Methodus differentialis, sive Tractatus de summatione et interpolatione serierum infinitarum. Auctore Jacobo Stirling, R.S.S

71쪽

meram additionem Terminorum. EXEMPLUM II. Transmutanda sit Series I - - & in ii.

d I, r I; unde m m. I, n m O, & Propterea ' χ-2 et mus Terminus seriei transmutata .

dum Disserentialem prodibit S- T pN T H Sa - TZ ; qua deducta

72쪽

deducta de priore relinquit T - -κ-T- NTC: T -T et; ex

I et i et inde m m 3, n m quapropter est Ta valor Seriei Sa quamproxime, sive Terminus secundus Seriei transmutatae. Atque super hisce vestigiis progrediendo ut in Exemplo superiore, invenies

Vel ob faciliorem computum, Pone

tue Terminum decimum primum, hoc est, Pro T, & pro et valorem suum respectivum, scilicet Ir; ac habebis A m

73쪽

66 Sum matio Serierum.

Deinde

Φ .O495.869I.62I4. 73. Disserentia harum Summarum divisa per II, dat S in .oo 5.O 85.7813. I 28O. 8, quae adjecta aggregato decem initialium, eon sicit . 8224.67O3.3424. II 32. I pro Valore Seriei. Quumque hic numerus dimidium sit illius in Exemplo primo Propositionis decimae reperti ; concludendum est utrumque computum recte institutum fuisse.

Etenim Series i-ῖ Φῆ- id &ς- ubi Termio sunt alternatim

qua omnes sunt ejusdem signi. Ex ΕΜ PLUM III. Proponatur SerieS I - -- T - γ' - , quae definitur I 3 Equatione Truo, in qua valores Abscissae sunt ', ', fi

74쪽

, p, &e. Et ineundo computum juxta hanc Propositionem, deve. nietur ad regulam sequentem. Pone A m T, deinde

Eritque S - - in i A B -1 9C-1α-FnD-bi TE &C. Summa duodecem Terminorum in Serie proposita est

75쪽

Dein dividendo differentiam Summarum per et 5, prodit S m.OZO7.97 7. I9I5.6153.5, quae un cum aggregato initialium conficit .7853.98I6.3397. 83.O Pro Volore Seriei summandae. Sc HOLION. Sicut una AEquatio definit Series numero infinitas, ita una Transmutatio inservit Seriebus numero infinitis: Et unumquodque Exemplum pro Theoremate est habendum; sic Transmutatio in ultimo Exemplo inservit Seriei generali L Τ . I I i I

observandum est legem continuandi Series per hanc Propositionem transmutatas, non semper se Prodere ut in Exemplis quae hic elegi: hoc vero neutiquam incommodabit opus. Nam postquam colliguntur sex circiter Termini Seriei summandae, tres vel quatuor Seriei transmutatae dabunt quae sietum satis accurate Pro usibus quibuscunque; in praxi enim raro opus est continuare computum ultra novem aut decem figuras. Atque eodem res redit, sive Termini Seriei transnautandae sint iisdem vel contrariis signis affecti, sive sint vel non sint assignabiles. Labor enim semper erit levis, praeterquam ubi in AEquatione ad Seriem, quantitas r est negativa & simul proxime aequalis unitati; ut si sit ν --- vel - 22- computus erit laboriosus. Sed hosce casus facile

evitabit Analysta peritus, quibus igitur remedium proferre non est operae pretium. Adjungerem quoque nonnulla de Seriebus hujusmodi

vicem, ut in Seriebus de quibus hactenus egimus, sed antecedentes sunt infinite majores consequentibus. Hae exhibent Numerum ex dato Lo- Rarithmo, vel Sinum ex dato Arcu, & sunt sui generis simplicesimae. Transmutari possunt per principia in superioribus posita; caeterum res commodius absolvitur absque Transmutationibus. Ut in Serie x- -

76쪽

Summatio Serierum. ς'

rithmo x, si esset x α I 2.3785, rejicerem Characteristicam Ia, & quaererem Numerum Logarithmi .3785 qui prodiret in Serie celeriter convergente ob Logarithmum jam unitate minorem ; quo dato non lateret Numerus Logarithmi I 2.3785. Et eodem res redit sive Logarithmus sit Tabularis sive Hyperbolicus. Et similiter in quaerendo Sinum ex dato Arcu, si idem major sit Quadrante, subducatur eX Semicirculo, & manebit Arcus Quadrante minor eundem habens Sinum ac Prior, utique ejus supplementum ad Semicirculum. Arcus autem minor Quadrante dabit suum Sinum in Serie ce

leriter convergente.

Series quae definiuntur AEquationibus quae involvunt tres vel plures Terminos Seriei possunt summari accurate vel quamproxime ex Analysi supra tradita: lassiciat autem hujusmodi computationum jecisse fundamentum & aperuisse viam aliis quibus est otium & animus hac de materia plura scutari. Sed ne omnino neglecta videatur, dabimus Theorema generale ex principiis Moturaei, quod tam ad Summationem quam ad Transmutationem hujus generis Serierum extenditur. PROPOSITIO XIII.

