장음표시 사용
61쪽
erit detracta communi superficie DE, superficies G p aequalis A c,quare quadratum A B,per primam sexti elementorum, aequale superficies, ex E G in Partem E F talem, qualis A B , est pars B c,igitur ex ro' es elementorum, A Bmedia est inter D c & partem illam exE 'unde regula. REGULA.'Cum suerint quantitates, sequa les quantitati rei,& quadratis rerum,& fuerit nota res, ducemus eam in se, deinde reductum in numearum quadratorum,& diuidemus , quod producitur ultimo, per numerum quantitatum,demustii re,& exibit quantitas. Exemplum, ra quantitates, aequantur quantitati rei, & tribus quadratis rei,& res est ducam in se, fit 36,ducam 36 in 3 , numerum quadrastorum rei,fit 8 , diuidam q8, per ra numerum quantitatum, destra re,& est diuidere per 8,exit 6,quantitas ipsa. Si uero quanalitas cognita sit,duc eam in numerum suum,& productum diuide per numerum quadratorum res,ei prouentui adde quadratum dimidii eius,quod prouenit,diuisa quantitate per numerum quadratorum, &radix totius detracto eodem dimidio, est aestimatio rei. Exemplum. εχ quant ' aequantur quan rei,& 3 quadratis rei, 8c quantitas est ri duco ra H 6,fit Ta,diuido per 3 numerum qdratorum,fit a , deinde diuido 6 quantitate,per 3 numerum qdratorum, exit 2, cuius dimisdium quod est i ,dum in se fit etiam 3 ,addo ad rq, fit a s, cuius in s , detracto a ,dimidio 2,relinquit ψ, aestimationem rei. Si uero quant' rei nota sit,ducemus eam in numerum quantitatum,& productum diuidemus per numerum quadratorum,S quod exit, est numerus qui sequatur cubo & rebus,quarum numerus est id, quod prouenit diui
sa quantitate res, Per numerum quadratorum,inde equatio rei,
est aestimatio quaesita, unde dio
uisa quan 'rei,per aestimationeret,exibit aequatio quantitatis.
Exemplum, ra res,aequales sunt quan rei,& 3 quad. rei, & quant ret,est a ,dum H in ra,fit 288,diuido per 3,exityo,deinde diuido per idem numerum quad. rei, exit 8 , igitur cubus p: 8 rebus, aequatur stritunc uero per capitulum suum,res ualet q. Ideo est res aestis
62쪽
Not Hi ERONYMi CARDA Nisestimatio,cum quo diuide 24 quantitatem rei, erit 6 quantitas ipsa. Scias,quod quodlibet capitulum, seu regula ex praecedentibus,
habet omnes proprietates contentas in eadem regula,in singulis mos
dis,quamuis modo utaretur una, modo alia, secundum quod illud quod ei a notum,aliud fit. Exemplum, in decima regula sunt quin proprietates. PRIMA, quod proportio quantitatis ad rem est ut ducta re in numerum quadratorum, Sc detracta quantitate, ad numeruquantitatum. S EcVND A,quod res est proportionalis,inter quantistatem diuisam per numerum quadratorum,S disterentiam rei a nuo mero quantitatum. TERTI A,quod ducta re in se, 8c post in num rum quadratorum,ducto quadrato,tantum fit, quantum ex quantitate in residuum rei Sc numeri quantitatum. Q. VARTAR Q.VINTA,
sunt reliqui duo modi procedendi illius regulae, ad inuentionem rei, horum exempla in quaestionibus. subiungere libuit.
