장음표시 사용
81쪽
& hi quatuor Termini collecti in unum dant Pro Valore Seriei.
Substitue jam hoste valores pro A, Aa, A3, B, BZ, Bῖ, atque Series proposita transmigrabit in sequentes duas numero Terminorum finitas, Quae duae in unam Summam collectae dant παπι pro Valore Seriei. Ad eundem modum Theorema applicatur ad Transmutationem Serierum quae summari nequeunt. Demonstratio autem ex sequentibus fiet
82쪽
cujus Numerator sit quantitas constans ex membris quotcunque, quorum tamen numerus est determinatus. Sit vero ejus De nominator dignitas quaelibet quantitatis, quae etiam conflatur ex membris quot vis Numero finitis. Tum quicunque si index n, si Fractio resolvatur in Seriem, eadem semper erit ultima relatio Terminorum, ac si De nominator fui siet simplex potestas In hanc igitur Series continue multiplicetur, factum tandem abrum Pet, si sit u integer & affirmatia viis i hoc est, si Series summabilis sit per simplicem AEquationem. Proponatur Series I--6X -27x --IO XΤΗ--366x' -&c. in qua ultima relatio Coessicientium est Α-2B-Cmor, sumo quantitatem xx ax I, vel mutatis signis, 1 - 2x xx, in qua Coessicientes iidem sunt ac in ultima relatione, & concludo Seriem propositam, modo summabilis sit, aequalem esse alicui Fractioni cujus Denominator est Uignjtas quaedam quantitatis Ilax xx. Ergo Pono S I -6xq-27x' I x es 3 -&c. & duco utramque Partem in I -baa. -xx ; atque prodit S X liniae eae m I - x I xῆ--Τq-Ι3Ix' -&c. quam quoniam non clum abrumpit, iterum duco in eandem quantitatem, & habeo SY
plicans eandem, obtineo SN i 1κ-- Τ I; Terminis omnibus post primum evanescentibus. Igitur palam est hanc Propositionem nihil aliud praestare quam methodum compendiosam multiplicationis, & simul dispositionem Terminorum in Sesiebus transmutatis quae efficit celerem convergentiam quando non abrumpunt. Quare Demonstrationem Lectori indagandam relinquo, quae quidem eadem sere est sive De nominatores sint trinomiales, quadrinomules aut Plurium nominum.
Invenire AEquationem ebraica e R uxionalis si,
cujus Radix erit Series quaecumue data quae definietur AEquatione is qua Termini Se; iei suus unius tantum
Series datur ex dat s aliquot Terminis initialibus & simul lege fora mandi reliquos: eκ hisse autem datis In Venietur AEquatio habens Seriem illam pro Radice, id quod per Exempla sequentia intelligetur. EXEMPLUM
83쪽
Ex EMPLUM ILInvenire AEquationem quae pro Radice habeat Seriem Φ
tium sunt et Aq-3Bmo, 4B-95 Cmo, 6C-97D O, 8D -9Emo, &c. In hoc Exemplo AEquatio quaesita involvet Fluxiones primas, quoniam numeri in relationibus sunt sequi differentes. Assume ergo
Adjiciatur nunc ultima AEquatio penultimae atque prodibit
84쪽
Sed ex hypothesi relationes Coessicientium sunt 2A-3B---O, 4B-5C O, 6 CH-7Dmo, &c. ideoque Termini omnes post primum A evanescunt, & restat AEquatio finita γ -xγ-bax γ - -x γα Am I, sive substituta scilicet unitate, sive primo Tet-mino Seriei pro Coessiciente A. EXEMPLUM III. I 3Invenienda sit AEquatio cujus Radix est Series I -'x' - G x' ---κο--Γ--x &c. ubi relationes Gessicientium sunt 256 2o 8
In hoc casu aequatio desiderata necessario involvet Fluxiones secundas, quoniam numeri qui indicant relationem Coessicientium, sunt duarum dimensionum, sive facta sub numeris aequidisserentibus binatim sumP-tis. Sit itaque γα AH-Bx H-Cx'-DxqH-Ex - - &c.
ter relationem Coessicientium, omnia membra ex una parte AEquationis evanescunt.