In Seriebus ex Divisione ortis, eadem es relatio inter Terminos ac Summas successisast

Sit Fractio , quae Seriem resoluta est I -3x -8x H-2IxΤΗ-55x Φ&c. Tum Summae successivae erunt

77쪽

1t, Summatio Serierunt.

Et sensus Propositionis est quod hae Summae eodem numero sui ipse eandem ubiqtie habent relationem ac Termini Seriei totidem numero sumpti. Exempli gratia, in casu Praesente felatio inter tres quos Vis Terminos ordine succedentes erit xx T- 3 X TV-T αzo : atque ea de causa relatio inter tres Summas successivas erit etiam xx S a1S ut eyperienti patebit. Propositio vero sic demonstratur. Sint r, j, t dat 2 quantitates, & assumatur AEquatio ad Summas rs P b S mi S i 6. dein substituendo valores variabilium succedentes pro praesentibus, habebitur rS -bs S *tS ααα o, quaa subdi ta de priori relinquit rS rS ins S s S intS -tS 'OO; in hac substitue T pro S S , T pro S S', ac T' pro Sη- SV, & Proveniet rΤΗ-31 -.ia 'ino.'Et haec est eadem relatio ac ea Summarum primo assumpta. Et si pilares vel pauciores sint Summae, eodem prorsus modo Propositio demonstrabitur. Corollarium. Hinc habemus methodum summandi hasce Series eκ datae relatione Terminorum; ut sequentibus Exemplis fiet manifestum.

de fit S O T. Quare datur Summa S ex dato ejus primo Ter m ino T. Ut si Series sit

prodibit Sm: T, vel Sem -- T. Substituatur jam quilibet Te

minus pro T, & οῦ T erit Summa ejus & Omnium sequentium usque in infinitum. Sit T aequalis primo Termino nempe unitati, & habebi-

ulr ' a Pro valore totius Seriei.

Ad eundem modum si AEquatio ad tres Terminos sit r T s T Ha1Τ o, relatio Summarum erit r SH-ιS H-t S mo; in qua scriben do

78쪽

4m - 3x, I m I ; quibus scriptis, habebitur S Substitue jam primum Terminum pro T, & secundum pro T , & prodibit

erit S - . Et sic deinceps quando relatio est

inter plures Terminos. S c H o L I O N. Notandum relationem Terminorum quae variabilis est , eo Fropius accedere ad invariabilem, quo magis Termini recedunt ab initio, &tandem in distantia infinita evadere omnino invariabilem ut in Seriebus ex Divisione ortis. Atque hanc appello ultimam relationem Terminorum ad quam relatio eorum continue apyroximat, nunquam tamen Perveniet accurate Priusquam Termini remoti fuerint infinito intervallo

a principio. AEquatio autem Disserentialis definiens Seriem, rejiciendo dignitates Abscissae omnes praeter altissimam, & per hanc dividendo AEquationem residuam, dabit ultimam relationem Terminorum. Proponatur AEquatio rejice omnes dignitates Abscissae infra quadratum, & manebit xx TM-T' etet, quae divisa Per Tet, dabit xx T m T . Et haec est relatio ultima Terminorum. Ultima autem relatio, quum constans sit, suppeditat methodum summandi Series quamproxime, in quibus relatio Terminorum est Variabilis. Si detur AEquatio quaevis r T X αα-fMH-ώ-JT X-m O,

ultima relatio Terminorum erit rTΦsT'mo, unde S Tquamproxime. Haec AEquatio obtinet accurate quando Terminus Tis finite distat ab initio, & proxime quando distantia est notabiliter

magna Similiter si AEquatio sit rT-

79쪽

et Summatio Serierum.

Adeoque colligendo aliquot Terminos initiales, priusquam inchoatur computus, Summa reliquorum habebitur proxime per hanc methodum Ex iisdem principiis etiam corrigere licet approximationem continue ut in Propositione sequente.

PROPOSITIO XIV.

bipartitur in sequentes

Per hanc itaque Propositionem, Series in qua ultima relatio Termi norum definitur AEquatione involvente tres Terminos, transmutabitur 4n duas hic exhibitas: quarum tamen prior eVanescit ubi est s*tio. Si relatio sit inter duos tantum Terminos rTΦἷT m o, erit i - οι eaque de causa, eVanescet Series posterior, & ea quae transmutanda proponitur, migrabit in unicam ; quo in casu Particulari coincidet haec Propositio cum Theoremate a D. Monmori inVento. Si relatio sit inter plures Terminos quam in hac Propositione, Series transmutanda migrabit in plures Series. At in omni casu res erit manifesta ex eo jam exhibito. Et nolim amittere simplicitatem, affectando nimium raucis complecti. EXEMPLUM

80쪽

Summatio Serierum. 3

EXEMPLUM I. Proponatur Series IH 4x-9x -16xΤ-25x'--36χ -- &c. Ubi co-essicientes sunt quadrata numerorum naturalium: AEquatio differentialis

Omnes igitur Termini Post Ag, evanescunt ; & substituendo liosce

Valores, Series transmutata fit - Irin -- π Et hi tres Termini in unum collecti dant pro valore Seriei. Quod si mutetur signum ipsius x tam in Serie, quam in ejus valore, habebitur