Inuenias duos numeros,quorum quadrata iuncta,sint i oo,& pro ductum unius in alterum duplum sit aggregato eom. Ponemus priomum rem,secundum quantitatem,igitur quantitas rei, aequalis est a rebus,& a quantitatibus, quare ex . regula,proportio residui rei, ad
a,ut 2 ad residuum quantitatis,igitur erunt tres quantitates propor tionales,residuum rei, 2,& residuum quantitatis,res autem constat ex
suo residuo Sc a,sed quantitas ex suo residuo& a,igitur res est aggregatu primae 5c secundae trium quantitatu proportionalium,S quanti titas aggregamin secundae& tertiae,igitur ex dictis in capitulo trium quantitatum proportionalium,quadratum aggregati primae Sc secitndae cum quadrato aggregati secundae Sc tertiae, dc cum quadrato sociandae, aequantur quadrato aggregati ipsarum trium quantitatum, at uero quadratum aggregati primae 8c secundae & quadratum aggreti secundae 8c tertiae ex supposito faciunt 3 oo,N quadratum secundae est 4,quia χ' quantitas proportionalis suit et, igitair quadratum ago gregati omnium trium quantitatum est ro , igitur tres quantitates ipsae iunctae,sunt in ro S quia a' est 2,erunt reliquae, scilicet prima
63쪽
uia uero communi procededo, peruenires ad partes has, quas uides infra, liquet autem quod illae confusae magis sunt,quam uis superioribus aequivaleant. Q V ae s T I o Ita Inuenias duos numeros, tuorum qdrata iuncta sint i oo, & qua dratum maioris,aequale sit duetui maioris in minorem quater cum octuplo maioris. Ponemus maiorem rem,minorem quantitate,critUquadratum rei,aequale Quantitatibus rei & 8 rebus,quare ex V re, mula, auferemus 8 ex re,& fiet residuum res m. 8,unde diuisium per exibit rei ni: r,& haec est quantitas quadrata,igitur rei &-ι rei m. a aequalia sunt 3 oo,quare a quad. P:ψ m: re,ae ibitur roo,& quasdratum aequabitur rei,& ψo vi, quare res eri 'o his P: vj, α
quantitas est huius ira: r,scilicet Rr ς ἱζ. m. 3
Inuenias duos numeros,quorum qdrata iuncta sint Ioo, & pro. du stum unius in alterum,aequale sit triplo quadrati minoris, & sexcupio eiusdem minoris. Ponemus rem minorem numerum,& quantitastem maiorem,igitur quantitas rei, aequatur 3 qdratis rei & 6 rebus, quare ex τ' regula,quantitas est 3 res p: i quadrata igitur rei &murerum p:6 iuncta sunt roo,igitur ro quadrata P:36 rebus P - , a quantur roo,& i qd. P: 3 rei,aequatur εἶ ,res igitur eit, Res zy m.
ι ' de quantitas triplum huius p: 6, id est Rr 8 6sp:τ.
Fac de ao,tres partes proportionales,quarum mediae quadratu, quale sit duplo producti mediae in minorem,& quadruplo minoris, posita media re,& minore quantitate, erit quadratum rei, aequale aquantitatibus rei,& ψ quantitatibus. Quare ex notando primo nongre uiae,res media est proportionalis, inter quantitatem & aggrega, tum ex numero quantitatum Mac producto rei in numerum quantitatis rei,scilicet 2,tertia igitur quantitas est a res p:ψ,quia igit 3 quantitas est a res p: ,& a' res,& hae cum prima constituunt ro,erit prima 6 m: 3 rebus,quare ducta prima in tertiam,fiet quadratum secundae,
64쪽
Hin RoNτMI CARDAN relinquitis prima 6m: Rr 3 p,hae autem quantitates proportionales sunt,& quadratum secundae est aequale duplo producti secundae in primam,cum quadruplo Primae,ut proponebatur. De cubo&rebus aequalibus numero. Cap. XI. Cipio Ferreus Bononiensis iam annis ab hinc triginta serme capitulum hoc inuenit, tradidit uero Anthonio Moriae Florido Veneto, qui cu in certamen cu Nicolao Taris talea Brixellense aliquando uenisset, occasionem dedit, ut Nicolaus inuenerit & ipse,qui cum nobis rogantibus tradidisset, suppressa demonstratione, freti hoc auxilio, demonstrationem quaesiuismus,eami in modos, quod difficillimum fuit, redactam sic subieci.
