장음표시 사용
271쪽
RAtionum logarithmice proportionalium, si prima
suerit altior, quam tertia: erit & secunda altior, quam quarta: si aequealta; aequealta: si depressior; depres
Rationes A ad B, R C ad D, sent Iogarithmice pro
portionales. Hypoth. I. Altior est ratio A, ratione C. 'Dico, quod altior est ratio B, ratione n
t Esto, si fieri potest, non altior B ratio, quam Γλ ergo vel est aequealta, vel depressior. Esto si fieri potest arquealta. Ergo A ad B, maior est logarithmice, quam C ad B: sed C ad B eadem est logarithmice, quae C ad D. Ergo A ad B invior est logarithmice quam C ad D, contra Dpoth.
Non sunt ergo D rationes aequealta .
ix. b. Esto, si fieri potest, B depressior, quam D. Ergo C ad B, maior est logarithmice, quam C ad inotb. l D. Sed A ad B, est logarithmice, ut C ad n Emi . h. go C ad P, maior est logarithmice, quam A adi . h. N. Ergo C altior est, quam A. contra hypoth. l Non est ergo B depressior, quam D; nequ i aequealta : ergo B est altior, quam D. Quod&c.
272쪽
Equealtae sent rationes A, C. Dico quod A aequealtae sunt rationes D. Demonis. Sunto B, D non aequealtae, si fieri potest: taret. b. esto B altior, quam D. Ergo C ad D, maior buoib. est logarithmice, quam C ad S. Sed A ad B, ea-r7. b. dem est logarithmich, quae C ad D. Ergo A ad i q. i. B, maior est logarithmich, quam C ad D. Ergo A, altior est, quam C. contra hypoth. Sunt ergol F, D aequealtae. Quod&c.
Depressior est A, quam C. Dico quod & B depressior est, quam D. Demonstr. hπηb. j Altior est C quam A: & est C ad D logari- Dp. l tbmice, ut A ad 2S: ergo altior est D, quam B: def.α. b. t ergo depressior est B, quam D. Quod&c.
SVbmultiplicatae rationes, cum pariter multiplicatis, in eadem sunt ratione togarithmica, si prout sibi mutuo respondent, ita sumantur. Rationu A, B, sunt aequemultiplicatε rationes 3 A, Dico A ad B, atque 3 A ad 3 2 , esse togarithmice proportionales. De-
273쪽
16. h. cunque oportet,acceptae, sunt proportionales:em' go ex antecedentibus composita ys, ad ex comsequentibus compositam 3B, est logarithmice,
R Ationes logarithmice proportionales, permutando, fiunt logarithmice proportionales. N poth. Sint rationes logarithmice proportionales, A ad B, ut C ad D. Dico permutando, esse togarithmice proportionales, A ad G ut B ad D.
Rationum A, S, sumantur aequemultiplicats 3 A, 3B:& rationum C, D, aequemultiplicatae a C, a D.
i . h. l ad D. item C ad D, & a C ad 2D. Ergois. b. t 3 A ad 32', de et C ad 2D sunt Iogarithmicei . h. proportionales. Ergo sit 3 A, est altior, quam
a C; etiam 3 P, est altior, quam ara si aeque- infra. bista; aequealta si depressior; depressior. Ergo AZ 1 ad C,
274쪽
I8o ELEMENTUM ad C, & F ad D, sunt logarithmice proportionales.
RAtiones inter se, vel & cum quantitatibus, logarithmice proportionales, diuidendo, iunt logarithmice proportionales. poth. GRationes A B ad & C D ad D, sunt logarithmice proportionaleS. Dico diuidendo rationes A ad S, & C ad D, esse togarithmice proportionales.
Sumantur ipsarum A, B, C, D, aequemultiplicatae 3 3 3C, 3 in necnon ipsarum C, D, aliae quin libet aequemultiplicatae qQ UP.
p. h. constr. l . h. constr. 3. h.
