Geometriae speciosae elementa primum de potestatibus, àradice binomia, & residua. Secundum de innumerabilibus numerosis progressionibus. Tertium de quasi proportionibus. Quartum de rationibus logarithmicis. Quintum de proprijs rationum logarithmis. S

251쪽

dae, aequemultiplicata , atque sexta, quartae : erit Sc composita ex prima, & quinta,secundae aequemultiplicata,atq; compolita ex tertia, & sexta, quartae . l . ' Hypoth. . . . . a a, bat multiplic*ta M b. . sicut ea da: multipli-

Theori

252쪽

ELEMENTUM

Theor. 6. Prv. q.

SI prima ratio, secundae aequemultiplicata fuerit, atque

prima quantitas, secunda* sumantur autem ratio, δι quantitas; & sempta ratio, sit qquemultiplicata primae r tionis, atque lampta quantitas,multiplex primae quantitatis : erit & ex aequo, sumpta ratio, squemultiplicata secum dae rationis, atque sumpta quantitas, secundae quantitatis. Noth. a3; b D. multiplicata a; b. sicut m, si multiplex.a6; bo: multiplicata a3; ,3. sicut σc; 30 mu,tiplex. Dico as; bos: multiplicatam M L. sicut sci, si multiplicem. Demonstri,' .ib. a3; bat multiplicata in b. sicut 3e; si multiplex: z. h. a 3; b3,-a3, b3: multiplicata M b. sicut a.

'3c, si multiplex

Si prima ratio, secundae aequemultiplicata fuerit, atque

tertia,quartae; sumantur autem aequemultiplicatae r tionesi

253쪽

tiones, primae, Se tertiae: erit Sc ex aequo, sumptarum viris. que, Vtriusque, aequemultiplicata I altera quidem secunde, altera autem quartae.

cata mi L

dL -- e 3; d3. Et quot sunt a3; b3, & as; b3: totidem sunt ei; & c3; 43. I. ais; multiplicata M b. sicut cis; ιis: mul-l tiplicata G d. Quod&c. . Quare Sec. Dor. 6. Propos G. SI fuerint, in eadem ratione togarithmica, prima ratio, ad secundam, atque prima quantitas, ad secumdam: etiam multiplicata prinaae rationis, de aequemultiplex ' Primae quantitatis, ad multiplicatam, secundae rationis, M

254쪽

aequemultiplicem secundae qu*ntitatis, in eadem erunt lin

Sint rationes A, & B; & quantitates a, & be &sit ratio A, ad rationem P, logarithmicE; sicut quantitasa, ad quantitatem b. Sitque ratio 3 A, multiplicata rationis A; sicut quantitas 3a, multiplex quantitatis a: item ratio qF, multiplicata rationis F, sicut quantitas b, multiplex quantitatis b. Dico rationem 3 A, ad rationem ς', esse togarit, mice sicut quantitas 3a, ad quantitatem se.

Accipiatur ratio sa, multiplicata rationis 3 in &quantitas sa, aequemultiplex quantitatis 3 a: itein ratio et oF, multiplicata rationis 45; & quantitas zohequemultiplex quantitatis qb. Demonstr. Ratio σα aequemultiplicata est rationis atque quantitas 6a, multiplex est quantitatis a. item ratio 2OS, aequemultiplicata est rationis P; atque quantitas 2 ob, multiplex est quantitatis ι. Sunt autem rationes A ad B lo arithmice, sicuiquantitates a ad s. Ergo ii ratio GA, est altior ratione et o B; etiam quantitas Na, m

i ior est quantitate a ok siisquealta; aequalis: sid i pressior; minor. Sed est ratio GA, aequemulti-l plicata rationis 3 A, atque quantitas cta, multiplex

255쪽

tiplex quantitatis 3 a: & ratio a ori rationis F, aequemultiplicata est; atque quantitas 2 ob, quam -8. b.ilitatis o o Ergo rationes 3 AE ad siunt lo-l garithmice;sicut quantitates, 3 a, ad que. Quod &α

Quare M. Theor. T. Prop. T.

nem logarithmice, atque tertia, ad quartam: etiam, aequemultiplicatae rationes primae, & tertiae, ad aequemultiplicatas secundae, & quartae , iuxta quamuis multiplic tionem, eamdem habebunt rationem, si prout inter se respondent, ita iumptae fuerint. 'poth. Sunto rationes quatuor A ad B, te C ad D, togarithm ce proportionales: & sento ipsarum A, C, aequemultiplicatae rationes 3A, IC: necnon ipsarum Tλ, aeque- multiplicatae, qF; qD.

Dico quatuor rationes 3 A ad ' Se 3 C ad D, i garithmice pro ortionales esse.

Sumantur ipsarum 3 A, 3 C, aequemultiplicatae rationes GA, 6 C: & ipsarum Assi, qD, aequemultiplicatae,

Demonst. . b. Rationes σχι σC, aequemultiplicatae sunt rationum, C: di zo F, et OD, aequemultiplicatae

X sunt

256쪽

hποrb. sunt rationum D. suntque A ad B, togarith- defit..imice proportionalc ut C ad D. Ergo sit G, altior est, quam et ora etiam 5C, altior est, quam 2OD: si aequealta; atquealta: si depressior; depres potb.isior. Et sunt GA, SQ ipsarum 3 C, aeque- multiplicatae; necnon a o B, 2 OD, ipsarum defixhiqD,squemultiplicatae. Ergo 3 A ad B, & 3C

l ad D, sunt logarithmice proportionales. i Quod M.

Quare M.

Theor. 8. Prop.