Siligitur exempli causa cubus G H & sex plum lateris G M aequa Ie ΣΟ,& ponam duos cubos A E & C L,quorum differentia sit ao, ita quod productum A c lateris, in c K Iaius, sit et, tertia scilicet numeri rerum pars, Sabscindam c B,aequalem c Κ,dico, quod si ita fiterit,lineam A B residuum, esse a quaslem G Η,& ideo rei aestimationem, nam de G n iam supponebatur,quod ira esset, per- ficiam igitur per modum primi suppositi 6' capituli huius libri, corpora DA,D c, D E 6D F,ut per D c intelligamus cithtim B c,per D p cusum A B,per D A triplum c B in quadratum A B, per D E triplum. Α Η in quadratu B c. quia igitur ex A c in c K fit 2,exa cis c κ ter, fiet 6 numerus rerum, igitur ex A B in triplum A c in c Κ fiunt 6 res A riseu sexcuplum A B,quare triplum producti ex A B, B c,A c, est sexcuspium A B,at uero disserentia cubi A c, a cubo cK,&existenti a cubo
a c ei aeqle ex supposito,est ex supposito primo es capituli, est
aggregatum corporum D A,D E, D F,tria igitur haec corpora sunt aci. posita uero B c rincubus A B,aequalis est cubo A c,& triplo A c in quadratum c B,& cubo B c ira: 8c triplo B c in quadratum A c m: per deo
monstrata illic,differentia autem tripli 3 C in quadratum A c, a triplo A c in quadratum B c est productum A B,B c A c,quare cum hoc,ut demonstratum est,aequale sit sex plo A B, igitur addito sexcuplo A B. ad id quod fit ex A c in quadratum B c ter,fiet triplum B c in quas tum A c,cum igitur B c sit m: iam ostensum est,quod producium c n
65쪽
triplum c 3 in udratum A B,& triplum A c in qdratu cB,& sex pluA a nihil faciunt. Tanta igitur est disserentia,ex comuni animi senten tia,ipsius cubi A c,i cubo B c,quantum est quod coctatur ex cubo A c.& triplo A c in quadratum c B,& triplo c B in quadratum A c ira:& cubo B c m:& sex cupio A B,hoc igitur est ao,quia disserentia cubi A c acubo c B,fuit 2o,quare per secundum suppositum σ capituli, posita
B cm: cubus A B aequabitur cubo A c, & triplo A c in quadratum B c,& cubo B c ira:& triplo B.c in quadratum A c m: cubus igitur A B, cum sexcuplb A B,per communem animi sententiam , cum aequetur cubo A c & triplo A c in quadratum c B, & triplo c B in quadratum A B m:& cubo c B in: R sexcuplo AB, quae iam aequatur 2o , ut probatum est,aequabiliatur etiam 2o, im igitur cubus ΑΒ& sexcuplum AB inquentur χo,5 cubus G H,cii in sex plo G H aequentur zo,erit ex communi animi sententia,& ex dictis,in 3 p & ; a ' undecimi element
rum, G A aequalis A B,igitur G M est differentia Ac& c B , sunt autem λ c SI c'8,uel A c & c x numeri seu liniae continentes superficiem, in qualcm tertiae parti numeri rerum,quarum cubi disserunt in numero aequationis,quare habebimus regulam. R E G V L A. Deducito tertiam partem numeri rerum ad cubum, cui addes
quadratum dimidii numeri aequationis,& totius accipe radicem, talicet quadratam,quam seminabis,unil dimidium numeri quod iam in se duxeras,ad acies,ab altera dimidium idem minues,habebis Ei nomium cum sua Amtonae, inde detracta in cubica Amtomae ex mcubica sui Binom 3,residuit quod ex hoc relinquitur,est rei estimatio. Exemplum .ctibus & 6 positiones, aequans
