Geometriae speciosae elementa primum de potestatibus, àradice binomia, & residua. Secundum de innumerabilibus numerosis progressionibus. Tertium de quasi proportionibus. Quartum de rationibus logarithmicis. Quintum de proprijs rationum logarithmis. S

191쪽

ΤERTI U M. Ioseon P. quoniam e ad L est maior aequalitate, sed mi- p.,. nor, quam dupla; diuidedo, e fad f, est minor def3. h. aequalitate. Et quoniam A ad B, est quasi aequalitas ; potest A ad B, minor essh, quam c-d ad p. bood; & maior, quam e-s ad s. Ergo componendo, potest A -B ad B, minor esse, quam e ad de b.lde, & maior, quam e ad s. Ergo A B ad S,

est quasi dupla. Quod&c.

Quare &c. Theor. IS. Prop. I s.

R Atio quasi aequalitas, diuidendo, est quasi nulla. 'poth. Esto ratio A ad B quasi aequalitas: & esto A maior,

quam P. Dico diuidendo A B ad B, esse quasi nullam.

Praepari

Assumatur quaelibet ratio e ad L

p. Quoniam A ad P, est quasi aequalitas; & est A

' maior, quam B; Se e d maior, quam d: ergo def3.b.ipotest A ad B ratio, minor esse, quam e d ad p. o. de ergo diuidendo potest A - B ad B ratio, mi--λ. nor esse, quam e ad d: ergo A - B ad P, ratio est quasi nulla. Quod Sec. Quare dec.

. Theor.

192쪽

Theor. I T. Prop. II. . ἰRAtio quas aequalitas, per conuersionem rationis est quasi infinita.

Esto ratio quasi aequalitas A ad Pr & esto A maior, quam B. Dico, per conuersionem rationis, A ad A P, rati nem esse quasi infinitam.

Praepara

Assumatur quaelibet ratio maioris inaequalitatis e ad L Demons,.

0p. Quoniam A ad P, est quasi aequalitas ; & est A

def.3. h. maior, quam Z; item e maior, quam c - in er- h. go ratio A ad potest minor esse, quam c ad c - d: ergo per conuersionem rationis, A ad A Z ratio, potest maior esse, quam c ad in &est mauor omnibu3, tum aequalitatis, tum minoris desp.h. inaequalitatis rationibus: ergo A ad A B ratio

est quasi infinita. Quod &c.

Quare &c. . . Theor. I 8. Prop. 1 8. .

Vae eidem sunt quasi aequalia, inter se sunt quasi

Sunt A, B, quas aequalia: item C, quasi aequalia.

193쪽

Assumatur quaelibet ratio d ad non aequalitas: cuius maior terminus di minor e . ia inter d, e, media sumatur s. DemonDr.

Da . t Quoniam A, B, sunt quasi aequalia, potest A ad P, minus esse, quam d ad se , maius, quams ad d. Item B ad C potest minus esse,quam f4. b. t ad e, de maius, quam e ad s. Ergo ex aequali, poteis A ad C minus esse, quam d ad Zedes 3Θ. . t majus, qι, .e ad d, ergo A ad C, quasi esti aequalis. Quod&c.

Quare Scc.

Theor. I9. Propos I9.

Vae eidem sunt quasi eedem rationes, inter se sunt quasi eidem . Hypoth. A ad B, quasi eadem est, quae C ad D: de C ad D, quasi eadem, quae E ad F. Dico A ad P, quasi eamdem esse quae E ad F.

Assumatur quaelibet ratio I ad hi maior, quam cui propior potest esse E ad F: le quaelibet i ad l, minor.

d . .. Quoniam C ad ' quasi eadem est, quae E ad F: potest C ad D, minor esse, quam g ad hs N R. b. maior, quam i ad ι. Ergo g ad b, maior est, quam

194쪽

minor. Et quoniam A ad quasi est cadem, quae C. ad D: ergo A ad potest esse minor, constr. quam I ad h; & maior, quam 1 ad i. Sed I adb est qua libet assumpta, maior, quam cui prinpior potest esse E ad F; & i ad l, est quaelibet def. a. assumpta, minor: ergo A ad B, est quasi eadem, quae E ad F. Quod &α

. . . a

Theor. ΣΟ. Prop. 2o.

