장음표시 사용
301쪽
Intervalli inta particula modii eum motu muni cum puncto A seriantur, esse ubicumque eamdem et aequalem dimidio spatio ab A d acripto dum B celeritatem, aequirit.
Nam elimis his id dimidium spatium d
seripserit et B semel dum B communem cum Amotum suscipit, contrahitur spatium inter A et
B dimidio illo spatio A proe sit is illo dimidio
spatio et C semel dum C communem cum Bist motum suscipit ergo intervallum inter A et duplo ejus dimidii spatii diminutum eat, sed inter et C duo sunt particularum intervalla A et B, B et C et primum intervallum est contractum dimidio illo spatio, ergo intervallum inter B et eodem dimidio intervallo diminutum esse de-het, teque de caeleris.16. Ideo si quolibet tempore elapso sumatus via tota puncti Α, ea via aequalis erit summae diminutionum intervallorum inter omnes Pari eulas ad quas celeritas m eommunicata fuit cum ergo motus puncti A sit uniformis, uniformitor
etiam crescit numerus Particularum ad quas -- Ieritas m communicatur; et numerus earum Pa
ticularum aequalis erit viae a puncto A percursae divisa per diminutionis intervalli unius quanti
I .manent autem fluido eodem, sed mutata celeritate puncti Α, tempora quibus puncta su cessiva medii celeritatem eius unetiis suscipiunt eadem tamen manent: nam si in formulax ra . qua determinatur quadratum temporis quo punctum B recipit celeritatem puncti A substituantur loe m et a quantitates ipsis aequipollentes, formula haec fiet quantitas Constans manente laterio medii et intervalla particularum quaecumque sit velocitas puncti Α; etenim dicatur vis, astica medii, quoniam, ex hypothesi Problematis hujusca, uniformiter gere censetur tempore quod exprimitur per a ut celeritatem a generet, eritis Praeterea quoniam particularum intervallum Ba - - λ57 ta dim
quae quantitas, Reeonstantes tantum continet a celeritat m independentes hinc tempus quo punctum B celerutatem puncti A recipit idem est quaecumque ait velocitas puncti A idem demonstrabitur de tempore quo unctum C eam celeritatem recipit, nam habet noti s. rationem constantem ad tempus quo punctum B eam celeritatem acquirit,
est nempe ad id tempus ut 3 ad 2 et ala de ea teris punctis Q. E. d. 18. Diminutiones intervallorum inter pinea medii Elastici manente eodem fluido sunt ut laritas puncti A nam spatium x percumum Puncto A tempore quo certa quaedam particula medii elastita celeritatem, recipit est semper m , x designante tempus quo illa particula medii Heritatem, suseipit sed illud tempus est constans n. I . hujusce riuatarumque sit celaritas uncta A, ergo spatium Α, eat aem rut velocitas m; aed illud spatium xaeat summa diminutionum intervallorum inter partes ad quaseeleritas m pervetiit n. 16.), singulae autem diaminutione sunt aequales n. IS. Ergo inguim diminutiones sunt ut illud spatium A a, sive ut
Is sit vice versa, numerus Partium e myr sarum quae dato tempore celeritatem puncti Α, ceperunt est semper idem quaecumque sit puncti velocitas; nam ille numerus est ut spatium a divisum per unius partis diminutionem, P tium Α, dato tempore est ut celeritas puncti A. diminutio unius partis est etiam ut in celerit ;Ergo numerus partium quae dato tempore celeritatem puncti A receperunt, est ut celeritas percaleritatem divisa, hoc eat, in ratione e stant,; unde in diversis temporibus numerus Particul rum ad quas celeritas m pervenerit, erit directa ut tempus.
m. Quod si partietam data celeritato iam si
dimotae, et certum gradum Compressionis aUM
perint, Postea vero nova velocitas addatur vesdetrahatur iuncto a novus ille celeritatis o dua eodem tempore ab una particula ad aliam Propagabitur quo prima celeritas propagata fuit,
in hypothesi quin tam velocitas in quam haec nova velocitas addititia exigua sunt idque hoc
modo demonstrari potest. Fingatur omnes particula prima celeritain motas et compressas in navi positas viae quaeri a particularum earum celeritate feratur, ita ut illas particulae in ea nave respectivd quiescant, urgentur vero prima pars per excearum novae celerit iis super primam, communicatio istius excessua
celeritatis ad omnes partea in nave positas ut et nova compressio particularum determinabitur ut in praecedenti Problemate, mutatia Pleritate, intervallo particularum medii, et eius elasticitate; at ergo prima celeritas fuerit ut prius m a tempus quo intervallum particularum A me cel ritate pereurrebatur ideoque si Α - - sit ut prrus a velocita genita tempore a Per vim elasticam medii in statu naturali considerati et uniformiter genus, inventum est quod tempua quo punctum B celeritatem, aequisiverat erat
Q- n. Ita quin spatium x interea a punctora descriptum erat, a Q -- et vinum is erat . 428, ita ut eompressio particularum sit xx. Bχ-572 κ
ter partieulas in nave positas erit m aκ l- a 2κω - - autem vis Hasue prior ad vim
elasticam novari invere ut partium intervalla,
e sua novae velocitatis super priorem dicaturi, temPus quo novum intervallum inter partiet
las describ eturus hanc celeritatem ab erit
302쪽
quo inua intem allum mades hebatur velocitatam debet eam ad istud tempus direct ut intem alla
ut velacitates m et n. Denique, subtange a garithmima quae designabatur Per a in emu oro, est in isto N eam enim designet vel euntem uniformiter genitam in elaterio, tempora quo intervallum particularum describrtur, est directo ut vis elastiea et ut tempus, habetur ergo