Demon . Rationes 3 A, 3 equemultiplicatae sunt rationum B: Ergo ratio 3AE 3 B totuplicata est rationis M B, quotuplicata est 3 A ipsius necnon 3 C, N 3D ipsarum C, & D: necnon ratio 3C-3D rationis C D. Rationes quoque 3 C, 3 D, rationum C, D;& rationes ελ earumdem C, D rationum sunt aequemultiplicatae: ergo etiam TC, D, earumdem C, rationum sunt aequemultiplicatae. Et
275쪽
,nistb. Et quoniam rationes A B ad B, & C- Ddefla. biad D, sunt logarithmice proportionales: si 3A-ρ3B, altior est, quam TF; etiam 3C-3D, altior eli, quam 7D: si aequealta; equealta: sid ' pressior; depressor.
Sed si sis altior est, quam qR adcomposita
communi ratione 3 R etiam 3 32' altior est,q. 3. quam TN. nam eiusdem maioris, vol eiusdes minoris inaequalitatis, ex remotioribus rationibus ab aequalitate, compotita ratio, est remotior ex propioribus, propior. Nostensum est, quodsi 3A--3B, altior est quLn 72 ; etiam 3 Caltior est, quam 7D: & seposita communi ratio- Α- 3 ne 3 D; altior est 3 C, quam O. nam si a C, non esset altior, quam D: composita, 3 D; fie-rct ratio 3 CH 3 D, non altior, quam TD. contra superius probata.
Ergo si s A altior est, quam B, etiam 3 C altior est, quam U: similiter ostendetur, sisque- desii. hista; aequealta: si depressior; deprcssior. Ergo A adl B, est logarithmicE, ut C ad D. Quod&c.
Rationes A B ad B, & quantitates a b ad b, sunt logarithmich proportionales. Dico diuidendo, rationes A ad B, dc quantitates a adb esse togarathmice proportionaleS.
276쪽
Rationum A, B, & quantitatum a, b, sumantur squ multiplicats rationes 3 A, 3B, ta aequemultiplices quanti tales 3M 3b. item rationis & quantitatis b, multiplicata ratio & aequemultiplex quantitas o.
Ratio totuplicata est rationis A B, quotuplicata est 3A, ipsius AE &quantitas 3a, quantitatis M N quantitas 3b, quantitatis &quantitas 3a- 3b, quantitatis a Liauantitates quoque 3 a, 3b, quantitatum b; & quantitates qa, earumdem a, b, sentaeque multiplices: ergo Ta, Fb, earumdem a, sunt aequemultiplices. Et quoniam rationes Α- S ad S, & quantitates a b ad b, sunt logarithmice proportion tes : si 3A 3P, altior est, quam 7F; etiam 3 a-3b, maior est, quam 7ό: si aequesta; aequalis: si depressior; minor. Sed si 3A, altior est,quam qB; etiam 3AE 3 B, altior est, quam 7B: &si 3 a 3b, maior est, quam 7br, etiam, dempta communi 3b, relinquitur 3 a, maior quam b. Ergo si IA, altior est, quam qF; etiam 3a, maior est, quam qkSisimiliter ostendetur, si aequealta; aequati: si dedera. b. t dressior; minor. Ergo rationes A ad Squantitates a ad b, sunt logarithmice propo tionales. Quod &c. Quare &c.
277쪽
RAtiones inter se, vel& cum quantitatibus, logaria
thae ice proportionales, componendo, sunt logarithmice proportionales . H poth. I. Rationes A ad S, & C ad D, sunt logarithmice proportionaleS . Dico componendo, rationes A B ad B, & C D ad D, esse togarithmice proportionales.
Assiimatur E ratio, ad quam C D siit logarithmice, sicut Α- B ad B.
