Methodus differentialis, sive Tractatus de summatione et interpolatione serierum infinitarum. Auctore Jacobo Stirling, R.S.S

61쪽

Summatio Serierum.

Per Propositionem praecedentem quantitas ' is i 1 prOXime mmetiis est Seriet S. Sit ergo S m ' ' T q-Sa accurate, & in-

Ta AEquationem ad Terminos Seriei Sa: ex qua data, per

Propositionem priorem eruitur quantitas - '

Comperies quantitatem - Τ3 proxime aequalem M-riei Sa. Et sic porrio proceditur. Igitur primus Terminus. in valore ipsius S proxime aequatur ipsi S ; atque Terminus secundus proxime aequatur ipsit Sa ; totius vero Proxime aequatur ipsi S3 ; & ita in reliquis: hoc est, Terminus primus proxime aequalis est Seriei cujus valor quaeritur ; secundus proxime aequalis est d eectui primi Termini a vero; tertius proxime aequalis est defectui duorum primorum a vero ; quartus proxime aequalis est defectui triuro primorum a vero; & sic deinceps. Igitur valor summae 5 est verus & Celerrime Convergens. E. D.

Corollarium. Abrumpet valor Seriei S hic exhibitus, ubi n vel m η--1 est nihil aut numerus integer & degativus: atque in aliis casibus abibit in infinitum ad veritatem quam cel rime accelerans praeterquam ubi, propter m nihil aut negativam, vatur Seriei est infinite magnus. Ex EMPLUM I. Quaeratur valor geriei intio definiens relationem Terminorum est T vis id existentibus

62쪽

tibus 2, 3, 5, &c. valoribus indeterminatae T. Haec autem collata cum AEquatione in Theoremate dat m n n. . I, quibus scripti prodeunt

Εκ hoc computo habemus Sm .O95I.6633.568I.6857.4, quae ad jecta aggregato initialium, exhibet 1. A 9.3w6.68 8.226 .3 .pro 'alore Seriei propositae. Ex EMPLUM I1.

bendo Valores I, 2, 3, 4, &c. successive pro z. AEquatio autem in Theoremate collata cum hac, dat mmi , n zzz , adeoque Tet m

63쪽

Per additionem reperies Summam decem Terminorum initialium esse I.39I6.946459 3. 288O.5 ; dein ut eruatur Summa reliquorum scribe II pro Σ, & Terminum decimum primum pro T, & habebis

S m. 179I.O168.O851.6O85.6 Addatur nunc S aggregato initi lium, & prodibit I . 57O7.963 2.6794. 8966. I Pro Valore Seriei, id est, Pro semiperiseria Circuli, cujus Diameter est unitas.

- 2.5

64쪽

Colligo jam novem Terminos initiales, quorum Summa prodit .5O55.OO42 7Ι8.3195.8, & scribens Io pro et, decimum vero Terminum pro T, habeo T .OO47 5565.5924. 79Ι.67

quae definitur AEquatione d Gκ T, existentibus r, et, 3 μ

&c. valoribus in determinatae succedentibus. Est vero m - ut L

Summa noVem Terminorum initialium est I. 2I 57.O599. 7ῆO6. Ia6o. 6. t ut habeatur Summa reliquorum, pone Io pro z, & decimum' Terminum pro T, ac per computum obtinebis

65쪽

s 8 Summatio Serierum

S m .O953.2277.9839-9238.1Adjiciatur jam S aggregato initialium, & obtinebis I.3IΙO. 2877.7I46.O598. 7 Pro Valore Seriei, id est, pro longitudine Curvae Elasticae, modo in lineam rectam extensa foret. Hunc autem numerum determinavit Bernoullius consistere inter limites I.3O8 & I.3I5. Quod si longitudini Elasticae adjiciatur sua Ordinata, habebitur numerus I.9IOO.9889. 513. 8559 8 qui est semiperistria Ellipseos habenti; 1 & Ua pro Axibus. Et haec Exempla sussiciant; haud enim immo ror Seriebus quae per hanc Propositionem summari possint accurate.