In seriebus ergo supra inventia loe meton
turn loco a ponatur-κ I-.572w--θ; loco a Ponatur , et tempus quo Punctum celeritatem n aequirit, invenietur substituendo hos via ea in sermula a QV---J
3. 57 Ideoque tempus a se quo in Praee denti casu punctum B acquisahat Meritatem , est ad tempus quo in eas aequirit Elerit tem n ut 1 ad 1 45 2, - , ad haec malo, existent m quantitate minima ut sup auso fert, est sere aequalitatis. Quare nova el
ina, sive ex mus novae celeritati sum Praec
dentem, propagabitur ad punctum proximum taedii e se eodem temporis intervallo quom edens eleritatis gradu in eo puneis genitus morat, id quo etiam ad puncta sue aiava iisdem temporibu perveniet. 21. Si par datum aliquod tempus primum punetum A medii Elastici eo tanti alaritate msuerit motum, postea urgeatur maiori celeritatem his durant aequali tempore, omnes Parile lae quae primam celaritatem ma ceperant, altero isto tempore coleritatem novam m H ---pient, et interea totidem particula ulterioris priorem celeritatem m accipient; nam increme tum celeritatis mad eas omnes particulas a prima propagari potest data tempore, ad quas eo ipso tempore celeritas m propagata fuerat hujus min. Interea vero uniformiter propagata sui ae velocitas pristina m ab ultimis particulis quae eam sua parant ad totidem ulteriores sileaquam malum at aequalia tempora velocitas cream totidem formabuntur portione medii elastici, aequali numero partium constantes, quae sume sivm illas eleritates habebunt, portio prorima puncto A ultimam Eleritatem habebit, a unda penultimam, et ale deincepa. 22. Hinc si medium elaatieum inmatur P. me salvos velocitati gradus, imprimi potest ua Partibua velocitas satis magna ut sensibiliter in aures agat nec tamen excitetur in medii ela tiei partibus saniabilis ea vibratio quae juxta n. II. Meretur si simul et semel tota illa via itas ipsi imprimeretur; et hine intelligitur differentia in
ter aerem sonum generantem, erem sonum Pr
Pagantem, et aerem ventum deserentem ai maycvel ita partieuis aereas imprimatur, Partua ipsi proxima tremores suscipit, fitque punctum onorum; si velocita minor excitetur quaste natana maneat nec Per gradus augeatur aer uniformiter inruasertur et si ventus; sed si ab exigua velocitate ad magnam assurgatur, fieria particulae sue salvo illos gradus recipiunt, et quia singula velocitas accri in est exigua trem ma Enaibilis non excitantur in particulis areis, quae velocitatem illam magnam auscipiente et ad aurem deserente sensationem soni produeunti M. Si autem velocitas nova minor sit vel iatate Praecedente, eodem modo eo tabit quod decrementum illud velocitatis eodem tempore ad proximum punctum transibit quo praecedens v Ioeitatis gradus ab eo aequisitus fuerat, et ad successiva puncta iisdem etiam temporibus e veniet quibus priorem celeritatem acquisiverant,
imo solutio per constructionem Problematici mus producta lagarithmica ultra punerum quaeri potest, eademque obtinebun- ac prius. M. Quibus positis intelligitur emetus lar tionis fibra flexa et redeuntis in aerem. Primus Casus Dividatur tempus ejus reditus in partea aequales quam minimas, et durante singula temporis parte, fibrae velocita uniformia manere naeatur. Prima velocitas, ad certum numerum partium dato eo tempore maununicabitur qui partium numerus dicatur, altero instantiaeeunda vel tiss.dem partium numero, e-- municabitur dum prima velocitas ad totidem particula ulterioris N porveniet, artio instanti Primus partium numerus N tertiam velocitatem habebit, ulterior numerus Uaeeundam vel est tem numeruam adhue ulterior primam hinc ergo si fibra dimidiam vibrationem a viverit, hoc es ultra alatum auum naturalem dis merit quantum potera, erunt in aera totidem succinatum Portiones, quae Particulas numero, eontinebunt, quot me salva via tales erunt genitae, et Pamtieula remotissimas a fibri primum Meritatis gradum habebunt, Proxima fibrae ultimum m dia vero medium, qui maximus est diminuti ne intervallorum eorrespondebunt illi celer tum gradibus, ut sint minima tam in particulisa fibra remotissimis, quam in particulis pia Proximis, maximae in mediis
Regredient fibra indam omnino lex hae vinitur, nisi quod parte aeris fibrae proximae retro movebuntur et compressioues in dilatationea
303쪽
mulinuntur, dum in portiones variores medii laritate primo re prae P agantur, ideoque tota vibratione absoluta numerua partieularum agitatarum duplus erit eius quem in dimidia uisatione notaveram , pars dimidia remotior est plane aequalia illi de qua primo actum ast et aumiliter eonstituta, pars citerior vero negativam .eeleritatem obtinebit et dilatationem eius citerioris partis portio remotissima a fibra primum M itatis fibras regredientis gradum habebit, et portio fibras proxima ultimum quietem nempe , media portio medium, hoc est retrocedet ea im teritate qua medium ulterioris partis procedit et dilatationes illis celeritatibus negativis ore opondebunt, ideoque in medio illius proximae portioni maxima erit dilatatio ut et maramus
Secundus Canis. Quod si singula tempus umibus durantibus velocitas fibras uniformis fi gitur, aequallia non sint, eidem ration intolligentur euectus fibrio in partes medii, nisi quod portiones medii quae inguli successivis velocit iis gradibus gaudin non sint aequales, sed pernot. 19. sint sicut tempora quabus durantibus