85쪽
Denominatores sunt quadrata numerorum I, 2, 3, Assume
hoc est x θ' - PT χ' similiter si Series sit x- - x 'in si δ' in &c. ubi Denominatores sunt Cubi, invenies AEquationem esse γ lax in x 'γ mEt si Series sit x in fix in Ax existentibus Denominatoribus
86쪽
toribus biquadratis, prodibit AEquatio 1 lx 1
Sc HOLION. Eu data igitur relatione CoemCientium, Series reducuntur vel ad Fractiones vel ad Fluxiones, idque eadem Prorsus facilitate in omnibus casibus; sive Series determinetur Per relationem plurium vel pauciorum Terminorum. Nam quoniam sumendo Fluxionem Seriei, Termi ni dueuntur in indices dignitatum, qui semper sunt a qui differentes:& rursus in alias quantitates aequidisserentes, sumendo Fluxiones secun das ; & sic porro, formare licet hac ratibne relationes Terminorum quaecunque sint, insistendo vestigiis mox traditis. Ad summationem autem Persectam oportet Fluviones reduci ad Fluentes; quod ubi fieri nequit, concludendum est, Seriem de qua agitur non esse ex ipsarum numero quae summari possunt. Multum autem confert ad promovendam hanc doctrinam ut summationes reducantur ad Fluxiones, quoniam methodus regrediendi a fluxionibus ad Fluentes,lieet imperfecta sit, est tamen melius nota & magi9 exculta quam ea regrediendi a Dinerentiis ad Summas. Sed & altera alteri mutuo praebebit opem: Fluentes enim si inveniri possint, exhibebunt Summas; vel e contra Summae inventae dabunt Fluentes.
Ex Propositionibus jam traditis,. aliisque ex iisdem principiis facile deducendis, invenire licet Radicem AEquationis cujuscunque accuratissime in numeris modo reduci possit in Seriem simplicem, etiamsi lentissime convergentem. sed etiamnum restat difficultas, si neque Series cito approximet neque sit relatio Terminorum simplex & idonea quae
definiatur AEquatione disserentiali. Quippe si in AEquatione resolvenda reperiatur Radix ejus Ue Fluxiones plurium quam . unius dimensionis, vel si hae in se mutuo multiplicentur; & hujusmodi membra nequeant elimi nari: in iis inquam casibus Radix non est reducibilis in Seriem sim plicem compositam ex dignitatibus Absci , saltem per artes mihi
hactenus notas. At dignitates Abscissae utcunque altae sint in AEquatiaone resolvenda, nullatenus obstant simplicitati Seriei. Sed hac oblata occasione, conabor tollere difficultatem hactenus in tactam, quae tamen in reductione AEquationum Fluxionalium maxima est. Sciendum igitur est eas AEquationes Fluxionales quae involvunt omnes conditiones Problematis, ideoque determinant omnes Coeici entes in suis Radicibus, resolvi Posse Perinde ac AEquationes literales affectae, idque per regulas a Ne ton' dudum traditas. Attamen ple
eumque fit AEquation a non determinare omne. Coelficientes Termino
87쪽
rum in suis Radicibus; scilicet quoniam quantitates constantes evane Dcunt & omnino amittuntur ex AEquatione in progressu a Fluentibus ad Fluxiones. Sed & variis modis evanescere solent prout Fluxio sumitur, id quod Exemplo declarare libet.
Proponatur AEquatio γ' mayq-bx t, & fluente x uniformiter, atque scripta unitate Pro ejus Fluxione ; habebitur per Methodum directam 2 γ γ b - - : cujus Radix per methodos Newtoni extracta.
eadem erit ac Radix Fluentis γ' - bx - n, idque propter quantitatemaa jam amissam. Et hoc in casu non determinatur primus Terminus Seriei, qui utique Pendet ex eVanescente quantitate aa.
dem est ac Fluentis, γ' ma H- . Quo in casu non determinatur secundus Terminus Seriei, qui dependet ex Coessiciente b nunc amissa. Denique si AEquatio fluens dividatur per x', habebitur - - Υ
4ra 3bx quae resoluta Per regulas vulgares, eandem da-hit Radicem atque Fluens γ' a' - -bx : adeoque Terminus Seriei quintus, qui dependet ex Coessciente cc non determinatur. Hinc patet fluxionales AEquationes 273-b- ,
provenire ab unica fluente γ' - aa--bx- -- : per primam Terminus primus Seriei non determinatur ; per secundam determinatur Primus at V i non
88쪽
non secundus Terminus ; per tertiam denique determinantur primi quatuor Termini Seriei, at quintus relinquitur indeterminatus. Pos uni igitur diversae AEquationes fluxionales provenire ex eadem fluente. Sed methodus resolutionis non erit perfecta priusquam in potestate fuerit exhibere omnes Radices diversarum fluentium a quibus Fluxio quaevis Proposita ullo modo pervenire possit. Nam necesse est habere rationem quantitatum qim vel actu evanuere Vel evanescere potuerunt. Etenim non licet extrahere Radicem ex aequatione fluxionali tanquam nulla quantitas evanuisset, dein addere quantitatem datam fluenti inventae ut in Quadratura Curvarum. Termini utique in determinati saepissime sunt quantitates invariabiles : & additio Quantitatis dati Radici inventae non aequipollet additioni Quantitatis AEquationi re- x solvendae. Sic eadem Fluxio 2 --- p provenire Potest ab utravis fluentium 33 αα aa - ἷx-Vel γγ - M- - , quarum tamen Radices sortiuntur formas omnino diversas, scilicet prior Aq-Bx-
Cx' - - &c. posterior Ax ' - - Β ω ' H-Cκ' H- &c. Insuper fieri potest AEquationem fluxionalem involvere omnes Coem- cientes quas involvit fluens, & hoc non obstante, Terminos omnes non
determinari, ut in Exemplo sequente. AEquatio γ' maaq-bx-- exhibet directe Fluxionem 2 33 bH--T: quae si ducatur in 7, eva
haec est AEquatio fluxionalis involvens omnes Coessicientes quas involvit ejus fluens; in qua nihilominus primus Terminus Seriei non determinatur. Idem etiam ubique eveniet nisi adsit membrum in AEquatione quod nec involvit Radicem neque ejus Fluxionem quamliberi Sunt & aliae dissicultates quamplurimae haud minoris momenti, quas facile quivis Percipiet multiplicari in Fluxionibus inferiorum ordinum rnam in Fluxionibus secundis, Termini duo ab invicem neutiquam pendentes possunt esse indeterminati, & tres in tertiis ; & sic porro. Caeterum accidit haud raro omnes Terminos determinari ex AEqaatione etiam involvente Fluxiones inferiorum. Ordinum. Et omnia quae hic dicta sunt de Fluxione cujus mens nota est, etiam vera sunt de Fluxioniabus quarum fluentes sunt ignotae.
