장음표시 사용
101쪽
HIERONYΜI CARDANIdratum alterius,stat numerus squationis,tunc duces partem que non in se ducitur, in aggregatum eius quae in se ducitur,& quartae partis eius, quae non in se ducitur,produisti N,detracito dimidio partis,qux non in se ducitur, est rei aestirnatio. Exemplum. Cubus & ao quadra/ ta,aequantur 2,ex zo sunt duae parates, i 8 N a,& ex una in quadratu altorius fit a,nam ex as in fit et , dico, quod si is, ducatur in F λ aggregatu ex a rcliqua parte,& qi,quaria parte ipsius is, fiet i r ,cuius Rr,detractost, dimidio 3 8,ostendit aestimationem rei m III m:'. 3s: Cum suerint quadrata aequalia cubo & numero,& inueneris nomerum non minorem quarta parte numeri quadratorum, nsc malo rciri tertia parte,cum quo diuiso numero aequationis , proueniat nil merus quadratus, ius radicis dimidium additum numero quadra
torum, faciat quadruplum ipsius diuisoris, tunc aestimatio rei est doplum numeri diuisoris,p: uel na: radice prodii H. ex quadruplo diuis. soris, in differentiam numeri rerum, & tripli ipsius diuisoris Exemplum. Cubus p: q8 aequatur
1 o quadratis,tunc quia 3,qui non est minor quarta parte I o numeri quadrato, Tum, nec eius tertia parte maior,divides 68 producit is, cuius medietas radicis quae est et , addita ad 3 o numerum quasdratorum,constituit 32, quadruplum diuisoris 3 ,ideo dico,quod si duplo diuisoris quod est 6, addatur uel detrahatur ire producti, ex ra quadruplo 3 diuisorison i, differen
tiam Io numeri rerum,&st,tripli 3, diuisoris,&est tale produetum etiam ia,quod constituemus utramcp aestimationem, o P Rr Ia, uel
I lare . Et scias,quod per capitula cognoscuntur regulae Sc quaestiones super his formais cum facilitate quae alias uix soluerentur, ipsae uero regulae sumptae sunt ex demonstrationibus capituli sexti, & ego non apposui eas,quia intelligenti nostros libros super Euclidem,sunt per se manifestae,& non intelligens no curabit illas,nec quaeret, quoniam non sunt ei necessariae. 3 o'. Operaeprecium fuerit nunc ostendere,quod hae regulae non possunt esse generales , respectu aestimationis , & modus in uno sufficiet
102쪽
DE AR1τu METIcΑ Li B. T. Mad ostendendum in reliquis capitulis. Capiamus igitur capitulti pro ximius,5 de quo magis posset hoc credi,propter multiplicem sitimationem, & sit cubus p: numero,aequalis T quadratis,& sit a x numerus positus,id est numerus,qui primo cognoscitur in sexto capitulo, regula secuta,erit igitur ex illa regula, rei aestimatio, Rr 36 p. 2., ire 6i,quare residuu ad numerum qdratoru estet , quare ex demonstra. tione posita in initio tertii libri,productu 6ξ, in qdratu veli nume rus fractus,& est ἔ,& econtra,ducto 1 in qdratum 6 Φ, fit fractus numerus etiam,scilicet i N,quare Posito numero quadratorum inteo gro,& aestimatione fracitis numeris constituta,numerus aequationis, qui est superatio partium,quae sunt rationales, quadratorum ad cusbum,nun poterit esse numerus integer,sed talis aequationis nume. rus producitur ex una parte numeri rerum, in alterius quadratum. Hoc ostenso,Capio cubum & numerum aequales T quadratis, maniosesium est autem ex demonstratis in septimo super Euclidem, & ex regulis sexti libri, deducendo numerum ad quadratum & cubum, quod maxima productio partiu in quadratum alterius, est so igitur poterit diuidi τ,ut producat numeros integros,per multiplicationem unius partis in quadratum alterius,ab i usq; ad so, & non infractos,ex demonstratis igitur in integros, at in integris non potest fieri nisi triplex diuisio,ut patet in figura, nec produci plus quam rizo, 6, 48, SO, igitur residui numeri,nullo modo per i