singulis illa velocitates in fibra permanserunt. Tertius Casus Quamvis autem fibrae velocitas nullo tempusculo uniformis maneat sed continuone laretur, Eodem tamen modo fibra age i medium ae si revera velocitas iis cresceret per intervalla temporis, et durante tempusculo quam
minimo sed finito uniformis maneret idque
Propterea quod intervalla inter particulas medii sunt finita quantitates non vero infinite parva; nam per notas 4 et 5 nullus motus ex puncto Ain punctum B transire potest, nisi punctum Aprocesserit finita quantulacumqua quantitate, ideoque, nisi fibra quae urget punctum velocitatem finitam in eo generaverit ut fert hyp thesis Problematis not. 9. pari ratiocinio ptinetum B non sentiet incrementa velocitatis puncti Α, nisi Postquam incrementum finitum velocitatis in eo genitum fuerit not. 5. et O, Ergo fibra agit in medium quasi singulo tempuscula aequali vel inaequali ejus velocitas uniformis perstitisset intelligitur ergo estectus vibrationis
fibra in aerem par primin et amundum ast mhujusce demonstrationis e. i. 25. Totum autem spatium euius particulae eommota sueriint diu ante integra fibrae vibratione amomono pulsu vomitu, et a vibratio absoluta fibra quiesceret, semper ulterius pris
garetur ille pulsus; nam totus ille putius Momento quo absolvitur vibratio divisus intelligatur in portiones totidem quot temporis interv illa in vibrationis duratione fuerunt assumpta, quae tomporis intervalla facilitatis ergo aequalia uin nantur, singula portio medii eam velocitatem habebit quam habuit chorda in momento ipsi r .Pondenti, ultima portio sive remotissima abraeam habebit celeritatem quam fibrahabuerat primoi tanti, penultima portio eam eleritatem habet quam fibra habuit sectando instanti, ripaeque
u vero tempusculo ultima orιio pulsus ad novam portionem sibi aequalem et ulteriorem suam
velocitatem propagabit hujus i. dum ipsa
suscipiet penultimae Portionis celeritatem, penultima vero portio eeleritatem antepenultimae, Ac., postea altero temporis inbervallo ad alteram novam portionem ulteriumui prima celeritas propagabitur, et secunda celeritas in prima portiona novi istius pulsus generabitur, sicque deinceps: novus ergo pulsus formabitur plane similia priori aequaliter extensus, aequali celeritate in singulis partibus donatus semota ut dixi consideratione partium eircumquaque Positarum remque conat-derando quasi de partibus in linea recta positia unice ageretur . 26. Ipse autem primus pulsus penitus quie cit quando in secundum totus transiit a nulla nova chorda agitatio succedat, nam celeritas portionis pulsus quae fibrae Proxima est succe sive ad sequentes portiones transit dum novus Pulsus formatur, sed celeritas ejus porthnis fibrae Proximae Est ultima fibrae celeritas quae in hae hyp est quies, sed ubi Pulsus secundus totus sermatus est, celeritas portionis pulsus quae fibras Proxima erat ad initium secundi pulsus est trana- lata et per omnes partes pulsus primi succesiave transiit, ideoque in quiet eas constituit in qua Permanserunt nulla succedente nova agitatione. 27. Quod si chorda novam vibrationem iaciat, ut evenit, restituetur primus pulsus aequalis praecedenti qualiacumque sit ejus vibrationis valocitas initialis, nam dividatur totius vibrationis hujus tempus in totidem partes aequales partibus in quas tempus primo vibrationis divisum fuerat, quod fieri. potest cum vibrationes sint isochronae, istae partes temporis aequale erunt iis quae in praecedenti vibratione assumpta fuerunt dato
autem tempore numerus Particularum Ompre
sarum est semper idem qualiscumque sit velocitas n. 9. hujusce . Ergo siquidem singulo
instanti dato totidem partes comprimiintur, totiademquo sunt instantia data in vibrationibus is chronis, pulsus ad totidem particulas in quavis vibratione isochrona extendetur.
28. Si per vel lintem pulsi, intelligatur eum Newtono) distantia ad quam pulsus extemditur divisa per tempus quo pulsus ad eam dia-
tantiam pervenit, δω pulsus in eodem medio se omnes aequiveloces quaecumque sit fibrast
Pulsum producentis vibratio id jam liquet da
vibistionibus isochronis in quibus tempore unius vibrationis ad totidem partes pulsus P Pagatur, ideoque aequale spatium aequali tempore Percu rit, postea vero idem Pulsus similiter Propagatur, sed id pariter verum est de vibrationibus eter chronis dividantiu enim inaequalia vibrationum tempora in totidem utrinque tempuscula minum quae totis temporibus sint Proportionalia, numerus partium compressarum singulis tempus-
eulis diversis sunt illis tempusculis proportionalea n. Is hujusce rideoque totis vibrationum temporibus proportionales, sed in singula vibrationo
totidem tempuscula assumpta Sunt ergo totus numerus partium quae Singulum Pulsum constituunt est proportionalis tempori vibrationis. Sed distantia ad quam pervenit pulsu est sem- Per numero partium Proportionalis. Ideo iuEdistantia ad quam pervenit pulsus est tempori vibrationis proportionalis, sed velocita pulsu est
distantia ad quam pervenit divisa Per tumPus quo
304쪽
M eam distantiam pervenit, Ergo ea velocitas Eateonstans. Ergo in eodem medio omnes ulvis sunt aequiveloces quod de sono per experimenta verum esse demonstravit Derhamus.