QVas proportionales, conuertendo, sunt quasi pr

portionales.

H oth. Sint quas proportionales A ad ut C ad D. ' Dico conuertendo, quasi proportionales esse B ad A, ut D ad C.

Praepara

Sumatur quaelibet e ad f, maior, quam eui, propior potest esse D ad C: & quilibet 1 ad Ma. h. minor: & erit conuertendo, sumpta ad e, mi-l nor,quam cui propior potest esse C ad hadis, maior.

Demonstri

,ποι,. i Quoniam A ad B, quasi est eadem, quae Cris . h. ad Dr ergo A ad F, potest esse minor, quam ,..t ad e; & maior, quam ad e: ergo conuerte dos

195쪽

. T Ei R Τ I V M. II si do, N ad A, potest esse maior, quam Iad hic def. . h. l minor, quam e ad Is ergo F ad a, quasi eadem l est, quae D ad C. Quod Sc.

Theor. 2I. Prop. 2I.

EX quasi ij idem rationibus, ex aequali, quasi ridem

sunt rationeS composita .

A ad B, quasi eadem ratio est, quae C ad D: & E ad F, quasi eadem, quae G ad HDico ex aequali, ex A ad B, B E ad F eompositam, quasi eamdem esse, quae ex C ad D, & G ad H compin

sita .

Praepara

Assumatur i ad L, quaelibet ratio maior, quam cui propior potest esse, ex C ad D, & G ad H composita et item assumatur quaelibet i ad m, minor. Deinde fiant

i ad n , & l ad st, sicut cui propior potest esse C ad Dritem p ad ho M 3 ad m, sicut cui propior potest este G

196쪽

r I ELEMENTUM

Demon'.

cui'. l Quoniam i ad c maior est, quam cui propior potest eine, ex C ad D, Sc G ad si compolitaε&est i ad n , cui propior potest esse C ad D, M h- p ad cui propior potest esse G ad V: ergo i ad k , maior est, quam, quae ex i ad n, N ex p ad

k, composita. Ergon, maior est, quan p. Si p. b. enim esset aequalis ipli ρ: ex ι ad λ 6d ex pqu litatera ex p ad L coposita ratio i ad his ellet ca-dem, quae ex ea, cui propior potest else C ad D, ex aequalitate, & ex ea, cui propior potcst esse GΦ ad H, composita est ; contra assumptum. Quodsi n, essent minor, quam p: ex i ad n, Sc minori inaequalitate, Se p ad h., composita ratio 1 ad k, esset minor, quam quae ex ea, cui propior potest esse C ad D, ex aeq talitate, & ex ea, cui propior potest esse G ad H, compolita est; contra idem assumptum. confir. l Ergo maior est,quam pr & r, minor,quam s. s. l n; & maior quam p: habetque i ad r, maioremi rationem, quam 3 ad n ι idest maiorem, quatria,

s. s. l cui propior potest esse C ad O : habet quoque rad k, maiorem, qu m y ad k; idςst, maiorem, quanta, cui propior potest esse G ad Η.

ebor. Similiter, quoniam i ad m, minor est, quam .