genus huius spuimationis exhauriri pote lrunt,particularis igitur est,ac ualde etiam particularis,nec tamen cresdas, quod in atris capitulis,numerus pro Binona' aut recisi altera parre non possit inseruire, ut saepius in exemplis docuimus. Cum fuerit cubus ac numerus aequalis rebus ,& ex in numeri reorum seceris duas partes,ex quarum ductu primae in duplum quadra. ti secundae,& secundae in quadratum primae, sat numerus arquatios .nis, tunc secunda para erit rei aestuNatio. Exemplum. Cubus 8c U,squantur rebus,tunc quia ex ς,iu a ,fiunt Par
tes 3 Sc 2,ex quarum ductu a in is dii. plum quadrati 3,&ex 3 in quadratuma,fit ψs, ideo dico, quod 3 pars Guius ψ8
quadratum duplicatur,est rei aestimatio. Cum fuerint cubus & quadrata,aequalia numero,& duo num ri disserentes in numero aequationis,ducti inuicem,produxerint tans
103쪽
Hi ERONYMI CARDA Natum, quantum ex cubo TP ld. in m. bum disserentiae im cubicarum talium numerorum,tunc differentia talium ist bicarum,est rei aestimatio,ut in exemplo a latere patet, res enim facilis est.
Vando quadratum quadrati Sc res,aequantur quadratisti numero,& diuiso numero rerum ac numero aequatio nis,per numerum quadratorum , dimidium exeuntis ex o numero rerum,suerit radix prouentus numeri aequati
nis iam diuisi,tunc accipe tu numeri primi squationis,& ei adde quartam partem numeri quadratorum,S totius accipe radicem uniuersa. Iem, a qua minue Rr eiusdem quartae partis numeri quadratorum, reosiduum est rei aestimatio. Exemplum. Quatuor iniere societatem. Primus posuit quantiatem. Secundus Potitit quadratu quadrati decimae partis primi. I erotius posuit quintuplum quadrati decimae partis primi. Quartus p suit quin*,& tantum posivit primus cum secundo, quantum tertius cum quarto, Qtiaeritur quantu quiscpposuerit:Pone quod primus posuerit io res,secundus posuit igitur quadratum quadrati, tertiuus quadrata,quartus autem ut dicium est posuit s. Igitur quadratum quadrati,& r o res,aequantur ς quadratis Sc ς, liuidendo igitur nu
merum rerum per numerum quadratorum,exiret 2,ctatus dimidium
id',aequetur eisdem conditionibus qdratis rebus Sc numero, regula tenebit similis , R in aestimatione . erit idem modus,nisi quod in fine addemus Rr quartae partis numeri quaἀ
104쪽
dratorum na: r o rebus p: s,est Ri s m: in s quadratorum,seu m: rebus Rr s,igitur quadratum & res in f,aequantur Rr ς,& aestimatio est ii ta,quae est eadem cum illariaqd 'p: I o rebus, aequalium s quadraotis & ς,& eadem ratione,si qdqdratum aequale est qdratis, 3 o resbus & s,erit quadratum aequale rebus m s P: Rr s,quare nota est res. Quando quadratum quadrati & quadrata est res, aequalia sues 3 .rint cubis & numero,qui sit a P numero quadratorum,fuerintinuo merus rerum & cuborum idem,& dimidium