29. Quod si medium diversum sit, velocitates pulsuum erunt invers in ratione subduplicata densitatis et directe in ratione subduplicata via elasticae, quippe n. 7. hujus ydeprehendimus quadratum temporia quo celeritas puncti A tran- s. 57 Am . . .
ait In punctum B --- designanis Ampartaeularum intervallo et e vi Hasum, et unus miter Pro dere motum in pulsu ab una particula ad sequentem, sumantur ergo totidem pamis in utroque medio tempora quibus motus Pulsus a pruna ad ultimam perveniet erit ut
Velocita vero pulsus est directe ut spatium quod occupant illae omne particulae et inverse ut tempus quibus motus a prima ad ultimam transit, apatium vero quod occupant illa particulae cum
eulae, ideoque est velocitas pulsus ut me
. A B, Q L. Intervallum particularum est
inverse ut densitas medii rem considerando ut in n. 25. Hiisee ergo velocitas pulsus' est inversa in ratione subduplicata densitatis medii, et direet in ratione subduplicata vis Elasticae quod Prop. XLVIII. statuit NeWtonus).M. His de toto pulsu dictis, nunc de motu iangulae particulae pulsiis insorvandum est, in singula particula omnes velocitatis successivos gradus quos habuit prima particula A produci, et tantumdem temporis in ea particula durare. quantum in ea particulara, hoc cum diserimina quod tardius eos velocitatis gradus suscipiat quam particula Α, et quidem eo tardius quo ab ea mmotior est Primus Castis. Dividatur, ut prius, vibrationis tempus in tempus la et durante uno tempusculo aequabilis manem censeatur velocitas imprema particulae , fingamus singulo Empusculo velocitatem ad viginti particula pere iure, Et spectemus speciatim motum quem dee ma particula a puncto A auscipiet, quae partic
la dicatur , illa particulam motum puncti A
non suseipit nisi post novem particulas antec dentes, tum ipsa particulam motum puncti suspicit et uniformiter eum eo movetur durantercliquo tempusculo, tunc ex hypothesi mutatur terita puncti Α, interea tamen uniformia manet celeritas puncti X donec nova in celerita ad ipsam pervenire potuerit, hoc est postquam in cemive pervenit ad particulas novem anteeadem tes, serenova haec celeritas per novem particul ante dentes particulam x propagatur eodem te ore quo prima celeritas per e em novem particula propagata fuerat ergo prima celeritas tanto diutius permanet in particula X quanto tardius eam receperat, ergo ea prima celeritas
tamdiu durat in particulam quamdiu duraverat in particula A; cumqu idem de singulis auc-emiavi motibus puncti A dici possit, hinc qua libet partieae, X ipsissimum habet motum ae particula Α, nisi quod tardius in ea incipiat et
desinat. Id que etiam manis tum ea in hoc casu, spatia a particulis A et X descripta aequa. lis sors et similiter deseripta. Secundus Castis. Ponatur uno quod motus puncti A aequabilis non maneat durant singulo tempus to velocitates tamen in malvae punetix erunt ius quas in ne inguli tempusculi quam minimi punctum A acquisiverit, ut liquet ex tertio casu notae 24, id quo unetum suscipiet velocitates correspondente velocitatibus puncti A sumptis Per saltus, sed quoniam chm Primiam punctum A spatium finitum descripsit, agere incipit in punctum proximum, saltus illi
quamminimi intelligi debent, ideoque physice nulli, hinc physic particulam et particula Aeosdem motus halisbundi
Pariter describant spatia aequalia et similia;
quippe abscissae curvae cujusvis repraesententteinpus quo durante punctum A movetur, et ejus ordinatae repraesentent correspondentes vel eitates, Et dividatur axis curvae in partes quam-
minimas sed finitas, eriganturque ordinatae, illae repraesentabunt velocitates aequabiles puncti init. singuli tempusculi, et parallelogrammataeontenta sub ordinata et portione axis T Pon dent repraesentabunt spatia a puncto deseri in areae vero mixtilineae inter easdem ordinatas easdem axis portiones et arcus eurvae e-Pr hensae repraesentabunt spatia correspondentia a puncto A descripta, sed quando Portione axis sunt quamminimae, summa omnium eorum P rallelogrammatum et arearum mixtilinearum Nrespondentium pro aequalibus habentur. Ergo spatia a partieulis A et X descripta sunt aequalia a similiter deseripta saltem quam proximLSI. Ideo uniformiter motus fibrae propagatvi trans partieulas medii; ingula vero ejus parti- euia su emis motum fibra suscipiunt et eius ad instar moventur, ad in fibra elastica vires sunt semper proportionale distantiae fibrio a Puncto medio motu sui, ut Per experimentaeonstat, et illariam virium actio sensibiliter non turhatur per resistentiam adris, propter ejus .ravitatem, nec per ejus elatorium quia hinc inda a fibra ad datur qui sere aequaliter premit, ideos a Masclea ac per consequens Particulae inam medii moventur ocundum legem Prop.
XXXVIII. Lib. I. ad eadem est lex motus penduli in cycloida oscillantia Prop. LI. Lib. I. Ergo nari a per stitatim propogatis inguis
pariis e motu reciproco brevissimo eunte et, deuntes accelerantur semper et retardaruti pro
Age oscillantis penduti e. d. 82. Sumatur tempus quodvis, simulqua illud intervallum inter particulas putius, quod tale est ut eo tempore assumpto motus fibrae a prima partieula eius intervalli ad ultimam perveniat. Dico, quod tempus illud erit ad totum vibrationis tempus ut illud intervallum ad totiua pulsus longitudinem res est evaeentiatim ex Praecedentibus; n m eum motus propagetur in pulsu uniformitor qualiscumque sit celeritas, hoc est, cum ad totidem particulas dato tempore Perv niat, manis tum ea quod si ut est totum vibra-
305쪽
Coro Hinc patet quod numeras pulsuum propagatoriam idem sit cum numero vibrationum corporis tremuli, neque multiplicatur in eorum pro-
- sive totum tempus quo pulsus soma omnis particula quae pulsum conatu tuunt ita. Portio quaevis eiu temporis ad num Tum particularum quae ea temporis portione motum receperunt.
