장음표시 사용
61쪽
te Α - Α , se ideoque in subduplicata ratione resistentiae incrementum resistentiae data temporis particula sacrum per lineolam, L et e temporaneum Velocitatis incrementum per lineolam P Q; et centro C
asymptotis rectangulis C A, C H describatur hyperbola quasvis B US, erectis perpendiculis A B, o occurrens in B, Ν, o Quoniam cest ut iri, erit hujus momentum ut illius momentum APQ id est, ut Aii K , nam elocitatis incrementum per Μotus Leg. II. Proportionale est vi generanti Κ . . Componatur ratio ipsius m cum ratione ipsius m et Aet rectan
rectangulum AE ratio ultima, ubi coeunt puncta, et L, est aequalitatis. Ergo area illa hyperbolica evanescens est ut A Ρ. Componitur igitur area tota hyperbolica A Boi ex particulis volo
citati Α Ρ semper proportionalibus, ' et propterea spatio velocitate ista descripto proportionalis est. Dividatur jam area illa in partes aequale2
itteris transpositis hanc sententiam invoisentibus. Data inquationequcucumquesuentes quantitates invianenιe, furiones invenire, et vice vers4 eam dem celarem rescripsit vir clarissimus se quoque in ejusmodi methodum incidisse, et methodum suam communicavit a mea vix abludentam Praeterquam in verborum et notarum formiais, et idea generationis quantitatum. Utriusque fundamentum continetur in hoc Lemmate.
1 et 3. Lem. ΙΙ. hid est, ob datam Α C; mest ut A P, P; et quia velaeitatis incrementum P Q, dato temporis momento genitum persum. Leg. II. proportionale est vi generanti
'D Et propterea spatis Horitate ista descrimi proporιionalis est dato enim temporis momento, spatium descriptum est ut velocitam 12 . Erunt in progressione geometri . 379.
simili argumento. Exponatur Enim vis gravitatis per datam lineum Α , resistentia per lineam indefinitam xl vis absoluta in scensu corporis per summam C l, velocitas Corporis per lineam At quae sit media proportionalis i toris 1 et A C, ideoque in subduplicata ratione resistentiae decrementum resistentiae data temporis particula factum per lineolam Ia, et comtemporaneum velocitatis decrementum Per Itaneolam pri et describatur ut supra hyperbola
Bis quoniam Al est ut Αν erit hujus in montuma Lucillius momentum iniri, id est, ut A in I C; nam velocitatis decrementum vi per Μω. Leg. II. proportionale Est nerantia , componatur ratio apsius E cum aiatione ipsius lis et siet rectangulum k I, Lo ut
62쪽
gumento, in ascensu corporis, sumemti, nil contrariam partem puncti A, aequales areas Arami, i mn ano , &c consevit quod vires absolutae C, PC, DC, PC, &c sunt continue proportionales. Ideoque si spatia omnia in ascensu et descensu capiantur aequalia; omnes vires absolutaei P c. erunt continue proportionales. Q. e. d. Corol. 1. Hinc si spatium descriptum exponatur per aream hyperbolia eam Aram K exponi possunt vis gravitatis, Velocitas corporis et re
sistentia medii per lineas respective; ' et vice
Com 2. t velocitatis maximae, quam corpus in infinitum descendendo potest unquam acquirere, 'hexponens est linea A C. Corol. 3. Igitur si in data aliqua velocitate cognoscatur resistentia medii invenietur velocitas maxima, sumendo ipsam ad velocitatem illam datam in subduplicata ratione, quam habet vis gravitatis 'had medii resistentiam illam cognitam.
APRICκ Io, hoc est, ob datum rectangu ' Exponens est A C. Rat enim A Plumes C, i , ut A p. Ergo Euntibus in C, et quia per eonstri P - Λ, punctis , t area hyperbolica Emo I - ΕΙ π A C erit etiam Λα -- , id quo mi Lo est ut Λ p. Componitur Utur area tota idente ordinata in eum asymptoto C Rhyper liea in B od ex particulis Eni 1 velo area hyperbolim Aram . infinita evadet, et citati Λ p semper proportionalibus, et propterea spatium descendendo descriptum huic propo
spatio velocitata ista descripto proportionalia tionale erit quoque infinitum, gravitas Vero, mes Dividatur jam area illa in partes equide sistentia a velocitas emporis exponentur Per tu ΛΒ mi; imn h hnol, c. Et vires absolutae naam Λ , eritque proinde resistentu gravitati C, i DC, - erunt 4 progressione aequalis, et propterea velocitas Α C maxima. geometrica e. d. Ad mea resiluerulam tuam minuam. sic seria. Simili modo si in ascensu Cum enim velocitates sint in subduplicata r emporis, spatium usque ad mollis extinctionem tione remstentiarum per Hyphet resistentia ait describendum exponatur pae aream hyperholicam gravitati maualis, hi velocita maxima est, per B na Exponi possunt vis gravitatis, velocitas Cor. 2. velocitas maxima erit ad velocitatem da-eorporis et resistentia medii per lineas Λ , Λ p, tam in subduplicata ratione gravitatis ad mediici resistentiam illam cognitam.