SI suerint duae rationes, singulae, ex binis compositae, altiores, ex depressioribus, & quodammodo totae,ex abscissa, & residuar fuerit autem una tota ratio, ad alteram totam, aequemultiplicata; atque sua abscissa,ad alterius a scissam: erit & aequemultiplicata; atque sua residua, ad auterius residuam. 'poth. Ratio A- P, ex rationibus A, & B, altior, ex depressioribus, componitur; item o D ratio, ex rationibus C, &D, componitur :&AEO A F, ad C D, aequemultiplicata, atque A ad C. Dico a B ad CH D, aequemultiplicatam etiam esse, atquc B ad D.

Praepara

Fiat ratio G ad D, aequemultiplicata, atque A ad C.

257쪽

p. h. Dpoth. p. p. p. p. p. p. p. h.

A- G ad C D, aequemultiplicata est, atque A

P ad C- D, equemultiplicata est,atque A ad C. A- F raxio,eadem est, quae Α-- Et com posita utrimque conuersa rationis A, B ratio, eadem est, quae G. B ad D, aequemultiplicata est, atque A ad C. A B ad C D, aequemultiplicata est,atque B ad D. Quod M.

Quare &c. Theor. 9. Prop. 9.SI ratio, & quantitas, cuiusdam rationis, & cuiusdat quantitatis, aeque lint multiplicata, & multiplex ; Se abscissa ratio, & abscissa quantitas, eiusdem rationis, Neiusdem quantitatis, atque sint multiplicata, & multiplex: residua ratio,de residua quantitas,eiusdem rationis, Se eius. dem quantitatis, vel sunt aequealta, di aequalis; vel aequEsunt multiplicata, Se multiplex. 'poth. Ratio A R rationis C, aequemultiplicata est, atque quantitas multiplex quantitatis ι; & ratio A, rationis C, aequemultiplicata est, atque quantitas a, multiplex

quantitatIS c.

Dico quod , vel P atquealta est ipsi C; sicut aequalis ipsi e: vel B aequemultiplicata est ipsius C; sicut ,

258쪽

multiplex ipsius c.

Demonstr. poth. Numerus rationum C, ex quibus A B componitur, idem est qui quantitatum si ex quibus a b colligitur: item numerus rationum C ex qui- 'thus A componitur, idem est qui quantitatum si

ex quibus a componitur. Quorum numerorum, vel est disterentia unitas, vel numerus. Si unitas est disterentia; una est ratio C, qua- cum composita ratio A. facit rationem A B; Nuna est quantitas c, quacum composita quantitas potb ja, facit quantitatem a b. Sed Se B ratio est,qua cum composita A, iacit rationem A B, & bquantitas est, quacum compolita a, facit quant

talem a 'b. Ergo B squealta est ipsi C; atqueb aequalis ipsi c.

Si vero numerus est disserentia, tot sunt rati nes C, quibuscum composita ratio A, facit rationem A--B; totidemque sunt quantitates c, quibus cum composita quantitas a, facit quantita tb.item a b. Sed B ratio est, quacum composita ratio facit rationem AH S; & b quantitas, qua- cum composita quantitas a, facit quantitatem a b. Ergo quot ex C rationibus componitur B, tot ex si quantitatibus componitur b. Ergo Nad C, aequemultiplicata est, atque ι ad si mul M. b. tiplex. Ergo B ad C, vel aequealta est: atquαν - , ad

259쪽

b ad ci aequalis: ves aequemultiplicata est et atque multiplex. Quod M. Quare M.

Theor. I o. Prop. I Ο.SI duae rationes, duarum rationum, lint aequemultiplicatae; & abscissae quaedam,sint earumdem aequemuit plicatae: &residuae, eisdem, aut aequealtae sunt, aut aeque- multiplicatae. 'poth. Ratio A B, rationis C, aequemultiplicata est, atque ratio D'E, rationis ' Sc ratio A, rationis C, aequemul tiplicata est, atque ratio D, rationis F. Dico rationem B rationis C, aequealtam esse,atqse ratio E rationis F; vel aequemultiplicatam. Demonsk.-πρib. t Quot ex C rationibus, ratio A B componitur, idem numerus est, indicans etiam, quot ex Frarionibus, componitur ratio D E. & quos ex C rationibus, ratio A componitur, idem numerus est, indicans etiam, quot ex F rationibus,, rio D componitur: quorum numerorum vel est differentia unitas, vel numerus. Si unitas est differentia: una est ratio C, qu cumcomposita ratio A, facit rationem A--R de una est ratio F, quacum composita ratio D, Ω- πρ b. l cit rationem D E. Sed N B cum AE N E cum

260쪽

i O, faciunt rationes compositas A F, & D K. Ergo F ad C eadem est, N aequesta, atque ratio E ad F. si enim binae non es lent atquealtq; esset una binarum, aequalitati propior, quam altera, &non essent esdem inter se. Si vero numerus est differentia: totidem sunt rationes C, quibuscum ratio A composita, facit rationem; quot etiam rationes F, qui si cum ratio D composita, facit D E rationem . Sed N B cum A, de E cum D, faciunt rationes M. h. l compositas Α- F, Sc D F. Ergo B ad C pqu

i multiplicata est, atque E ad F. Ergo B ad C, veli aeqvgalia est, vel aequemultiplicata, atque E ad F.

t Quod M.

Quare Sota poth. Theor. II. Propos I I.

auealtar, ad eamdem, camdem habent rationem logarithmicam: & eadem, ad equealtas. N ob. . Rationes A, & B sunt atquealta . - :Dico AE rationem, ad C, esse togarithmice, ut F, ad C. Et C rationem, ad A, esse togarithmice, ut G ad F.

. Sumantur ipsarum A, F, aequemultiplicatae rationes D, B tu sumatur F rario multiplicata, rationis C.