33. Ut melius horum eum Newtonianis nexus Pateat, hie adjungere lubet Prop. XLIX. ε- monstrationem ex XLVII desumptam, quamvis vix diversa sit ab iis quae in ipso textu leguntur, et Primo quidem, ait Pra spatium quod fibra una vibratione eundo pereurrit, ex ejus medio O ut centro describatur circulus P, Si eius circumferentia reprimentet totum vibrationis ex tuis reditu compositae tempus, partes eius circumsis entiae ut in repraesentabunt tempora quibus fibra per spatium eorrespondens movebitur H L, Km repraesentabunt velocitates sit irae in punetiam et L, at HL-KN velocitatum incrementa vel decrementa, actioni Haterii braeis oportionalia, haec omnia Patente Prop. XXXVIII. et LI. Lib. I. 2. Sit B C longitudo pulsus, et dieatur Viadius circuli cujus circumserentia illa longitudo B C a qualis foret, dico quod vis naturalis ela tori modi orat ad vim accelera eam fibrae ut V ΚΝ adHL- ΚΝ. Sint enim duo punctam Et G In suo naturali altu in medio elastim, quae post aliquod tempus
in locis a et iecurrant, suse in nem Mot 1
shrae secundum leges a novis ex altas, singula Morram eumdem motum ac fibram inunt, ideo. quo si sumptum fuerit Eri in P L erit. P, tempus et sum a momento quo punctum motum fibrae suscepit at e levi L qua volacit in , pariter sit , m P misit AE tempus elapsum a momento quo G motum stam aua pit, et erit m qua vel itas in , sint vero et G puncta proxima compressio spatii iubi in pervenit oritur ex eo quod plus pro mitis quam , itaque diminutio eius spatii erit aequalis spatio in ideoque is erit aequalis G N, utque vires quibus u Entur puncta medii eorum densitati est proponionalia, vis tota qua motur punctum mea ad eam qua urgebatur punctum G quae erat vis naturalia elaterii invaria ut spatium ais ad Em seu ut
uta, ad indium P , et cum Κ H designet intervallum temporis quo pulsus a puncto E ad Punctum, Parvenit, est per n. 82- Κ, ad E G ut tota circumserentia , Sa ad B C. aive ut i a V erm ex aequo est Lm ad E G ut Ii ad vitionvertando νω- L, ad G ut V ΙΜ ad Videoque 2 i --J -- L N CU - - Ι Per eonsequens vis
tota qua urgetur punctum res ad vim natur Iom elaterii ut U. Vis illa tota qua urgetur unetum fest via naturalis elaterii medii cui superaddita est tota vis motrix bras qua ad id punctum Pervenit, ergo dividando et reducendo ad communem d. nominatorem vis motrix fibrae in pulicis N est ad vim naturatum elaterii ut Im ad V am, sivest vertendo, vis naturalia elat rii ad vim totam motricem sis
Pro se mutuo sumi possunt ubi puncta, et L sunt proxima est vis naturalis elat ri ad vim totam motricena fibraeut V-ΚNad KN; sadvis tota motrix fibra estad vim ejus acceleratricem durante
tempusculo Κ Η, Κ, adH L M, ergo ex aequo, est vis naturalis elatorii ad vim acceleratri m fibras titV-ΚNadHL ΚΝ. e. d. I. In ipso moesis fibrae initio, vis viatorii fluidi in si tu suo naturali est ad vim acceleratricem fibri ut V ad H, nam ipso motus initiosi Pm sit infinit/ parvum, ne
Per consequens etiam νε infinit parvum nullus adhuc motu ad particulam Proximam G communieatur per n. .hergo omnino evanescit
Parvus et ejus sinus aequantur, ergo H III ergo vis elaterii fluidi in statu naturali est ad vim acceleratricem fibra ipso eius motuninitio ut V ad HI. Ex quibus fluit demonstratio Prop. XLIX.
306쪽
gressu Nam lineola Physica so, quamprimum ad locum suum primum redierit, quiescet neque deinceps movebitur, nisi vel ab impetu comporis tremuli, vel ab impetu pulsuum qui a corpore tremulo propagantur, motu novo cieatur. Quiescet igitur quamprimum pulsus a cor reor mulo mopagari desinunt.