89쪽
Radix aequationis cujuscunque est quantitas, quae scripta pro litera
denotante Radicem, essiciet omnes Terminos AEquationis resultantis evanescere. Termini autem duobus tantum modis possunt evanescere, vel per signorum contrarietatem in membris homologis, vel etiam ubi reperitur quantitas constans in fluentet, eadem enim nullum relinquit vestigium in Fluxione. Ut si sit 3 m Ax'; erit γαπn Ax- , 3 nista n Ax ' , si sit x O, evanescet valor Fluxionis primae; si sit --n m O, id est, n m O, Vel n I, evanescet valor secundae; idque absque aliis membris homologis quae eas destruere possint. Et haec sunt principia per quae enodandae sunt dissicultates universae quae Occurrunt in resolutione AEquationum fluxionalium. Proponatur AEquatio resolvenda r ' γ' - r κ' - x o , vel posita unitate Pro x, - γ'. Per Parallelogrammum vel alias Newtoni methodos, invenies Radicem
Hujus enim quadratum scriptum pro γ', & Fluxionis quadratum pro γ' essiciet omnia membra AEquationis resultantis sese destruere per
hoc igitur in casu evanescit membrum r* Ayx' in quo x est minimarum dimensionum : eaque de causa erit Ax sive constans quantitas A pri
mus Terminus Seriei eo citius convergentis quo minor est A. Atque hunc computum prosequendo inVenies per methodos vulgares γα AXI.
Sed quantitas A ex aequatione Fluxionali non determinatur. Quod IAEquationis r V- ρ* 1 , capiatur Fluxio habebitur 2 33 -ῖγγ, vel dividendo & transponendo 1 γ Φ 3 - O. Ponamus jam essu γ.Ax',1 erit
90쪽
erit ira n A A' '' , & 3 G Ax' φ, quibus substitutis, proditis, GYr Ax - A x' α Ο ; ubi patet indicem n - 2 non comparari posse cum indice n; & proinde nullam Radicem illa methodo erui posse. Attamen ponendo Coefficientem - n m o, habebitur n - o,& n m I ; adeoque Potcst A vel Ax escte primus Terminus Seriei, uti
Prior Series dat Sinum, & posterior Cosinum ex dato Arcu x. Estque Coesficiens A in posteriore aequalis Radio r. Etenim sive ponas 3 pro Sinu vel Cosinu, semper incides in AEquationem r*, Σα ry γ , quae nulla Radice explicabilis est praeter duas jam exhibitas. Ex hoc autem Exemplo notare licet formam Seriei semper determinatam esse ex aequatione, etiam si Coelficientes non determinentur. Et ubi Coefficiens cuiusvis Termini non determinatur, index ipsius x in eodem semper in-Venietur ponendo membrum aliquod AEquationis resultantis aequale nihi- Io. Ubi vero Coefficiens Termini determinatur, index ipsius x in eodem invenitur per comparationem duorum indicum in AEquatione refultante, idque per regulas Newtoni. Resolvenda sit aequatio xγ-x' 3 mo, ubi x fluit uniformiter, ει unitas scribitur Pro ejus Fluxione. Finge γ Ax' Proxime, eritque γαzn Ax' I, 3 - n n - n A x ' : quibus substitutis in AEquati one resultat is is is AN a a nn A x' in o. Pone jam Coefficientem Z-η O, & Prodibit AMO, Vel 1im I : hi valores substituti pro σin AEquatione, exhibent
rum dimensionum, concludo esse O Vel I, indicem ipsius x in primo Termino Seriei quae convergit eo citius.quo minor est x: adeoque usurpare licet
In AEquatione resultante istiG AA 'R Φ aa his Ax' m O, pone nunc Coefficientem nnio ; eritque n et in a: scribe igitur Φ &-a