장음표시 사용
91쪽
Harum quatuor Serierum coessicientes determinatae dant valores Radicis sequentes
.ai1 ηκη 12. 3 x' 16.is e. ηx Duae priores attinent ad multiplicationem aut divisionem Arcus circularis. Posteriores vero spectant ad aream Hyperbolae. Et haec Exempla sufficiant ad illustrandam regulam hic adductam pro determinando indice. Ea deducitur ex Propositione quinta : atque Per eandem & regulas Newtoni, extractio radicum in Seriebus infinitis ad umbilicum perducitur, uti quivis facile percipiet qui mediocriter versatus est in iis quae hac de re Authores hactenus protulere. Etenim facile demonstrabitur AEquationem non admittere Seriem Pro Radice quae hac methodo non eruitur. Sed hic non loquor de Seriebus quae conflantur ex Terminis in quibus indeterminata x habet indices indeterminatos.
92쪽
I T recta quaevis positione data PQ, super quam erigantur ordinatae quotcunque A, B, C, D, &c. sibi
mutuo Parallelae, & aequalibus intervallis ab invicem distantes: designent autem hae ordinatae Terminos Seriei regularis, continue increscentes vel decrescentes, &eodem signo affectos ; atque una eademque Curva transibit per extremitates omnium, quae quidem determinabitur ex data
AEquatione ad Seriem, id est, ex data AEquatione generaliter expri mente relationem inter duas vel plures Ordinatas quasvis successivas.
93쪽
Si ex data aequatione illa dimerentiali erui possit AEquatio huius
Curvae Algebraica, utpote quae desinit relationem inter Abscissas &Ordinatas correspondentes, habebitur Ordinata quaecunque ex data eiu qAbscissa per resolutionem AEquationum affectarum, adeoque Interocitatio Seriei absoluta; quae utique Consisti in assignatione cuiuslibet Tosemini primam vel intermedii ex dato ejus loco in Serie. Ubi, AEquatio Curvae Algebraira nequit inveniri, id quod Plerumque fit nihil ulterius sperandum est quam exhibere valorem Termini cujusti quaesiti Per Seriem convergentem, vel sorte per Quadraturam Cur
Hic autem loquor de Terminis aequi distantibus, quorum quippe relatrones prodeunt scribendo numeros a quid isterentes successive Dro A scissa et in AEquatione disterentiali Seriem definiente. Nam intervallum commune ordinatarum super Abscissam consistentium, proportionale est incremento Invariabili in determinatae E. , MPROPos ITIO XVI. di idem sit intervallum commune nermmorum prImaoorum re intermediorum, detur unus ρος Interme diis, dabuntUr omnes ex is a AEquatione ad primarios. IIn figura superiore designent A, B, C, D, &c. Terminos primarios c. intermedios; sintque intervalla primariorum AB BC CD, &c. arqualia intervallis intermediorum ab, bc, cd, &c. quod uue cui 'que Dico omnes intermedios dari ex dato eorum quovis uno & simul AEquatione disserentiali definiente relationem primariorum Etenim AEquatio quae assignat relationem Primariorum definit C sevam transeuntem per eorum extremitates; & 2Equatio quae definit fislationem intermediorum definit etiam Curvam transeuntem nee it extremitates. Sed per desinitionem primariorum & intermedi H 'eadem Curva transit per amborum eaetremitates ; Quare θαη-m IIῖ- 'tio quae definir Curvam, definiet relationem Ter inorum in ii in Serie. Et illa AEquatio, datur ex hypothesi; adeoque datur lex contraxi intermedias, qui itaque omnea dabuntur CX dato quovis uno.
i , existente Puncto quovis P principio Abscis, itum
94쪽
tum habebuntur relationes intermediorum scribendo pro et successive Pa,Pb, P c, P , &c. in eadem AEquatione. Nam aequatio differentialis generaliter exprimit relationem inter duas quascunque ordinatas ad certam distantiam ab invicem sitas, sive eae cadant in Serie primariarum sive in
ea intermediarum. EXEMPLUM I. In progressione Terminorum Geometrica I, x, a ', x', A', &c. si Termini in medio consistentes inter Primarios sint a, b, c, d, e, &c. erit b--, cmbae, x, cm x, &c. quorum utique eadem est relatio ac primariorum.