Piamtim in suid elastico propagatorum velocitates sunt in ratione com fucl ex subduplicat ratione sis elasticae directe et subduplicas ratione densitatis inverseo si modosluidi vis elastica ejusdem condensationi r
Cas. I. Si media sint homogenea, et pulsuum distantiae in his mediis
sequentur inter se, sed motus in uno medio intensior sit contractiones et dilatationes partium analogarum ' erunt ut iidem motus Accurata quia
Quiescet ne e deinceps movebisur. Quamprimiim lineola phyale ad laeum suum primum redierit, ipsius velocitas Pti m ordinata, mi se Per exponit Prop. XXXVIII. Iah. I. extingitetur; et eiusdem lineolio densitan visque elastica eadem erit eum densitat et uie sueti partis Em medii quimcentis; de uequiescet, c. ' Id liquot ex n. m. additionis nostrae demotibus in Fluido Elastis Genitis. sis. Ex his intelligitur quomodo per vibrationes isochrona corporis resonantis pmdueantur in aere pulsus quibus ad aurem appulsis, fit in nobis perceptio soni, et cur soni, emante motu tremulo corpori scmori, statim cessent Liquet etiam tonos a numero Pulauum qui in aere tempore dato exestantur, pendere, elim per Cor. Prop. hujus numerus pulsuum aequalis sit numero viis innum excitu et reditu compositariam qua chorda musica peragit, Et ab imo numero tonorum diversita oriatur Sos . SIT. Patet etiam quomodo aeria pulsu sonu
et tremores in aliis e poribus uniaonia aut con---ntibus mare possint. Nam eum aeris putima in nervum musicum ineurrit qui vibrationem unam excitu et reditu compositam absolvera a tua sit, eo tempore quo Pulsus suam pereurrit latitudinem, commovetur nervus et osc natur perexiguum licet spatium,et recurrentibus novis atque eon virantibus aeria pulsibus celeritia agriatur sonumque reddit. At a nervis vibrationes ausa integra seu excitu et reditu eompositas persi mnequeat quo tempore Pulaua oris latitudinem suam describit, possit tamen in partes aliquot hujusmodi vibrationibus peragendis aptas dividi; parto illae, quiescentibus divisionum punctis,
congruenter ad pulsuum recursum sensim agit buritur, vibrationesque sua cum pulsibus uni-nas ingulae perficient. Si vero nervi duo Proxia mi in eas partes aliquotas dividi possint quae sint inta ama unisonum, aut quod idem est, quae
vibration scisochronas peragant, Et horum nervorum unu pulsetur a umqu edat, arvi duo
sese in partes suas aliquota vehit divident ut ad unisonum reducantur. Ut si eiusdem norvi capiantur partes duae quarum sit ratio 2 ad dista ualiter tendantur, alteraque pars pulsetur, dividetur minor nervus in partea duas, et major in partes tres aequale quae ingula moraim oscilla-huntur. Nam rivior nervus duarum nempe partium, ter oscillando dum nervus longior partium tHum, duas oscillationes absolvit 806yhoquentiores in nare pulsus excitat quorum recursu nervus longior citius quian par est agitatur; et cum utriusque nervi avri u motus eongruero non pomi mi singula nervorum Partes aliquota et aequale moriam oscillantur, motus illo conspirana tam in nervis quam in aere tandem
Producitur. Et hae quidem in experimentiam ista ita contingere ol ervarunt Ioan Wallia Operum in sol. Tom. II pag. 466. Et deindo
Acustica instaurator D. Sauveur in onum. Acad. Paris an I O1 ubi alia experimenta r
seri quae ex praedictis facile possunt explicari; et inde ingeniosissimi systematis de tonorum productione et harmonia fundamenta derivavit ill demaira omni laude superior, quod ad praxim elicissima revomuit vir inter eruditos Orpheos illustrissimus D. Ramem. ' diu, si in motus. Motu enim illigunt vel causa vel effectu eontractionis et dii tationis partium in pulsibus correspondentium. Haec tamen proportio accurata non est, si contractiones et dilatationes sint valde intensae,quemadmodum si horda musica nimia vi pulsetur, vis motrix particularum ejus non at amplius
proportionalia spatiis per quae debet moveri, et
307쪽
dem non est haec proportio. Verumtamen nisi contractiones et dilata tiones sint valde intensae, non errabit sensibiliter, ideoque pro physice accurata haberi potest. P Sunt autem vires elasticae motrices ut ontractiones et dilatationes; et velocitates partium aequalium simul genitae sunt ut vires. Ideoque sequales et correspondentes pulsuum correspondentium partes itus et reditus suos per spatia contractionibus et dilat tionibus proportionalia, cum velocitatibus quae sunt ut spatia, simul Per gent et propterea pulsus, qui tempore itus et reditos unius latitudinem suam progrediendo conficiunt, et in loca pulsuum proxime praecedentium semper succedunt, ob aequalitatem distantiarum, aequali cum velocitate in medio utroque progredientur. Cas. 2. Sin pulsuum distantis seu longitudines sint majores in uno medio quam in altero; ' ponamus quod partes correspondentes spatia latitudinibus pulsuum proportionalia singulis vicibus eundo et redeundo describant: et aequales erunt earum contractiones et dilatationes. Ideoque si media sint homogenea, aequales erunt etiam vires illae elasticae motrices quibus reciproco motu agitantur. ateria autem his viribus movenda est ut pulsuum latitudo et in eadem ratione est spatium per quod singulis vicibus eundo et redeundo moveri debent. ' Estque tempus itus et reditus unius in ratione composita ex ratione subduplicata
materiae et ratione subduplicata spatii, atque ideo ut spatium. Fulsus
aeris densitas vi ipsius elasticae proportionalis non geneo et data pulsuum latitudine spatium quod manet, si nimia vi comprimatur vel dilatetur partes medii oscillando describunt, manente aer Singulae diminutiones intervallorum sunt tempore oscillationis, minui potest in data ra- ut velocitates n. 19. non tamen ex eo sequitur sone nihil obstat quominos in hoc seeundo mineontraqtiones esse ut velocitates, hunc vero a supponatur quod partos mediorum e responsum et reliquos demonstravimus n. 29. additionis dentes spatia latitudinibus pulsuum proportion demoti Fluid. lasti lia, iisdem manentibus oscillationum non 'D Sunt aviem vires elasticae motrices. Nam quoque medio temporibus, eundo et redeundo
vires elasticae motrices sunt ut partium analoga Percurrantirum densitates, hoc est, data materis quantitate, ri c
ui contractiones et contractionis sunt ut dilata qu e em v media sint om
tiones quae viribus elasticis medii contracti pro u in hoc mundo eas suppomtur, area ducuntur; et velocisa res naritam aqualium simul Ἀηuς motrices uni ut Partium correspondon-gemtiae suxu vivires 43. Lib. I. , hoc ost, ut eona Mum coni et Ones et dilatauon' quas producunt, tractiones et dilatationes, id me eum spatia si qui qumuliste materia in partibus ore mul descripta sint ut vel itatos simul gontiae, Pondenubus sum ut Pulsuum latitudines, sata uiae ει ηυspondentes iamiam eoisopon uti mum nrimarum volumana, et partes 1ltiadentium paries istis et redistis mos, o motus η - in Q redeundo dilauantur et eo suosper vaιia contracιioribusproportionalia, in x in tu Per sput Mnnuis ua materim pro--ωcMιibus quin sunt, spatia simul peroeent, πιλο 'li' Per HyP. e uactiones et dilata- et promereapiastis qui tempore usis et reuisset, lati dη νη um e tum no inces aequalestudinem suam progrediendo confletant AIq.
sve dunt, ob aequalitatem Utant rum quia ' te materia viribus aequalibus ad legem hos temporihus descriptarum quia cum veως ' oscillantis penduli agitavisi est in ratione com-ια in medιο utroque progredwntur pinna ex subduplica: ratione materiae et sub- 'λ μ - quod paries correspondensem duplicat ratione spatii per Cor. 5. Prop.