3 cui propior potest esse ex C ad D, & G ad Mi composita: Se est ι ad ν, eadem, cui propior po- .. h. t test esse C ad D: de 3 ad eadem, cui pro

197쪽

l o s mpior potest esse G ad H: ergo i ad m, minor est, quam quae est ex t ad O, di ii ad m composita. Ergo o, minor est, quam q. demonstrari enim potest ut supra, quod si o, esset aequalis, vel maior, quam 3: esset i ad m ratio non minor, quam cui propior potest esse,ex C ad D,& G adH composita; contra assumptum. Cum itaque o, sit minor, quam ' : erit F, maior, quam οἱ minor, quam ii: habetque i ad s, minorem rationem,quam i ad O; idest, minorem, quani,cui propior potest esse C ad D. habet quoque s ad m, minorem rationem, quam ι' ad met

Idest, minorem, quam, cui propior potest esto G ad H. Itaque i ad r, maior est, quam, cui propior potest este C ad D: & l ad s, minor. Sed A ad B, quasi eadem est, quae C ad D: ergo A ad B,

potest esssi minor, quam 3 ad r, & maior, quaml ad s. Similitcr r ad k maior est,quam,cui propior potest cile G ad H; & s ad m, minor: N est E ad F, quas eadem, quae G ad H: ergo E ad. F potest cile minor, quam r ad k ; & maior, quam s ad m. Ergo ex aequali, potest ex A ad Z, P a & E

198쪽

ELEMENTUM

Theor. 22. Prop. 22.

O Vasi proportionales, permutando, sunt quasi proportionales. Hypoth. Sint quasi proportionales A ad B, ut C ad D. Dico permutando, quasi proportionales esse A ad C, ut B ad D. Demonstr. 0poth. Sunt enim quasi eqdem rationes A ad B, R B21. h. ad Q quae B ad C, N C ad D: ergo ex aequali, A ad C, Se B ad D, rationes compolitς sunt qua-def. 12 lsi eaedem: Ergo A ad C, S: B ad D, sunt quasi proportionales. Quod Sce. Quare Sec.

199쪽

Theor. 23. Prop. 23.

R Ationes quasi eaedem , componendo, sunt quasi

eaedem.

Hupoth. A ad F, quasi eadem esto, quae C ad D. Dico componendo ad quasi eandem esset,

quae C D ad D. Praepari

Assiimatur e ad f, quaelibet ratio maior, quam cui propior potest esse C D ad D: ite I ad K quaelibet maioris inaequalitatis, sed minor.

Demonstr.

Quoniam e ad f maior est,quam,cui propior potest esse C D ad D: diuidendo, e-s adsmaior est, quaen cui propior potest esse C ad D. Item quoniam I ad h, minor est, quam cui propior potest esse C D ad D: diuidendo I-Gadb minor est,quam cui propior potest esse C ad D. Sed A ad S, quasi eadem est, quae Cad D: ergo A ad 2 potest esse minor, qaam e-fad A &maior, quam g - h ad h. Ergo componendo A B ad B potest esse minor, quam e adf; de maior, quam I ad h. Ergo A- B ad B, quasi eadem est, quae C D ad D. Quod tac.

Quare M. Theor.

200쪽

RAtiones quasi eaedem, diuidendo, sunt .quasi ea

Hypoth. Sint rationes quasi eaedem A ad B, & C ad D. Dico diuidendo, quasi easdem este rationes A-B ad F, & C- D ad D.

Praepar

Assumatur e ad L, quelibet ratio malo quam cui propior potest esse C - D ad D: & assumatur g ad b, quaelibet minor. Demonstri Quoniam e ad s. maior est,quam, cui propior potest esse C D ad D; NI ad b, minor: ergo componendo e s ad Imaior est,quam cui propior potest esse C ad D; N I h ad h, minor. Sed A ad B, quasi eadem est, quae C ad D: e go A ad B potest minor esse, quam e faV de maior, quam g--h ad h. Ergo diuidendo A Bad B, potest minor esse, quam e ad D N maior, ef A l quam g ad h. Eigo A B ad B, quasi eadem l est, quae C - D ad D. Quod &c.

Theor. 23. Prop. 21.

RAtiones quasi eedem, per conuersionem rationis, sunt quasi esdem. Hypoth.