Si Termini primarii sint 1, I, 2, 6, 24, 12O, 72O, &C. quorum relationes. sunt Bm A, C aB, D-3C, &c & Terminus dire te in medio consistens inter duos primos 1 & i sit a; reliqui dabun
consistunt in medio inter duos quosque primarios, ab iisdem hinc inde aequaliter distantes. Si vero a designet Terminum inter Primum & secundum, cujus
distantia a primo est tertia pars intervalli communis ; pone b a,
medii duorum quisque distat tertia Parte intervalli Communis a primario ipsum antecedente, vel duabus tertiis partibus ejusdem intervalli a primario ipsum immediate consequente. Constat igitur relationem intermediorum dari ex Interpolatione relationis primataorum: & ea semper est interpolabilis, quoniam assignatur per AEquationem ad Seriem.
Ex EMPLUM III. Proponatur Series L, i , &c. quae producitur' per mul-I 3 7
minus in medio inter Primum & secundum, atque ponatur b vi I
95쪽
S c II OLION. Si AEquatio ad Seriem involvat tres Terminos, debent dari duo; &tres sit in Volvat quatuor, & sic porro, ut habeantur reliqui intes medii. Hussus autem generis est Propossitio μα Ioni septima in Traditatu de quadratura Cur Varum, quae tamen non tantum obtinet in Curvis sed & in 'rie quacunque. Atque usui venit hoc Theorema quotiescunque quaeritur Terminus intermedius qui consistit prope initium Serici eo enim in calu Uus valor proveniet in Serie lentissime convergente ; Quare Drimo quaerendus est respectivus intermedius satis remotus a princi iocussus utique valor prodibit in Serie cito approximante: de in ex hoc cato regrediendum est ad illum primo propositum per relationes Ter
minorum, ut in hac Propositione.
PROPOsITIO XVII. mnis Merars est interpolabilis, cujus Termini constant ex factorabus tute γνω ilibur.
Sit A Naκα, BYb β. CN κγ, Γ κ γδ, &c. Series cuius Termini conflantur ex tribus factoribus: dico eam esse interpolabilem si interpolabiles sint tres factorum Series, scilicet A. B C D h
ri & α, β, γ, δ, &c. rQuoniam enim Termini intermedii in Serie composita, eodem modo tormantur ex intermediis Corre P ndentibus in Seriebus simplicibus ac primam ex primariis ; iidem invenirntur duCendo respect ivos intermedios Serierum simplicium in se mutuo. Ut si T sit Terminus intero x E, t resipectivus inter θ & c, atque τ respectivus inter A & s tum Terminus correspondens in Serie compo sita, scilicet is inter Bub κ β & CX κγ, erit faetiim sub illis tribu , nempe TYtκα Et si v si vel pauciores sint factores, similiter demonstrabitur Propositio. Cono serium. Hinc in Serie interpolanda, si dux Vel plures Series facto- interpolabit , possunt rejici ex computo: dein reliqua:
PORRHae per methodos postea tradendas. Nam interpolatio non est temere suscipienda; sed ante exordium operis inquirendum est quaenam sit demes simplicissima ex cujus intercalatione pendet ea Seriei pro postrae.
96쪽
sitae. Atque haec praeparatio est magna ex parte omnino necesiaria, ut deveniamus ad conclusiones concinnas & elegantes. EXEMPLUM I. Si Series intercalanda sit I, - x, a r x , &c. Priminum resolvo eandem in tres Series factorum simplicium ad modum sequentem x', &c.
8 16' 128 C & harum trium Serierum palam est duas primas esse interpolabiles, non item tertiam ; quae tamen quum sit simplicior, facilius interpolabitur quam ea quae Proponitur. Ut si desideretur is in medio inter secundum & tertium Seriei compositae ; patet correspondentes Terminos in prima & secunda Serierum simplicium esse& - respective: in tertia Terminus correspondens appelletur T, dein factum sub hisce tri-3 1 Ibus x', -, & T, sive - Tx Ix erit is qui desideratur. Adeoque Interpolatio Seriei compositan reducitur ad Interpolationem Seriei simplicioris. EXEMPLUM II.
interpolare licet Series Numeratorum & Denominatorum seorsim, hoc est, Series
I, s pii &c. Deinde Terminus quilibet in Serie Numeratorum divisus per respectivum in ca De nominatorum, dabit correspondentem in Serie proposita Si differentia inter r Se p sit numerus parvus, non opus est hujus artificii. Caeterum quando praedicta differentia est magna, necesse est interpolare Numeratores & Denominatores seorsim.