SCHOLION. Hoc Theorema nullo fere negotio exhibet Areas Curvarum binomi

alium quarum ordinatae continentur sub forma x κ . in unieci

tamen casu, scilicet ubi est e Ux' m o, sive hoc est in eo

casu in quo Series Pro Area convergit lentissime. Sed ubi Areae non producendae sunt ultra Octo aut novem figuras, lassicit quaerere Summam quatuor Terminorum initialium, nam S dabit eam reliquorum ex imo labore; imo si nulli Termini initiales colligantur, sed inchoetur transmutatio ad primum Terminum, valor ipsius S approximabit ad valorem totius Seriei sat celeriter. Series autem in Theoremate, redditur generalior, atque extenditur ad casus qui ad Quadraturas non attinent, ut sequitur. Ponatur

Sit AEquatio ad Seriem T i

66쪽

quit cum Vm X-T, ea scilicet in Propositione; in qua

utique sunt duo factores et n, Ω Σ-n-- I unitate disserentes, quorum alter est in Numeratore, alter in Denominatore: quum tamen in Λquatione Propositam Seriem definiente differentiae factorum in Numeratore &

Denominatore sint . Igitur multiplico factores in se, & pro-

cum altera comparans, habeo m Q, n m 2, & hisce scriptis oriuntur

67쪽

Summatio Serierum.

se jam aggregatum sex Terminorum initialium, idemque prodibit .6IO6.68I8. 2373.O. Tum substitue septimum Terminum pro T, &valorem septimum - pro et 3 & per calculum invenies T M.OO36.3492.9656 63

S .O259.5Ι58.9994 3 Inventa hoc modo S, eadem addatur Summae initialium & prodibit .6366.1977.2367.3 pro Valore Seriei propositae. Si vero unitas divida tur per hunc numerum, quotus dabit Aream Circuli. Et eadem rati One transmutantur Series quae definiuntur AEquatione hujusmodi I Σ' - ' - vel etiam generaliori. Et notandum est mquationem in Scholio T -E UT, non ad pauciores casus ideo eκ- 'Hii in N ineratore fesit membrum in quo et est unius dimensio senaper tolli potest mutando principium Abscisse, eo que pacLO Theorema redditur simplicius. PROPO-

68쪽

PRopos ITIO XII. Oporteat transmutare Seriem de nitam AEquatione hujus formae

in aliam celerrime conbergentem. Assume m - c-TTI - η m I atque per Proposi-

tionem decimam erit m N :T Proxime aequalis Seriei. Sit itaque quantitas illa primus Terminus Seriei transmutatae: & ad inveniendum secundum, ponatur S m T -b Sa ; deinde per Propositio

nem nonam quaeratur AEquatio ad Terminos Seriei Sa ; & ex illa eliciatur quantitas Proxime inqualis Seriei Sa, eodem Prorsus modo ac ap

proximatio ad Seriem S prius inventa fuit; & quantitas illa erit secundus Terminus Seriei transmutatae r ac progrediendo super hisce vestigiis, invenire licet Terminos sequentes tot quot volueris. E. I. Ex EMPLUM L

3.3 5.9 7. 27 C9. SI II. 2 3&e. quam adhibuit Halleius in Quadratula Circuli. Relatio Terminorum definitur AEquatione ad Η-3TU i m O, in qua valores ipsius et I 3 5 7 sunt T, &c. Comparando autem hanc cum AEquatione in Problemate, erit' S, sino, b in O, c r, dmo; &indem

Finge S m i X T sa, tum scribendo valores variabilium se

cedentes

69쪽

62 Summatio Serierum.

cedentes pro antecedentibus, proveniet S T- - κ

-T . Sed

bendo quantitates variabiles posteriores pro prioribus, emerget T 2 -

Per Valorem ipsius. Ta antea repertum est T - - - κῆ ἰκῆ ΞκTa. Denique aequando hosce duos valores, Termini T, prodibit

70쪽

Mwwatio Serierum.

Et simili processu, ponendo S3 m 'κ T3 S , invenies

transmutata ad libitum producetur. Sed jam Terminorum progressio P aret, existentibus