장음표시 사용
281쪽
'x -- l Ratio B ad C, est logarithmice, ut d ad , t A. Ergo , ad e, est ut , ad a. Ergo aequul les sunt δε c. Quod &c.
'poth. 3. Depressior est ratio A, quam C. Dico, minorem esse quantitatem a, quam c. Demon' de p. b. Altior est, C, quam AE ergo maior est si IU, quam a: Ergo minor est ' quam c. Quod&c. Eodem modo demonstrabitur e conuersio: quod sit aquantitas, maior est quantitate c: etiam ratio A, ratione C est altior: si aequalis ; aequealta: si minor; depressior. Quod . NC.
I sint tres rationes, aliaeque ipsis aequales numero, quς binae, & in eadem ratione togarithmica sumantur: ex aequo autem, prima quam tertia altior fuerit ; erit & qua ra, quam sexta altior . Quod ii prima tertiae fuerit aeque- alta; erit de quarta aequesta sextae : sin illa depressior; haec quoque dcpressor erit.
Tres rationes A, B, C, aliaeque tres D, E, F, binae, & binae sunt logarithmice proportionales: A ad Rut D ad E; B ad C, ut E ad F. ,
282쪽
Hypoth. I. Altior est ratio A, quam C. Dico altiorem este D, quam RDemonst.
ix b. t Maior est B, ad C, togarithmich, quam B ad hypoth. Sed B ad C est logarithmice, ut E ad ' &def.α.b ι B ad A, logarithmice, ut E ad D. Ergo maiori . b. t est E ad F, logarithmice, quam E ad D. Ergo i . h. l altior est D, quam F. Quod&c.
'poth. 2. AEquealtae sunt rationes A, C. Dico, ceouealtas esse rationes D, F. Demonstr.
i Lb. i Eadem est B ad C, togarithmice, quae Ssup. ad A. Ergo eadem est E ad F logarithmice quaria. h. E ad D. Ergo aequealtae stat rationes D, F. Quod&c. inpoth. Depressior est A, quam C. Dico, depressiorem esse D, quam RDemonstr. Up. h. t Altior est enim C, quam A: ergo altior est F, k l quam D: ergo depressior est D,quam F.Quod &c.
Quare Sc. Theor. 2 6. Prop. 2 6.
SI sint tres quantitates, atque tres rationes,qus binae, Nin eadem ratione togarithmica sumantur ; fueritqu
283쪽
perturbata earum proportio: ex aequo autem prima qua titas, quam tertia, maior fuerit; erit 3c prima ratio , quar tertia, altior . Quod si prima tertiae suerit aequalis quantitas; erit & prima tertiae, aequealta ratio: sin illa minor,hic quoque depressior erit. Et e conuer .Hynth. commvn. Tres quantitates a, b, c, atque tres rationes A, B, C, bini, de binae, sunt logarithmice, proportionales; & earum perturbata est proportio: quantitates enim a ad b, &rationes B ad C, sunt logarithmice proportionales: necnon quantitates b ad c, & rationes A ad P, sunt dogarithmice proportionaleS. Hypoth. I. Maior est a, quam c. 'Dico altiorem esse' quam C. Demonstr.
3- - Maior est , ad c ratio, quam , ad vi Sed j6.8. Hi, ad c, est logarithmice, ut A ad B: & b ad 3T. h. a, logarithmice, ut C ad B. Ergo A ad Raq. b. maior est logarithmice, quam C ad F. Ergol altior est A, quam C. Quod dic.