numeri rerum,radix numeri,tunc duc in se quartam partem numeri rerum, & producto adade i ,& ab hoc minue Rr aggregati ex quadrato dimi numeri reru& unitate,& residui Rr adde uel minue uaria Parte numeri rerum, quod fiet,erit rei aestimatio. Exemplum. Quad' idratum & 3 quadrata& r a res,aequanturi a cubis & 3 6,tunc uides quod cubi sunt aequales rebus in numero, de dimidium numeri rerum est Rr 3 6 numeri,& numerus ipse est a penumero quadratoriam,ideo duc 3 quartam partem ra numeri reruin se fit o,adde a pro regula, fit Io,abrice Re 3 aggregati ex quadra/to dimidi j numeri rerum & unitate,sit I o m: in 3 , huius tin uniuers Iem minue uel adde 3 ,quartae parti numeri rerum,habebis aestimationem rei, 3 P: Rr V IO in ira 37,uel 3 m. Rr V: rom: Rr 3 . Et modus inueniendi tales regulas habetur ex regula magna,un . . de etiam capitulo huic nomen dedimus,&est,ut soluas aliquam quν stionem simpliciter, deinde per regulam magnam uel etiam aliam, deinde obseruabis conditiones necessarias,in transitu ex una in aliam, postmodum obserua,quo modo perueneris ad rei aestimationem, &facies regulam nouam hoc modo super capitulum ignotum. Exemplum. Fac ex σ duas partes in quod cubus minoris,& quadratum maioris,& productum ex eadem maiorUn 8,haec tria producta,sint proportionalia, dico peruenies per regulam magnam ad hoc quod proportio talium partium erit Rr cub. 8,scilicet a, quare diuide 'mus 6,per Rr cub. 8 p: ι ,& exibit rei aestimatio, at sequendo positi
o quantur cubis & rebus,& potuerimus inuenire numerum aliquem, qui ductus in numerum aequationis,producat numerum cuius Rr dui . . Na cta
105쪽
numerum,quem multi, plicasti,producat numerum quadratorum,tunc
si ipsi primo numero iadicto,quem multiplica sti innumerum aequationis,addas 3 pro regula,& ducto in ni radicis numeri quem iam ab initio produxisti, prouoniat numerus,qui diuisus per numerum primum inuentum, produocat numerum cuborum,& numerus rerum ductus per primum ni merum,fuerit quadruplus cubo eius Ram, tunc dico, quod detractos,pro regula 1 primo nume luem multiplicasti,& residui sumpta in cubita,& ei addita etiam ii tate pro regula,& cum aggregato di, uisa tali iu'nt, quod prouenit, est rei aestimatio. Et causa in hoc est, quod in tali quisitone,numerus qJqd', prouenit ex multiplicando, linitate addita,numerus cuborum,ex diuidendo in multiplicandum,P: numerus quadratorum uero, ex sexcuplo quadrati diuidendi. numerus rerum ex quadruplo cubi diuidendi, numerus aequationis est qd qdrati diuidendi. Diuidendum uoco in hac quaestione is,multiplicandum autem S. Exemplum,qdqdratum P : si quadratis P: , o quatur si bis p: 8 rebus . pone primis numerum qdrat uni,duc in q,fiunt 4 qdrata, huius m est a res,ducine ex regula, fiunt ra res, quas diuide per quadrata,exit quod aequatur 6, igitur 6 quadrara, aequantur Ia rebus,res igitur est a. Nos aute in positione posuimus quadratum,igitur numerus primus seu multiplicandus erit. ,& cum caeterae conditiones conueniant,quae dicte sunt,erit a numerus diuis dendus, quo diuiso per Ricub. I p: ι ,exibit aestunatio rei,dc de hoc diximus capitulo sexto. . De transitu capiticii particularis in capitulum particulare.