tur 2o,ducito a , tertiam partem 5, ad mabiim,sit 8,duc io dimidium numeri in se, fit a oo,iunge roo Sc 8,fit ro8,accipe radiis cena quae esit Rr ros, & eam geminabis,alteri addes 3 o,dimidium numeri,ab altero minues tantundem,habebis Binomiu in io 8p: io,& Apotomen Rr ros m: ro, horum
accipe R: cul, minue illam que est Apolomae,ab ea quae est Binomη, habebis rei aet
66쪽
fiunt 26,huius radici adde ς,& ab ea minue ς,habebis Binomium 26 P:-Apotomen Rr 26 m: ς,igitur rei aestimatio est ni v cubica ira
Exemplum tertium, cubus &es res aequantur a , duc a , tertiam
partem numeri rerum,ad cubum fit 8,duc a dimidium et,ad quadra tum fit 3 ,iunge 8 & r, fiunt o,huius radix est 3, ergo gemina e 3 ,alteri adde i dimidium numeri,fiet ,ab altero minue i, similiter dimi
dium reliquum numeri,fit 2,miniae igitur Ra: cubi minoris ex malo re,habcbis aestimationem rei,Ra: cubicam ψ m: Ra cubica a. Memento autem eius,quod in capitulo de educenda cubica radice in libro tertio dixeramus,quandocp radices illas uniuersales cubi cas,numero integro,uel fracto aequipollere,ut in primo exemplo docuimus,nam Razu: bica Ra: Io8 p: Io m: Ra: V: cubica Ra: ros mzr o est a ut ibi ex regula patet , dc ut experimento etiam notissimum est.
67쪽
28 lit exim cubus aequalis rebus & numero, & sint duo clibi
D c & D p,quorum latera ΑΒ&B c,producat tertiam paro
tem numeri rerum,inuicem ducta,& ipsi cubi iuncti aequa
2 les illi numero,dico A c esse rei qussitae aestimatione, cum enim ex A B,in B c,fiat tertia pars numeri rerum,ex A B in B c ter, fiet numerus rem,& ex A c in productim ex A B in B c terifient res ipsae, Posita A c re,at ex A c in productium A B in B cter, sunt sex corpora, quorum tria sunt ex A Bin quadratum B c, alia tria ex B c in quadratum A B,haec igitur sex corpora,aequalia sunt rebus, ipsa uero cum cubis D c & D F, ex primo supposito capituli sexti constituunt cubum A E, cubi etiam D c&D F,aequivalent numero Pros
Posito,igitur cubus A s,aequalis est rebus &numero propositis,quod erat demonstrandum,mperest ostendere, quod triplum A c in productum A B in B c, sit aequale sex corporibus,id ostendati probauero ex A B,in B c ducto in A c, fieri duo corpora ex A B in quadratum B c,& ex B c in quadratu A B, nam quod fit ex A c in productum A B in B c,aequale est et,quod fit ex A B in superficiem B E,latera enim omnia omnibus sunt aequalia, sed hoc aequale est et,quod fit ex A B in c D R D E,quod autem si ex A ain D E,aequale est et,quod fit ex c B in quadratum AB,quoniam latera omnia omnibus sunt squalia,quod igitur ex A c,in productum A B in B c fit, aequale est his, quae fiunt ex A B in quadratum B c & ex B c in quadratum A B,quod est propositum.
Regula igitur est,cum cubus tertiae partis numeri rerum, maior non fuerit quadrato dimidii numeri aequationis, auferes ipsum ex eodem,& residui radicem,adde dimidio numeri aequationis,at itorum minue ab eodem dimidio,habebis p ut dicunt, Binomium, &Apotomen, quorum is cubicae iuncitae rem ipsam constituunt. Exen plum,cubus aequatur 6 rebus prM,duc 2,tertiam partem numeri res rum,ad cubum,fit 8, aufer ex Mo , quadrato eto, dimi numeri, fit 392,huius radice adijce ad 2o,fit 2o,p:m 3set, detrahe etiam ab eo. dem,fit zo m. Iv392,horum iu cubicae iunelae,faciunt rei aestimatio.