Demons,. Quoniam A B ad B, & C-FD ad Ε, sunt lo-garithmice proportionales: ergo diuidendo ad B, &C--D--E ad C sunt logarithmice proportionales. Sed A ad B, & C ad,sunt togaricla ce proportionales. Ergo C ad D, &C- D-E ad Ε, sunt logarithmich proportionales. Ergo D, aequesta est, ideoque eademia, atque E. Nam si D, esset altior, quam Ee esset C altior, quam C- D- E. Sed contra, esset C D altior, quam C'E: fe C- D-E, altior, quam C: quod est contradictio. Rursum ii D, esset depressior, quam E: esset C, depressior, quam CisD- E. Sud contra, esset cisD, depressior; quam C R
278쪽
q, 3. & C-D-E, depressior, quam O quod est contradictio. Ergo D eadem est, atque E. Ergo C-εD ad I 8. b. t D, & C- D ad Ε, sunt proportionales logarithmi-eοU .ice. Sed A--R ad B est ut C D ad G ergo Ais. b. 'F ad P, est ut C D ad D logarithmice. Quod M.
Rationes A ad P, & quantitates a ad K sunt log rithmice proportionales. Dico componendo, rationes tas B ad B, & quant, tales ais, ad K esse Iogarithmice proportionales.
Assumatur e quantitas, ad quam, a 'b est logarithmiace, sicut ratio A B, ad rationem B. Demon'. coner. Quoniam M B ad B, Se a b ad si sunt lo-garithmice proportionales: ergo diuidendo A ad B, & a b c adc, sunt logarithmice, propor-upotb. tionales. Sed A ad P, & a ad b, sunt Iogariar . b. thmice proportionales. Ergo a ad ι, & b- c ad se sunt proportionales. Ergo b, c, sunt quantitates aequaleS. Nam si maior esset, quam Q esset a, maior,
eli contradictio. Rursum si h minor esset, quamc: esset
279쪽
ci. esset a, minor, quam a b - c. sed contra, es set a- minor, quam ιι- c: & a'b-o minor quam ut quod est contradictio . 7. s. Ergo b, c, sunt aequales. Ergo a- b, ad h Ur. est ut a- , ad er Sed ratio A B ad rationemrs. b. F, est logarithmice, ut quantitas a b ad quam litatem c: Ergo etiam est logarithmice, ut a b
Quare &c. Theor. 23. Prop. 23.
SI quemadmodum tota ratio, ad totam, ita togarithmLce fuerit abicissa ratio, ad abscissam: erit & reiidua, ad residuam, sicut logarithmice tota ad totasn.*poth. Rationes i- B ad C D, & A ad C, sunt proportionales logarithmice. Dico etiam A, B ad C D, B ad D, esie proportionales logarithmice .
Rationes A B ad C D, Sc A ad C, sentproportionales logarithmice: ergo permutando, sunt proportionales logarithmicu A B ad A,& C D ad C: ergo diuidendo, B ad A, ND ad C, sunt proportionales: ergo permutando B ad D, ta A ad C, sunt proportionales: Sed A ad C, & A-B ad C D sunt proportio- A a nates.
280쪽
I s. h. nales. Ergo A B ad C D, N B ad D, sunt logarithmice proportionales. Quod Sc.
Quare &c. Theor. et q. Prop. 24.
SI snt tres rationes, atque tres quantitates, quae bina & in cadem ratione togarithmica sumantur: ex aequo autem prima ratio, quam tertia, altior fuerit; erit & prima quantitas, quam tertia, maior quod is prima ratio, fueritaequealta tertiae ; erit & prima quantitaS, aequalis tertiae: sin illa depressior; hec quoque minor erit. Et e conuerso.
Tres rationes A, B, C, & tres quantitas a, b, c, binae, & binae, sunt logarithmice proportionales: A ad 2 ut a ad 4 B ad C, ut , ad c.
'poth. I. Altior est ratio i , quam C. Dico, maiorem esse quantitatem a, quam c. Demon .
Ratio B ad C, maior est logarithmice,quam B ad A: sed , ad e est logarithmice ut B ad C: N B ad A, est logarithmice, ut , ad a: e go b ad e, maior est, quam , ad a. Ergo
maior est a, quam c. Quod Scc. Hypoth. 2. AEquealtae sunt rationes A, C. Dico, aequales esse quantitates o, c.