It etiam transivis capituli singuIaris in singulare, hoc modo, bus,de a quadrata,& s6,aequanturqI rebus, & rei aestimatio una est 3 P: tu a , quaero in eadem aestimatione, cubus cum T quadratis,quot rebus aequabiturr& cu quo
106쪽
numerorduc disserentiam numeri quadratovi,quae in q, in duplum partis quae est numerus in aestimatione, scilicet in f, fit 3o, cui adde r numerum rerum, fit 71,num cub'&a qd.&ς6 aeql-r reis rus rerum,deinde duc partes aesti cubus & τ qd i aestimatio rei mationis in se,fiunt a & 9, quom productorum disserentiam, quae est τ,duc in f,disserentiam nume ri quadratorum, fit 3 s,quem adde. ad s6,quia 3 est maior in a, fit nu/merus aequalidis ' ι, igitur cubus& τ quadrata Sc y i ,aequantur rebus,aestimatione Mestente 3 p: n: --.a,& ubi ni suisset maior numero, detraxisses 3 s a s 6 8c remansisset
Dico etiam,quod non licet transtre a capitulo in capitulum, mi te eodem genere denominationum,& quod aestimatio rei sit eadem, & non rationalis,id est Mon numerus integer,aut fractus. Exemplum sit cubus p: 3 rebus,aequalis 1 o,aestimatio rei est in U: cubica in a6p:ς m: Rr v cubica Rr asin:ς, dico quod sub hac aestimatione, non poterit cubus cum aliquibus rebus aequari ulli numero, us. in infinitu, nam sit gratia exempli) cubus p:' rebus,squalis Φ8,quia igitur res est eadem, ira cubica scilicet dicta , erit cubus i cub. p: 3 re, a I. roidem in utros' permutatim. Igitur ex tertio l cub. P:9 reb' aeq. 38 libro,cub'cub' p:s rebus p: r o,equatur cubo P: 3 rebus p: is,ab' communem cubum,fient' res p: i o ,aequales 3 rebus p: 3 8 , igitur es res aequantur 8,igitur aestimatio rei est a D numerus rationalis, & non1 cubica dicta,quod est contra suppositum. Similiter nec plures cubi cum pluribus rebus,aequabuntur alicui 3'. numero,stante eadem aestimatione,patet ex praecedenti, nam diuisis omnibus per numerum cuborum,habebimus,ut prius,cubum res aequales numero , quod iam ostendi sore impossibile. Eadem ratio igitur militat in omnibus,nam si dixero cubus aequatur 6 rebus pr a, uel qd qdratum aequatur 6 rebus p: a,dicam igitur in eadem aestim tione cubus aut O'qdratum nullis rebus Sc numero rationalibus inquari potest,dico rationalibus, quia non prohibet, quod assumptis
aut rebus aut numero irrationalibus aequatio non sequatur. Et ex hoc sequitur etiam, quod in caeteris regula tenet denomina c. tionibus tibi aestimatio rei non sit nec numerus rationalis, nec in simo plex ex genere mediae denominationis. Exemplum, a cubi & ι o,
107쪽
H, N HIERON ΥΜI CARDANI aequantur a qdqdrato & ret,aestimatio non est nee numeras, nee mcubita simplex alicuius numeri rationalis,dico quod qd'qdratum lubeadem aestimatione,nullis cubis ac numero aequari poterit,paret,quia facta transmutatione,& abiecto qd'qdram,relinquentur cubi squales numero,igitur aestimatio rei,erit necessario ne cubica numeri,uel nuo merus,quod est contra suppositam. De onerationibus radicum Proniorum seu mixtarum