68쪽
Hi ERONYMI CARDANInem, RrU: cubicamzo P: Rr δ' a primu: cubica ro m: Aliud, cubus squatur 6 rebus p. 6,tertiam partem numeri rerum,que est et, ad cubum,ducito, sit 8, detrahe ex st quadrato dimidη 6 numeri squationis,relinquitur 3,cuius Iu est 3,hanc adde & minue a dimidio numeri, ni partes,q dc 2,quarum ne cubitae tunsh,faciuntyr cubitam θ prist cubica 2,aestimationem rei. At ubi cubus tertiae partis numeri rerum,excedat quadratum dimidii numeri,sequationis,quod accidit quandocun* numerus aequationis est minor cubi illius,uel ubi ext numeri rerum producitur in m eiusdem numeri maior numerus numero squationis,tunc hoc dissoluitur per quaestionem Atizam, de qua in libro de qua hortibus Geometricis dictum est,sed si libet tantam effugere difficultatem,plerum capitulum a s huius tibi satisfaciet. De cubo & numero aequalibus rebus. Cap. XIII.
D Eno NsT RATIO.' Oc capitulum ex praecedensi ii trahitur, sit igitur cubus
G A , aequalis rebus A B, quael describuntur quadrata suopscie & numero p, R sit basis cubi G M,
quadratu G K. ius pars quarta sit Η L, residuum autem aequale A D superficies, Iatus autem, quod Graece tetragonicum uocant,residui cD sit c Ε, iit uero M K dimidium H Κ,a qua abscindatur u N , o qualis c E,dico quod tam H N, qua N K, cubi, cum numero F , aequantur rebus A B,ut numerus rem & squationis idem maneat ,& primo ostendamus de MN, constat enim cubu H N continere Iatus suum,H N in quadrato Η N, quadratum
autem A B quia G L aequalis est A D , &G L triplum est quadrati H M ) aequale est triplo qdrati H N,8c quadrato Μ N, haec autem superant,ex ' a' element rum,quadratum H N,in duplo H Μ in N K, quare in eo quod fit ex M κin N x,quia Η K dupla est ad B M,cubus igitur H N , cotinet latus sulim
69쪽
in superficie A B minus eo,quod fit ex H K in x N. At uero,quia cubus si x continebat res seu latera Η Κ in quadrato H x,uel in quadrato
A B,cum numero P,igitur ex communi animi sententia, F numerus aeo
qualis est, producto ex H x in disserentiam qdratorum AB& G x, at differentia G κ & A B est,quanta disserentia H L&c B,quia A D est aes qualis G L dimerentia autem AL&c B est,ut quadrati M M 8c M N,igitur ex disserentia quadrati it Μ,& Μ N in Η K,fit F numerus,at uero ex ' a elementorum,disserentia quadratorum H N, seu N K,& Μ N , est duplum M N in N x,cum quadrato N K,& ideo M N & M K in N K , 8c ideo H N in N K,igitur ex Η Κ in productum H N in N K fit F numerus, addatur igitur F numerus, bo MN, Rex alia parte productum exv x in x es duetiim in ii N producto ex H M in superficiem A B , minus producto Η Κ in K N, fiet cubus M N cum numero aequalis H es duet in A B,seu rebus ex A B,quod erat probandum. Similiter, quia dimorentia G x & A B,quae est M N in x N,ducta in x Η,producit F, di Terentia etiam Α Β &quadrati K N cum A B sit equalis quadratis Η Μ & Μ κ& M N,& duetiii K M in M M ) aequalis est differentiae dupli κ μ in v Na quadrato N H,addito ei rectangulo M N in N K, at quod fit ex M N in N K cum quadrato N M,aequale cst Producto ex ΚΗ ita Η N, per a
elementorum,igitur quadratum A B superat quadratum N K in prooducto x v in M N semel, in igitur numerus F,contineat N K in producito x Min MN,& cubus Κ N contineat Κ N in quadrato N, erit, ut cubus K N cum numero F,seu cum producto ex K N in reet inguium K Ηin Η N,aequalis Producito A B in K N,igitur cubus K N cum eodem nitomero F,aequalis est A B numero rerum eidem. Ex hac demonstratione
patet,quod aequatio cubi aequalis rebus & numero, aequalis est ambabus aequationibus cubi & eiusdem numeri aequalium totidem rebus, simul iunetis,uelut si cubus aequalis sit 3 o rebus & 32,& aequatio fiem I P: I ,aequationes cubi p: la,aequalium a o rebus quae sunt a & ruτ m: i ,simul iunctae,facient N 7 p: I.