97쪽
Hue etiam referri debent plurimae hujusmodi praeparationes. Emempli gratia, si Seriei&c. e, d, c, b, a, A, B, C, D, E, &e.
hinc inde excurrentis in infinitum desideretur Terminus in medio inter duos medios primarios a & A. Duc Terminos Primarios aequaliter a medio distantes in se mutuo ; hoc est, A in a, B in b, &c.& componetur nova Series utrinque excurrens in infinitum&c. D d, C c, B b, A a, A a, B b, Cc, Dd, &c. cujus Termini a medio aequaliter hinc inde remoti sunt inter se aequales:&. cujus Terminus in medio inter Ac de Aa erit quadratum Termini quaesiti qui consistit in medio inter a & A in Serie prius proposita. Igitur Terminus ille quaesitus erui possit per interpolationem alterutrius Seriei. Notandum est Terminum desideratum consistere posse in diversis Seriebus, & ex ea consideratione facilius nonnunquam inveniri. Ut si Terminus quilibet quaesitus lateat in medio inter primum & secundum in utravis Serierum sequentium I, r. res' I, r. rq I .r in a, &c.
p ' p .pq-U p. pta I .pla 'ς Τum ducendo Terminos respectivos in se mutuo producetur nova Seiaries
D, &c. inter cujus Terminum primum & secundum is qui medium locum tenet, aequalis est quadrato ejus primo propositi. Nonnunquam etiam interpolatio prospere succedet per Logarithmos
praesertim si Terminorum permagnae sint differentiae. Sed haec &jimilia addiscenda sunt experientia. Nam scuti in Algebra vulgari
tota ars Analystae non consistit in resolutione AEquationum arietarum, sed in perducendo Problemata ad easdcm; ita etiam in hac Analysi 'minus solertiae requiritur ad resolutionem AEquationum differentialium aut interpolationem Serierum; in inveniendis enim Seriebus quae determinant quantitates incognitas, quaeque idoneae sint interpolationi, con- sinu longe major difficultas. Pilo PO-
98쪽
PROPOSITIO XVIII. Sὶ Termini duarum Serierum formentur ducendo in se continue Fractiones quarum Numeratores , Denomina- rores increscant perpetua additione unitatis, ρο si ijdein
sint Numeratores in utraque DICO Terminum unius
cujus di tantia ab initio est disserentia factorum in altera aequalem esse Termino hujus cujus distantia ab initio estae fierentia factorum in illa Serae, modo primi Termini
& in quibus iidem sunt Numeratores, dico Terminum prioris cujus distantia ab initio aequalis est differentiae factoruin in posteriore, nempe q-r, aequalem esse Termino posterioris, cujus distantia ab initio est p r, scilicet differentiae factorum in Serie priore. Et notandum, ubi
ἴ-r Vel q-r est quantitas negativa, Terminos de quibus agitur consistere ante primos hisce intervallis.
Assimaamus Terminum quemlibet Seriei prioris, verbi gratia septimum, Posita Ami, scilicet
Denominatores omnes Praeter ultimum ; existente G IN 'A, vel
99쪽
Si sit I rm 2, vel Imr-ba ; erit I*Imr 3, I*2πι - , &c,& nunc evanescent Numeratores omnes Praeter duos Primos, & omnes Denominatores praeter duos ultimos, manente G - I X -- - k
niversaliter in valore Termini G, tot semper erunt Numeratores totidemque Denominatores quot sunt unitates in I -r, ut in Tabula sequente
riei I, A, I, i B, &C. cujus intervallum ab initio est q r sive 6,
aequalis est Termino hujus I, a, b, &c. cujus intervallum ab initio est: p r. Et eodem modo manifesta erit Proposito in aliis casibus. Q E. D. Corollarium. Hinc si differentia factorum p & r non sit permagna, Terminus Seriei prioris utcunque longe remotus ab initio semper determinabitur per Terminum in Serie posteriore qui parum distat a principio. Ut Exemplis sequentibus patebit. ExEMPLUM
100쪽
Est vero q-r m 7, p -r m 2; adeoque Terminus in priore cujus intervallum ab initio est 7, aequalis erit Termino in Posteriore, cujus intervallum ab initio est et , sive quod idem est, octavus Terminus Seriei prioris aequilis est tertio posterioris aia. Et notandum est ubi differentia inter I, & r est numerus integer, tum Terminum quemvis Seriei prioris semper aequari primario alicui in post
incrementum est binarius, divide Numeratores & Denominatores per binarium; & prodibit Series I, WA, B, τ &c. ubi jam incrementum lactorum est unitas; & per consequens haec Series comparari possit cum illa in Theoremate, prodeuntibus r-I, I - : Sit etiam ni intervallum inter primum Terminum Seriei & quemvis alium,& erit m r, vel m m q- I, atque 1 m quo lubstituto evadet Series posterior
cujus Terminus ab initio remotus intervallo p -r, sive - aequalis erit Termino prioris cujus intervallum ab initio est quantitas quaecun-cue m Hoc est, Terminus Prioris' utcunque longe remotus a princinio stilicet distantia utcunque magna vi semper aequabitur Termino
posterioris qui consistit ante Primum dimidio intervalli communis