N poth. 2. Equales sunt a, c. Dico aequealtas esse A, C. Demonstri
7 l Eadem est b ad e, quae , ad a. Ergo eademi, L est logarithmich A ad B, quae C ad B. Ergo A, C I sunt aequealtae. Quod &c. Ην-
284쪽
Hypoth. 3. Minor est a, quam GDico depressiorem esse A, quam C. Demon' IV. t Maior est e, quam ad Ergo altior est C, quam defi. b. t A: ergo depressior est i , quam C. Quod &c. Eodem modo demonstrabitur e conuersorquod si ratio A, ratione C, est altior; etiam quantitas a, quantitate si est maior: si aequealta; aequalis: si depressior; minor. Quod dcc. Quare M. Theor. 27. Pro' 27. SI sint tres rationes, & aliae ipsis aequales numero, quae binae, & in eadem ratione togarithmica sumantur;keritque perturbata earum proportio togarithmica: ex ςquo autem prima, quam teletia altior fueri erit & quarta,quam sexta, altior . Quod ii prima tertiae fuerit aequealta s erit Nquarta aequealta sextae : sin illa depressior; haec quoque depressior erit.
285쪽
H poth. I. Altior est A, quam C. Dico altiorem esse D, quam R
Maior est logarithm ice, B ad C, quam B ad At sed B ad C, est ut D ad Et & B ad A est, ut F ad Ε, togarithmice: ergo D ad E maior est logarithmice, quam ut F ad Ee Ergo D altior est, quam F. Quod&c. Hypoth. 2. aequealtae sunt A, C. Dico aequealtas esse D, F. Demonstrixi. h. Eadem est B ad C logarithmice, quae B adsv. A. Ergo eadem est D ad E logarithmice, quaria. b. F ad E. Ergo D, F sunt aequealtae. Quod &c. N poth. 3. Depressor est A, quam C. Dico depressiorem esse D, quam RDemonstri def. pa . t Altior est C, quam A: ergo altior est F, quam sv. l D: ergo depressior est quam F. Quod&c.
286쪽
N ex aequalitate in eadem erunt ratione togarithmica. Hypoth. Sint quotcunque rationes A, B, C, D, totidemque quantitates a, b, c, in binae, &binae togarithmice proportionales: A ad P, ut a ad b, B ad C, ut b ad eic ad D, ut e ad LDico ex aequalitate, A ad C, & a ad c, esse togarithmici proportionaleS. Item A ad D, & a ad d esse togarithmice proportionaleS. Praepari
Rationis A, & quantitatis a, sumantur equemultiplicata ,&multiplex, 3 1, 3a: item rationis, & quantitatis, B, b, sumantur, qB, que: & rationis, & quantitatis, C, c, sumantur, a C, etc. Demonstra hypoib. Quoniam A ad B, & a ad b, sunt log rithmice proportionales: ergo 3 A ad IS, Naa ad M, sunt logarithmice proportionales. 6. b. Item quoniam B ad C, & ι ad e, sunt Ioga- ,πωHirithmice proportionales: ergo N ad 2C, S b ad 2 c, sunt logarithmice proportionales. Em 1 . b. go ex aequali, si 3 A est altioriquam 2Q etiam 3a est maior, quam a Q. si aequealta, aequalis si def8. b. depressior; minor. Ergo A ad C, & a ad esunt logarithmich proportionales. Quod&c. hypoth. Sunt autem C ad D, S e ad ri togarithmi
287쪽
QVARTV M. I : 193 Iv. l ce proportionales. Ergo A ad D, & a ad ril sunt logarithmice proportionales. Quod Scci
Si sint quotcunque rationes, & aliae ipsis aequales num ro, quae binae, N in eadem logarithmica ratione si mantur: & ex aequalitate, in eadem eruat togarissimi aratione.
Hypoth. Sint quotcunque rationes, &aliae totidem, A, B, C, D, N E, F, G, ra quae binae, & in eadem ratione sumanture videlicet, A ad B, ει E ad F: item B ad C, N Fad G: necnon C ad D, & G ad HDico ex aequalitais A ad C, dg E ad G, esse togarithmice, proportionaleS. Item ad D, & E ad H, esse togarithmice propo
. Rationum A, E, sumantur aequemultiplicatae, 3 A, 3 E: item rationum S, F, aequemultiplicatae 6 Ria rationunm C, G, aequemultiplicatae assi a G.