63쪽
Misjam demo erauis, die qu)d, si tangentes angulorum sectoris cir ω-ris e sectoris hyperbolici sumantur velocitasibus proportionages, existenter Disatae magnitudinis erit tes usi me ascendendi ad locum mmmum in secto circuli, et tempus omne descendendiis loco summo in sector MFeissae.
Rectae A C, qua vis gravitatis exponitur, perpendicularis et aequalis ducatur A D. Centro D semidiametro A D describatur tum circuli qua drans Mia tum hyperbola rectangula A V Taxam habens A X, ve
ticem principalem A, et asymptotoni C. Ducantur Di, D P, et orit sector circularis A i ut tempus omne ascendendi ad locum summum. et sector hyperbolicus A i ut tempus omne des sidendi a Ioeo sum mo: Si modo sectorum tangentes A P, Α Ρ, sint ut velocitates. s. I. Agatur enim D AE abscindens sectoris Amri et trianstuli Di momenta, seu Particulas. quam minimas simul descriptas imis t. p. Cum particulae illae, ob angulum communem D, sunt q) in duri,
4 In dupli te ratione laterum Nam duo triangula evanementiam o eis, eo punctori ducatur ad Di lineolari r Paraselo similia sunt et in ratione duplicata latinati D
64쪽
tatis decrementum quam minimum pri directe, et vis illa o quae velociatatem diminuit inverse atque ita ut particula temporis decremento velocitatis respondens. Et componendo fit summa particularum omnium D, in sectore Amri, ut summa particularum temporis singulis velocutatis decrescentis A p particulis amissis respondentium, usque dum Mocitas illa in nihilum diminuta evanuerit hoc est, sector totus Amri est ut tempus totum ascendendi ad locum summum Q. e. d. Cas. 2. Agatur re V abscindens tum sectoris D A , tum trianguli
rex particulas quam minimas m V et et erunt hin particulae ad invicem uti in ad D Ρ', id est si T X et Ai parallelae sint)ρ huti in ad D Ari vel minis1 Ρ', et divisim uti in T in ad D A . A rq Sed ex natura hyperbolae D Xλ -ΤX' est Amri, et per hypothesin Airi est A D, A K. Ergo particulae sunt ad invicem ut AD qad AD. AD AK; id est, ut AD ad AD - ΑΚ seu AC ad K ideoque sectoris particula is est
danatae ut latus transvorsum est ad latus rectum, haec vero hyperbola est aequilatera erit
65쪽
PHILOSOPHIAE NATURALIS mT CORPOR.
incrementim Velocitatis directe, utque vis generans incrementum inverse; atque ideo ut particula temporis incremento respondens. Et componendo fit summa particularum temporis, quibus omnes velocitatis Al particulaer generantur ut summa particularum sectoris A m, id est, tempus totum ut sector totus Q. e. d. Como I. Hinc si B aequetur quartae parti ipsius A C, spatium quod corpus tempora quovi cadendo describit, erit ad spatium, quod corpus velocitate maxima Α C eodbm tempore uniformiter progrediendo descriabere potest ut area Aram Κ, qua spatium cadendo descriptum exponitur, ad aream , D, qua tempus exponitur. Nam cum sit A C ad A P
ut A Wad A C hoc est, ut velocitas corporis cadentis ad velocitatem
66쪽
maximam quam corpus cadendo Potest acquirere. Cum igitur arearum
ABNKo ATD momenta ΚΝΟ et DTV sunt ut velocitates, erunt arearum illarum partes omne simul genitas i ut spatia simulta scripta, ideoque areae totae ab initio genitae ABNKet ATD ut spatia tota ab initio descensus descripta e. d. Corol. 2. ' Idem consequitur etiam de spatio quod in ascensu descrutitur. Nimirum quod spatium illud omne sit ad spatium, uniforini cum velocitates C eodem tempore Macriptum, ut est area A B na ad sect rem Amri. Cores. s. Velocitas corporis tempore A m cadentis est ad velocit
tem quam eodem tempore in spatio non resistente acquireret, ut triangu
lum MPm ad sociorem hyperbolicum A m. Nam velocitas in medio non resistente pys et ut tempus A m, et in medio resistente est ut Α Ρ, id est, ut triangulum Aim Et velocitates illa initio desce
sus aequantur inter se, perinde ut areas illa A m, A WD. Corol. 4. Eodem argumento Velocitas in ascensu est ad velocitatem,
'h Idem consequitur, &c. adem estim sim demoriatratio, si lac Λ, et Q. P substituantur Α histri , et ad primum demonstrationis
9I Coro Velocitas is emporis in medio resistent ascendentia ad maximam altitudinem Bisa, si a volo temo P corporis in eodem medio, quiete descendentis per aequale um A m, ut secans anguli Ami ad radium, aut quod idem est, ut tangens a guli Ami, ad ejusdem sinum. Quoniam enim