Am ostendimus in superioribus,tres esse species Pronicarum radicum,Minorem, quando i ix qdrata compar tur quadrati sui & suimet aggregato,ipsum autem aggreml a gatum dicetur pronicum minus. Medium,cum cubica r dix,companitur aggregato ex se& suo cubo,ipsum autem aggregatum dicetur Pronicum medium,sed maior radix pronica est,cum radix radicis alicuius numeri,comparatur aggregato ex seipsa & eius numeri,cuius est radix radicis ipsum autem aggregatum dicetur pronicum maius,ut in exemplo. Pronicum maius 3,esi 84, & 3 est radu: Pronica maior 8ψ. Non contingunt autem his,cum sint uelut anomata uerba in Grammatica, perationes quae sunt communes,neq; pos sunt multiplicari,uel diuidi,addi uel minui,sed habent propria quin dam operationem,quae dicitur transitus. Cum igitur duxeris pronicum minus,in suam in pronicam, pro ducto di addideris ipsum pronicum,' quadrata aggregari,erit pro ni cum medium tu quadratae radicis proni cs minoris, ut in exemplo, duco 3 Iu pronicam minorem Ia,in ra,fit 36,addo ei Ia, pronicum
minus fit 8, huius m & est Rr s) est pronicum mediuiu 3,quae fuit in pronica minor I 2,nam ductam 3 ad cubum, fit in a , cui addita ipsa in 3,producit N q8 igitur Iu 3 est iu pronica media tu q8,ut propositum est. . Cum duxeris pronicum medium in tuam pronicam, produci vir pronicum minus quadrati radicis pronicae mediae. Exemplu,du
co 3 ,radicem pronicam mediam 3 o in 3 o fit sto, Pronicum minus s, quadrati 3,quod fuit in pronica media ipsius 3 o. Cum pronicum maius in se ducitur,& productium diuiditur per quadratum radicis suae pronicae maioris,quod exit,ad cubum eiusderadicis pronicae,est uelut a quadratumP: a positionibus p: I. Exemplum, pio is pronicum maius,duco in se fit 3 aq,diuido per qua,. dratum
108쪽
16 Da Asti ruri arte A LIB. N. sadratum 2,m pronicae maioris 18,exit 8 i , quod est i quadratum p: apolitionibus p: i ,respectu 8,cubi 2,eiusdem radicis pronicae. Allellae dicuntur radices,cum ex multiplicatione mutua duorum s. numerorum,in quadratum alterius,duo numeri consurgunt, uelut capio a Sc 3 ,ipsi dicuntur radices allelis ra,& rs,nam ex a in 9,fit 38,& ex 3 in q, fit 3 2,inueniuntur autem radices hoc modo,duc utrun eorum in se,& diuide producitum per reliquum,& Rr cubicae prouentus sunt allellae. Exemplu,uolo tu allellam Sc 8,duc 8 in se,fit -,divide per in exit ro, luc etiam ψ in se,fit a 6, diuide per 8 exit a,igitur Rr cubica cubica a, sunt allello,
Ex quo paret,quod omnes Rr allellae,sunt in cubi e numeroru, G, se habentium in triplicata proportione,in qua se habent sui solidi propositi priores,& hi sunt med a proportionaleS.
Operationes igitur in his,ex hoc sunt manifests, nam cum inuen. α e fuerint,reducentur ad radices cubicas,cum quibus operaberis rursus, perseeia operatione,reduces ad allellas.
Icinir haec regula cquia modum exhibet fabricandi regua
las quotlibet mercaturae Modi, utilissima magis Arithmeticae,ut facilioribus quibusdam inuensis,arte do. cerent,cuius etiam auxilio,maximam sexti libri parte consecimus. Est igitur regula haec solue quamuis quaestionem proposiatam, modo quo potes,seu positione,seu auxilio sexti Iibri, deinde auferes politionem,& regulas alias,& serua operatiOes,quas quam potes maxime ad breuitatem redige,& habebis regulam de modo pro omni consimili quaestione. Exemplum,Serici uiridis passus τ,dc nigri palliis 3, ueneunt deonariis τa,& codem precio serici ii iridis pastus a ,& nigri passus . ueneunt denar0s s a,quaeritur precium. Pones positionem, esse aesti mationem unius passus serici uiridis,igitur passus uiridis ueneunt positionibus,quare 3 pasi nigri ueneunt a de: m: positionibus,&passus ualebiti horum, scilicet 2 derm: a τ positionibus,& passiis nigri ualebut 96de: positionibus,at duo passius uiridis ualent 2 positiones ex supposito,igitur a passus serici uiridis & nigri ua, lenide:96 m: 4 positionibus,& haec eade aestimabantur s 2 de: igi.
