae, &c. differentiae numerorum terminorum erunt in arithmetica progressione ; hae series, ut prius ostenditur, interpolari possunt e successivis logarithmis ejusdem ordinis ac differentiae numerOrum, quae constantes evadunt. Si quantitates interpolandae vel constent ex interpolabilibus facto ribus: vel sint quaecunque constantes functiones quantitatum, quarum interpolationes dantur; tum dantur etiam earum interpolationes. Cor. . Facile deduci possunt infinitae quantitates, quae ex interpolatione datarum quantitatum interpolari possunt. Inveniatur quaecunque constans functio datarum quantitatum, &perficitur coroll. Et vice versa ex animadvertendo seriem datam esse praedictam functionem quantitatum, quarum interpolationes innotescunt, consequetur ejus interpolatio. E. g. Ex concessa interpolatione terminorum I, 1κ2, I x a X 3, I γ 2 κ 3 Ν Α, &c. termini binomialis theorematis - .
a 3 qminos respective denotant, interpolari possunt: terminus enim in data serie I, 1. 2, I. a. 3, i. a. 3- , &c, ad u- a) distantiam a primo sit .ae, & quoniam terminus ad distantiam z a primo in serie 1, 1 .a, r. a. a,&c. ductus in uina subsequentem praebet terminum; ergo terminus
π ad distantiam α - - - 2ὶ a primo in V Φ a ductus praebet terminum ad distantiam z--r - I a primo in eadem serie, &
659쪽
hinc terminus ad distantiam r a primo in serie I, I .a, I .a S, SAE. aequalis erit termino ad distantiam r in a a Primo in se ζ I, H, H
Hae posteriores series in priori P continentur.
660쪽
Cor. . Si detur series R) terminorum, qui sint quaecunque alge-hraica finita functio praedictae seriei facile ex iisdem datis inveniri potat terminus in praedicta serie R ad quamcunque distantiam a primo positus. Eadem methodo ratiocinari liceat ex interpolationibus seriei P vel plurium serierum P), ), &c, concessis ad interpolationes serierum, quae sint quaecunque finitae functiones quantitatum e prae dictis seriebus deductarum. Hic animadvertendum est, quodsi detur series hujusmodi alterna tim assirmativa & negativa, i. e. series sit - ιτ in ab - abc ab od Sc. quae conficitur e factoribus - b, - , &c. m sese ductis, minime ejus interpolatio eadem erit ac interpolatio factorum amrmativorum a, a X b, g κ β π c, &C. in Priori casu enim inter singulos duos successivos terminos nihilo evadet terminus interpolandus, &c. Series duas vel plures variabiles quantitates involventes vel summationem vel interpolationem recipiant ex eadem methodo, ae series unam solummodo variabilem quantitatem habentes. Τ H E O R. XXXV.