Q. E. a. Fore ut temptis A m. Cresceret enim uniformiter, ideoque ut tempus 25. Lib.
' Ostoritates siue inuis descensus inquar tur inger se ob resistentiam respectu gravitatis millam, ubi velocitas nascitur. Cum igitur mi inins in medio non resistenta sint semper i iis a. ut areae A i, et in medio resistenta sint ut triangula VP D, erit velocitas in medio resistEnte tempore finito A T D aequisita ad mlainaisma initio descensus in eo medio resistenis
ut triangulum finitum MPm, ad trianguium
nascens Λ P D, et erit vel ita initio descenatis in medio non resistente ad velocitatem in eodem medio tempore finito Aram aequisitam ut area nascens aequalis areae nascenu Pi ad aream finitam VT D quare ex aequo Velocita corporis tempore finito A me entia in medio resistente est ad velocitatem quam eodem tempore in messio non rosistent cadendo acquireret ut triangulum VP D adsectorem hyperbolicum D. Eodem argumento. . Nam velocitas in medio non resistentariore ut tempus D, et in medio resistente est utini, id est, ut triangulum Api ob datam MD, et velocitatos illae in
fine ascensus ubi evanescunt aequantur inter se,
Perinde ut areae evanescentes D, D; est autem triangulum ApD-4 ADNAp, et sector circularis AtD, ΨΑ DXAt. Quare D est adinam, ut A p ad A t. 92. Hinc si velaritas ascensi, in medio resistente velocitati maxima A C aequalis fuerit, erit velocitas seu A C, ad velocitatem qua
e pus eodem tempore in spatio non resistento omnem suum ascendendi motum amittere posset,
ut triangulum VC D, ad oetantem circuli, sive ut radius ad octavam partem peripheriae, aut quod dum ast, ut quadratum circulo circum- seriptum ad circuli aream. Dum enim fit Ai- C, triangulum ii sequatur triangulo C D. et sector Arim, octanti inevit, idemque areus δε est pars octava Peripheriae, et
triangulum mi est ad sectorem D, ut C ad areum praeterea triangulum C , -- - D, eat pars octava Mari drati reuis ineumscripsi
67쪽
qua orpus eodem tempore in spatio non resistente Omnem suum nam
dondi motum amittere posset, ut triangulin Aim ad sectorem circul rem Arim me ut recta Ai ad arcini LCorol. 5. st igitur tempus, quo corpus in medio resistente ad ovelocitatem Α Ρ, acquirit, ad tempus, quo Velocitatem maximam A C in spatio non resistente cadendo acquirere posset, 'hut sector ad triangulum Am C: et tempus, quo velocitatem At in medio resistente ascendendo possit amittere, ad tempus quo Velocitatem eandem in spatio non resistente ascendendo posset amittere ut arcus Aa ad ejus tangentem P
Cum animis P exmiat e matam tempore Tm in medio resistanto mutatam, sumatur vialis ut exponat velocitalem tempore eodem in medio non remstente productam, et erit per
eumque etiam A C exponat Elaestatem maxumam, eritis Y ad A C in tempus quo prior e laritas in massio non reaistento aequiri P test, ad tempus quo velatatas maxima Λ C in medio etiam non remstenta aequireretur, et ei tempus quo celarit in Y aequiritur, exprimatue Per aream ATD, erit ΛYMAC ATD ad aream quae exponet tempus quo Elocum maxima in medio non reaistente acquiritur, it
MΛY AC mae ATDt ad hanc aream, rite aequora P AC APD ad hanc aream. M summa ommuni altitudinem mos A Pad Caerum APD adtri. ADC, ego area quae exponet tempus quo RRima velocitas in medio non resistem acquiritur, eat area D C. Undo sequitur quod eo ua in medio resistente, velocitatem mimam A C aequire eadendo non potest nisi tempore infinito Cam
68쪽