Regula igitur est,cum suerit cubus & numerus aequalis rebus inuenies aestimationem cubi aequalis totidem rebus, & eidem numero, cuius dimidium in se ducito & triplicato, hoc abiice ex numero rem, R in residui addita dimidio aestimationis cubi aequalis rebus & n mero,uel detracta, ostendit aestimationem cubi & numeri aequalium rebus. Exemplum,cubus p: 3,aequatur 8 positionibus, tunc inuenio aestimationem cubi aequalis 3 rebus p: 3,ex praecedenti capitulo,& est
etiam 3 ,huius dimidium duco in se, fit a 4 triplica,fit 6 l, abiice ex S
70쪽
Hi ERONYMr CARDANI rerum numero,sit residuum 3 4 ,cuius tu addita uel detracta ab 1 dimidio aestimationis cubi aequalis rebus & numero, ostendit utrasipaestimationes quaesitas alteram i l p sv a reliquam rim: m 3 4.
. Nunc etiam ostendamus, quomodo una aestimatione habita, abs auxilio praecedentis capituli habeatur & reliqua,& sit,ut ex A Din A c quadratum fiat numerus aequationis,ita qiuod quadrata A D &Α c iuncia,faciant numerum rerum,eritq; ex 8' capitulo, A rtiret aestimatio dc sit E M linea,cui si adderetur dimidium A D quadratum toti
us,aequale foret quadrato A c & quadrato dimidii A D , dico F u est:
reliquam aestimationem,quando cubus cum num m ex Α D in A c aequalis est rebus in quadrato A c,& quadrato A D,fiat quadratum E G,quod cum quadrato r H aequale sit quadratis Ac & A D , iunctiis, quia igitur quadratum composite ex p M & dimidio A D,aequale est quadratis c A&dimidii A D, erit ex 'a elementorum abie sto communi quadrato di midii A D,quadratum A c aequale quadrato p Η , &duplo p M in dimidium A D,quare rectangulo ex F Η in A D semel cum quadrato F H,quare ex ιε' ς elementorum AB p oportionalis inter F H& aggregatum F Η&A D,quia uero quadratumn G,additum producto F Η in se,& in a D,tantum facit, antum additum,quadrato A c, E G uero,& F H quadratum,aequalia sunt quadra iis ADRAc, ex supposito, erit quadratum A c & quadratum AD &Productum P Η in A D,aequale quadratis A c R E G, inde abiecto communiter A c quadrato,erit E G quadratum,aequale ei quod fit ex F His A D cum quadrato A D,ex ιε' igitur 6 , Er proportionalis est inter
AD 3c aggregatum ex A D & M p,cum similiter,ut ostensum est, Ausit proportionalis inter v M N aggregatum p M & A D,erit ex 3ς ς' nostri super Euclidem, quia p Η & A D tundita in utro ordine sunt prisma quantitas,proportio F Η,ad A D,ut A B ad Ε F duplicata,quare exr 'inelementorum, F H ad A D,ut A c ad E G, igitur ex δέ ii' et mentorum, corpus quod sub p Η & E G continetur, aequale est cor pori sub A D N A c,quare & numero aequationis,cumP quadrata E GN Η F,aequentur numero rerum,quia quadratas ac&AD, erit m 8'capitulo suius, is F etiam aestimatio rei,in eodem capitulo. unde remta. . REGULA.
Duc dimidium primae aestimationis in se,& triplica,& aufer a nismero rerum,S Rr residui,detracto dimidio prioris aestimationis , en aequati