109쪽
Hi ERONYMI CARDA Niriir deros ira: et posimoibus,squantur sa de: quarede: -,qui sunt disterentia 96,& sa, aequabuntur et positionibus, igitur post ua. Iet o denarios,& tantam sitimationem passus serici uiridis este conueniet,quari: τ pallus uiridis ueneunt εχ de: S 3 passus nigri reliquis de: ad 72, scilicet de: 3o, quare passus unus de: io, serici igitur utriusq3 precium habes. Hucuso politione operatus es,nunc uenio ad regulam, dico , in talibus diuide passus nu, merositores scilicet Iis numerum de : scilicet 2, Per passus pauciores , scilicet 3 , & quod exit, luc per passus positos in secunda poli. tione,correspondentes paucioribus,& a Pro. ducto numeri passuum,detrahe reliquos pas- .sus secunde politionis,&cum residuo diuide preci j a α producti differentiam,exibit aestimatio past us numeriolioris,in prima politione. Exemplum , diuide & a per exit a 24 duc per ψ,fiunt ' 4 ,&'6, 9 Tabissce 2,asci abrice Sa,relinquutur P i,& -,divide per γ Texit 5, Precium passus unius serici uiridis. Inde ex hoc breuior regula emer git,ut in tertia figura diuide 4 per 3 , scilicet numerum passuu eiusdein generis seriei in duabus petitionibus , exit i, quem duc in , , fiunt 'o, a quibus abissce numeros suprapolitos seocudae positionis,& sunt a & sa, lirediosa dire stis ,relinquuntur π&-,diuidenumerum denariorum per num rum passuum,exit 6,precium passus ui fidi, serici,&ita constitues breuissim)m . .. remiam,ex tam longa positionis operatione,unde merito haec modi regula,mater regularum dici potest. uirid. pas: τpasi a
De regula Aurea. Caput XXX. Haec
110쪽
Da,ARi TAMETre Α, LIB. π.Ac regula rerum, quae in usum ueniunt, maxima partem amplectitur,nam quaestione ad positionem deducta, rsectaq; operatione, proximam quaerit aestimationem, quaesie habetur. Primo uenare proximiores integros nitomeros,maiorem ac minorem, qui aequationi satisfaciunt, quos non dissicile erit habere,horum minorem uocabimias primum inuentum,& maiorem secundum inuentum,Sc differentiam productorum,disserentiam maiorem,disterentiam uero producti primi & numeri aequationis,dimerentiam primam,differentiam autem producti secundi 8c numeri aequationis,secundam differentia. Divide igitur differentiam primam per dimerentiam maiorem,quod exit,addatur primo inuenato,& perficiemus aestimationem impersectam quam deducemus adaequationem, scilicet per denominationes aequationis, ut in primo Scsecundo inuento,& quod producitur,subtrahe a producto secundo, deinde subtrahe aestimationem imperfectam,ab inuento secundo,rea siduum duc in dimerentiam secundam habitam, Sc tale productum diuide per dimerentiam producti aestimationis imperfectae, & secui, di producti, quod exit,detrahe ex inuento secundo,residuum est aestimatio rei ualde proxima,cui per iteratas operationes semper propinquius licet accedere,idem fiet,ubi equatio sit denominatiois alicuius, ad numerum,ac denominationes, ut in exemplis patebit. Sit igitur primo, ud'udratum& Σ3 cubi,aequalia r oo,uides quod si res V .
r 6a,igitur inuentum primum est a,ec productum primum qo, R inuentum secundum 3 , & productum secundu36a, & 3 aa,maior ditarentia, & differentia prima,& 62 disserentia seocunda, & nota, quod inuentum pri mum semper digeri unitate ab inuento secundo,aliter non recte es operatus, his cognitis, diuide so per a a,exit M,quod adde ad a,primum inuentum, fit imperfecta aesti, matio a D, hanc ducito ad cisqdratum 8c tres cubos,fit-fere, subotrahe igitur productum aestimationis impersectae, a 162, proditocto secundo,habebis ττ,subtrahe etiam a ex 3 inuento secundo, relinquuntur RG duc in s a disserentiam secundam, fit ad ra, diuideper 77,exitia i , detrahe ex 3 inuento secundo, erit aestimatio fatis