mmo 6. Hinc ex dato tempore datur spatium amens vel deae descriptum. Nam corporis in infinitum descendentia datur vis citas io rima per Corol. 2. et S. Theor. VI. Lib. II. ' indeque datur tempus quo eo us velocitatem illam in spatio non resistente eadendo posset acquia rere. Et sumendo metorem vel Ama ad triangulum Am C in ration temporis dati ad tempus modo inventum dabitur tum velocia
sectorem Am T vel Amri ut spatium quaesitum ad spatium, quod tem-
resistente tempore Λ ti ramguenda est ad velocitatem eodem tempore in spatio non est imis extinguendam ut triangulum ii a saetorem D; et etiam ut tempus quo vel Elmini in otio non resistent extingueretur ad tempus quo altera velocita in patio non resistente extinguitur quod idem est cum eo quo velocitas in spatio resistente extinguiatur. Quare tempus quo velocitas Α, in spatio non resistente evanesceret est ad tempus rimquo in spatio resistente extingueretur ut tria gulam Aim, ad sectorem sive inrigans p ad mus arcum A, Patet ergo pro ai
M. His tempus quo eo ua veloestatem Aiin medio resistente ascendendo amittere potest, est ad tempus quo vel itatem maximam A in patio non resistento Mendendo amitteret vel descendendo aequis et ut Metor circularia ti, ad triangulam seu ut are in t ad radium Λ D. Nam in medio non resistente velocitas Ai est ad velocitatem Λ , ut tempus quo generatur inextinguitur velocitas Ap ad tempus quo generatur vel extinguitur ci . AECA ApDiscidis A C, quod proinde erit ------
Λ C, hoe est triangu non igitur tempus quo velocitas Α Ρ, in m dis Eglaismo extinguitur, Exponatu Per aere rem Arii patet pro inum. M. Tempus quo corpus in medio resistente descendando acquirit vel itatem A P, vel asce dono amittit velocitatem Ai, est ad tempus quo eandem velocitatem in medio non resistento
aequirit ves amittit, ut sector WV in Da, ad triangulum MD P vel Ami, respectivλEtonim per Cor. 5. et noti A. tempus quo in medio resistente generatur Mest in P, es extinguitur Velocitas is est ad tempus quo in spatio non resistente generatur es extinguitur valocitas maxima Α , vel Amri, ad Am C; et tempus quo in spatio non resistent generatur Vel extinguitur velocitas A C. est na tempus quo generatur vel extinguitur in eodem spatio non resis ate, via ita VP vel
Ap, ut AC ad A va Ap, et sumpta e-muni Hurudinem Aut ADC ad APD vel pi. Quam ex aequo tempus quo in m
dio resistente generatur velatatas A P, -- tinguitur Mocitas Α p, est ad tempus quo vel cita eadem in spatio non resistent produtatur
o. d. m. a celaritas mis in medio resistent ascendentis maxima Λ C aequalia fuerit, erit A Dpem ADC, et sector circuli tana. Quare tempus quo corpua in medio malatetit ascendendo amittere potest velocitatem maximam A C est ad tempus quo eandem in spatio non resistenta amitteret, ut circuli octans ad triangulum Am C, hoc est, ut area circuli ad quadratum circumscriptum, seu etiam ut 8 pars peripheriae ad radium. ' m. Inasque dans tempus. Cum erum vires accelaratrices uniformes, in ut cloestates qua generant immo et tempora quibus illas generant invera I s. Lib. I. data vi ac teratrice uniformi qua corpus in medio quovis sollia citatur, seu data vis illi a ione ad notam quamlibet aliam vim mari ad eo orum terrestriam gravitatem dataque mul velocitat quam vis illa accoleratrix produxit, dabitur tempus quo velocitas illa data genita est in enim via a Maratri data ad vim notam gravitatis, ut a addi Moestas data vicissa a cleratrice tempore genita et Moestas quam vis gravitatis tempone quovis dato taenerati, erit RQ h - - : --
velis', et area e respondentes Aram , Bia, quae per tabulas Iogarissimorum immniri possunti 584. Lib. I. in est ad sectorem ADT, vel ADL Per Cor. I. et .
69쪽
poro dato, cum Velocitate illa maxima jam ante inventa, uniformiter describi potest.