Quoniam per Cas. in eodem medio homo XXIV. Lib. II λ
308쪽
autem temporibus itus et reditu imius eundo latitudines suas conseiun hoc es spatia temporibus p portionalia per mini; et Propterea sunt
s. s. In mediis igitur densitate et vi elastica paribus, pulsus omnes sunt aequiveloces. Quod si medii vel densitas vel vis elaraica initendatur, quoniam vis motrix in ratibne vis elasticae, et materia movenda in ratione densitatis augetur te u quo motus iidem peragantur ac prius, augebitur in subduplicata ratione densitatis, ac diminuetur in subduplicata
ratione vis elasticae. Et propterea velocitas pulsuum erit in ratione composita ex ratione subduplicata densitatis medii inverse et auone subdu-pIicata vis Elasti e directe. Q. e. d. Haec Propositio ulterius patebit ex eo structione sequenti.
Datis medii densitate et vi elastita, imperiis velocitatem Inusuum. Fingamus modium ab ineumbente pondere pro momiseris nostri eomprimi; sitque A altitudo medii hommenes, cujus Pondus adsequet pondus incumbens, et curus densitas eadem sit eum densitate medii compressi, in quo pulsus propagantur institui autem intelligatur pendulum, a jus
Tempus quo motus per aequalia spatia peraguntur est in ratione composita ex s. optiminis tiora materiae movendae directa at sinduplicatameione vis motricis inverso per Cor. 5. Prop. XXIV. ideoque in hoc tertio casu, te u manente spatio descripto augebitur in subdupli- a ratione dansitatis, ae diminuetur in subduplicata ratione vis Elasticae, et propterea vel itas quae est ut spatium directe et tempus inveria, ob datum spatium per Hyp. Erit in ratione eomposita ex ratione subduplicata densitati m dii invaria, et ratione subduplicata vis lasticae directi; sed datis medii densitate et vi viastica,
vel ita pulsuum, utcumque arietur spatium, data est, per Cas. l. et 2. ergo vehoeitas mimum erit semper in ratione eomposita ex rationas duplieat densitatis modii invers et rationes duplicata vis elasticae directλsI8. Ex hac Propositione patet eur soni omnis generis, gravis et acutus, intensus et remi sus, pari velocitat in eodem aere propagentur. Nam sonorum diversitas, quoad graue et acutum, a numero pulsuum qui in aere tempore dato e
eitantiar, pendet 3l63; at per hanc Prop.
pulius aeris, seu plures seu pauciores dato tempore producantur, eadem semper velocitate dinlanduntur et dato tempore datum imatium c-VOL. II. Miunt soni veris in eodem aera producti eo inis
tensiores sunt, manente tono, quo majus est
tium quod agri particiam eundo et redeundo describunt dato tempore ut si chorda mustea validius pulsetur, majores vibrationes dato tempore peragit, Nomaque oscillationes partieul rum aeris exestat, et sonus intensior percipitur, Meet tonus idem maneat et proindὲ pulsuum 1 titudo ac velocitas non mutentur. Cum ergo tanta, vel in lucis ut per atmosphaeram in instanti quoad aensum propagetur p. se l. in Prop. XCVI. Lib. I.); si sonus et lux eodem Puncis temporis excitentur, uti in machinis hollicis flamma et fragor producuntur simul, et spectator spatium quo a corpore resonante distat, tempusquo quod inter luminis et soni perceptiones intereedit, dimodiatur, soni vElocitas i notescet. Atque eo modo in variis regionibus Varia observata est velocitas soni, et in Anglia eaealeritate sarri, Flamstedio et Halleyo visum est, qua pedes Londinenses plus minus II 4 Pari. aienses vero IOTO tempore minuti unius secundi percurreret. Quia vero densitas et vis Elasti- ea aeris in variis Terrarum locis, diversisquEanni tempestatibus in odom loco mutantur, indoquoque mutari oportet soni velocitatem. Diu creditum est, observantibus emenno, asse do, et eademisis Florentinis, sonum neque
309쪽
longitudo inter punctum suspensionis et centrum oscillati ni sit A et quo tempore pendulum illud oscillationem imtegram excitu et reditu compositam peragit, eodem Pulsus eundo conficiet spatium circumferentiae circuli radio Adescripti sequale. Nam stantibus qua in Propositione XLVII. constructa sunt, si linea quaevis physicaa F, singulis vibrationibus describendo spatium P S urgeatur in extremis itus et reditus cujusque locis retri, a Pelas
tica ' quae ipsius ponderi sequetur;
peraget haec vibrationes singulas quo tempore eadem in cycloide, cujus
perimeter tota longitudini PS aequalis est, oscillari posset id adeo quia
vires aequales sequalia corpuscula Persequalia spatia simul impellent. Quare cum oscillationum tempora sint
in subduplicata ratione longitudinis pendulorum, 7 et longitudo penduli aeqvhtur dimidio arcu cycloidis totius;
sese tempus vibrationis unius ad tempus oscillationis pen
duli, cujus longitudo est A, in subduplicata ratione longitudinis LVS seu Uo ad longitudinem Α Sed vis elastica, qua lineola physicam , in locis suis extremisi,
existens, urgetur, erat in demonstratione Propositionis
XLVII. ad ejus vim totam elasticam uim L A ad V, hoc est eum punctum ciam incidat in ' ut