288쪽
I. β. garithmiee proportionales; etiam Q ad 2C, N AF ad 2G, sunt logarithmies, proportio-as. b. nales. Ergo si 3 A altior est quam a C; etiarria 3 E altior est, quam a P si squealtas aequealta. sid .ia Aldepressiori depressior. Ergo A ad C, & E ad cris sunt logarithmice proportionales. Quod M.
Quare &c. Theor. S o. Prop. 3 P.SI snt tres quantitates, totidemque rationes, quae bina in eadem ratione togarithmica sumantur; suerit autem perturbata earum proportio: & ex aequalitate, in eadem eruat ratione togarithmica.
Sint tres quantitates a, b, c, totidemque rationes A, F, C, binae, se binae togarithmice proportionales, & carum sit perturbata proportio: nempe sint is ad b, dia Bad C, togarithmice proportionales:& b ad si de A ad P, logarithmice proportionales. Dico, a ad si N A ad C, esse togarithmice proportionales. Praepari
Sumantur ipsarum a, b, quantitatum aequemultiplices 3a, 3b, & rationis A, aequemultiplicata 3 A. ipsaru a quoque rationum B, C, & quantitatis si suma tur a quemultiplicatae rationes & aequemultiplex
289쪽
Upeth. Quoniam , ad si & A ad B, sunt Iogarithmi- . b. ce proportionales retiam 3b ad & 3 adis. s. 'St, sunt logarithmice proporti alas: sunt au-bποrb.item 3a ad in sicut a ad & a ad b, sicut imis. h. garithmich B ad C: N E ad C logarithmich, si-I7. b. cui AB ad AC. Ergo sa ad 3 est ut B ad AC. Sed ostensum est, ad M, esse togarithmice, ut 26. b. 3 A ad qB. ergo ex aequali, si 3 a est maior, quam c; etiam 3 A est altior, quam C: si aequalis; - 82.iaequealta : si mino depressior. Ergo a ad si est i l logarithmice, sicut A ad C. Quod&c.
Quare tac. Theor. 3 I. Prop. 3 I. SI sin res rationes,aliaeque ipsis aequales numero , quae binae in eadem ratione togarithmica sumantur, suerit autem perturbata earum proportio togarithmica: etiam ex aequalitate, in eadem erunt logarithmica ratione.
Tres rationes A, B, C, altaque tres D, E, F, bitae sunt in eadem ratione togarithmica, & earum est perturbata proportio togarithmica 3 sunt enim ad B, Se Ead F logarithmice proportionalas; trecnon F ad C, NT ad E sunt logarithmice propintionales. Dico, exaequali, A ad C, & D ad F, esie logarithm
290쪽
Rationum F, D, sumantur aequemultiplicatae 3 A 3F, ara & rationum C, E, F, aliae sumantur Fqu multiplicatae S, qF
Rationes 3 A ad 3 F, & A ad P, sunt logar thmice proportionales: rationes A ad F, N SU F, sunt logarithmice proportionales: ratio nes E ad G & E ad 4m sunt logarithmice proportionales:ergo rationes 3 A ad 32 , & Sad AF, sunt logarithmice proportionales. Et quonia B ad C, Se D ad E rationes, Iogarithmice sunt proportionales: etiam ad & 3 Dad E rationes, togariimice sunt proportionales. Ergo ex aequali, si 3 A est altior, quam etiam et D est altior, quam q' sisquealta;εque alta: si depressior ; depressior. Ergo A ad C, MD ad F rationes, sunt logarithmice proporti '
Si prima ratio ad secundam, togarithmice suerit, sicut
prima quantitas ad secundam; tertia quoque ratio ad secundam, togarithmice suerit, sicut tertia quantitas ad fecundam: etiam composita ex prima,&tertia ratione, secundam, erit togarithmice, sicut aggregata quantitas