Corol. Et regrediendo, ex dato ascensus vel descensus spatio
ABnk vel ABNK, dabitur tempus A sit vel Am T.
s7. Et egrediendo. Nimirum apienda est area ABnc vel ABNK ad triangulum D C in data ratione spatii dati Meensas via
descensus ad duplum spatii, quod corpus in m dio nonis latente cadendo deseribit ut velocit tam maximam a C aequirat, atque ita dabitur
ae velaritas ex his autem dabitur sector tua MD T, seu tempus per Cor. 5. . Nam spatium quod corpus in medio non resistente ea- dando describit ut velocitatem maximam Α acquirat dicatur A, tempua quo spatium illud describitur , spatium quod in medio resistenta deseribit ut aequirat velocitatem Λ P, ve a Nint velocitatem dientur , tempus v et sp tium quod corpus tempore illari et velocitatam xima Α unu miter progrediendo describit sit S et quia 29. Lib. I. corpus velocitate maxima A C uniformiter progrediendo, tempore ,
98. Si corpus cum Moestate quae aequana ait maxumae Λ , verticaliter proiiciatur Eorsum. aequabili motu descendet, ob resistentiam gravia tali aequalem et contrariam per Cor. 2. Prop. VIII hia minori eum velocitates itaretur, Exponatur velocitas illa per lineae A C partem A P. et motus corporis projecti idem erit ac alis quieta descendendo velocitatem datam A P, jam acquia sivisset et deinde pergeret moveri quam minua projecti in hoc casu ex superioribus facile dete minabitur. 99. Veram a projectionis velocita tarminalix major est, constructiones Propositionum VIII et IX. mutanda erunt. Et quidem comstructio Propositionis 8 sic mutanda Deacri
ta inter asymptoto orthogonides A C, C HAEDpethola qualibet S mi Producatur a Pt
tus A C in a. et ex natur is gravitatis peri tam Iineam a C resistentia initio moto per Iuneam in resistenti elapso quo in tempore per
lineam indefinitam A. Velocitas corporis per lineam a P quae sit media Pr ortionalis intera K et a C, ideoquet in subdusei in ratione re.
70쪽
Docrementum Matentiae data inmporis particula factum per lineolam i et eo temporaneum velocitatis decrementum per I aeolam M. Quoniam a Reat ut a P , erith jus momentum K L, ut illius momentum 2 a P in id est, ut a P in K C. Nam velocitatis deo
mentum permoti Leg. II. proportionale est vi generanti K C, quae Est exemina reai tentiae a K, upris vim gravitatis Compo
natur ratio ipsius K L eum ratione ipsius K N. et fiet rectangulum LX ΚΝ ut a P κ C, K N, hoe est, ob datum rectangulum C, K N, ut a P ergo rectangulum eisne eam, ram , hoc est, area hyperbolica N i. est ut a P. Componitur igitur area Mari perholica a Boi ex particulis Κ, O L, vel isti a P semper proportionalibus, et minterea spatio velocitate ista descripto proportion lis est. Trividatur jam area illa in partes
ae erunt in Progremione geometria Si spatium descriptum exponatur per aream hyperholicam A BFK, exponi pomunt visar ritatis, velatata eo oria et resistentia modii per lineas a C a P a K. Hopositioni s constructio in hanc abiti caeteris ut in figura et construetion sup riori manentibus, capiatur a F madia r portionalia inter a C et ais, et ideo velocitatem pre Eetionis initialem exponens, -- pleto quadrino, nuo D descri-hatur Thola rectangula Em T , -- miaxem transversum habens D E verticem
principalem , et asymptotum D C. Iungantur D , D P hyperhola occurrentis in G in T, Et erit sector hyperbolieus G D Tut tempus descensi per spatium Α B M. Agatu enim D VM inscindens tum secto
-- , atque ideo ob datas a C et a D,
Qui , , id est ut Meremonium velocitatis dumeta utque vis generana decrementum invera atque ideo ut particula temporia
decremento velocitatis map-Pur ularum temporis quibus
omnes velocitatis 3 partieuis P Q extinguuntur, ut summa Partieularum saetoris G D Rid est, tempus totum ut sector totus e. d. I . Coro I. Quoniam minridente puncto P cum C, mi
eum asymptoto D C, Itque eo Poris proiecti veloestatem a nonnisi descripto spatio infinito, elapsoque infinito tempore ser Possa velocitati terminali a
IOI Corol. 2. Si dignitas hyperbiam BAE seu rectangulum C Α, Α B. sic a ' sp
tium quod empus tempore quovis describit, erit ad apatium quod corpus velaritat terminali a Ceodam tempore uniformiter P grediendo deseri. re potest, ut area Aram Κ qua spatium d scriptum exponitur ad aream O D T qua tempus exponitur. Nam elim ait a C ad DP, ut a P ad