HAE ad V 'Lot vis illa tota, hoc est pondus incumbenS, quo lineola E G comprimitur, est ad pondus lineolae ut ponderis incumbentis altitudo ad lineolae longitudinem DG ideoque ex aequo, viseonspirante vento accelerari, neque adverso e -- cycloidis totius, per cor. Prop. L. et Coritardari; sed D. Derham experimentis accurat 2. Prop. LII. Lib. I. institutis, salsum id esse asserit. Ad ejus vim rufam Hasti m in loco E G 'x' Quae ipsis pcnderi inquestir, et quae de ubi medi im quioscit, ut, λαcrescat ut ipsius distantia a centro peraget Uti ad V Cum punetum, in- haec vibrationes singulas quo tempore eadem in idit in P, evanescit meis HV KN cycloide, cujus perimeter tota longitudini P H; - Η Κ por Cor. I. Lem. VII. Lib. Laequalis est, oscillari posset; quia particulae Et vis illa tota, hoc est, pondus tristim- in hujusmodi cycloide oscillantis vis motrix est bens, quo &c vis Elastica tota partis Em est semper ut distantia ipsius a puncto cycloidis in in aequilibrio cum pondere comprimente, ubi fimo seu medio, et in altissimis seu extremis medium quiescit. punctis cycloidis ponderi ipsius aequatur, ter Adlineolo longitudinem E G. Clim enim Cor. Prop. I. ih. I. medium homogeneum, cujus altitudo estis, sit Sint in subduplicia raιione longistidinis per Hyp. ejusdem densitatis cum medii Partis pendulorum q72. Lib. I. E G, pondera sunt ut volumina, hoc est, u li-
longitudo pendia aequesti dimidio ne A et E G.
310쪽
qua lineolam G in locis suis Uet S urgetur, est ad lineola illius pondus
orat ad Uinutio ad V. Quare cum tempora, quibus aequalia corpora per aequalia spatia impelluntur, sint ' reciproc in subduplicata ratione virium, erit tempus vibrationis mus, umente vi ill elastica, ad tempus Vibrationis, urgenta vi pontaria, in subduplicata rationes V ad
PM, A, ' Mimas ideo ad tempus oscillationis penduli cujus longitudo. in subduplicata ratione V V ad UO, A, et subduplicata ratione PD ad A conjunctim id est, in ratione integra V ad A. Sed tempore
vibrationis unius excitu et reditu compositae, pulsus progrediendo conficit latitudinem suam B C. Ergo tempus, quo pulsus percurrit spatium B C, Jhest ad tempus oscillationis unius excitu et reditu compositae, ut V ad A, id est, ut B C ad circumserentiam circuli cujus'radius est A. Pus autem, quo Pulsus percurret spatium B C est ad tempus quo percu ret longitudinem huic circumserentiae aequalem in eadem ratione; ideoque tempore talis oscillationis pulsus percurret longitudinem huic
circumferentiae aequalem Q. e. d. Corol. I. Velocitas pulsuum ea est, quam acquirunt gravia equaliter accelerato motu cadendo, et casu suo describendo dimidium altitudinis A. Nam tempore casus hujus, cum Velocitate cadendo acquisita, pulsus
percurret spatium in quod erit aequale toti altitudini A ideoque tempore
oscillationis unius excitu et reditu compositae percurret spatium aequale circumserentia circuli radio A descripti est enim tempus casus ad tempus ostallationis ut radius circuli ad ejusdem circumferentiam.
Nams eras ad Ei ut i ad V, udo Α, datis medii densitato et v elastica data,
in dem. Prop. XLVII. est ut spatium B C ad datam peripheriam im ' ' in reciproe in subdupli id ratione euli radio A descripti liquet, quod tempus, quo virium. Patet pur Cor. 3. Prop. XXIV. Lib. pulsus pareum it spatium B C, aut eadem celeri- hujus late percurreret datam periphoriam circuli radios' ' At cidia ad rem rus, Re Patet per A descripti, Tora eis spatiis proportionalem.
compositionem rationum et ex aequo quia ex Quare tompus quo pulsus percurrit spatium demonstratis tempua unius vibrationis particu B C est ad tempus oscillationis unius excitu et - urgente vi ponderis ipsius est ad tem reditu compositae penduli cujus longitudo est Α, pus oscillationis penduli cujus longitudo est Α, ut tempus quo pulsus percurrit idem spatium in subduplicata ratione P O ad A. B C. ad tempus quo percurrit longitudinem η ' Ea ad temptis osciuatumis unius eae it aequalem circumferentiae circuli cujus radius estre reditu compositae, penduli erius longitudo sat L ideoque tempore talis oscillationis pulsus A. percurret longitudinem iuic circumserentiae Id est in B cadiis, erentiam circuli aequalem. jus radius est am in demonstri Prop. Quod eris aequale toti uirudini A M. XLVII. erat V radius circuli circumserentiam Lib. I. habentis squalem intervallo B C; undo est Est enim temptis assis, per dimidiam ad A, B C ad cireumferentiam circuli erius altitudinem A ad tempus oscillationis unius ex radius est A. solo tu, vel solo reditu constantia, ut diameter In eadem ratione. Quoniam tempus circuli ad ejus circumferentiam 470. Lib. L , quo pulsus percurrit spatium B C est ad tempus ide6que ad tempus duplum Oscillationis unius ex datum oscillationis integra penduli cujus longi itu et reditu compositae, ut radius circuli ad eius