장음표시 사용
261쪽
Demonstr. des.s... Quoniam A ad C, ratio est logarithmica; c ius inaequalitatis est ratio C, eiusde est & A: item quoniam B ad C, ratio est logarithmica ; cuius inaequalitatis est C, eiusdem est& B: ergo A, B rationes , eiusdem inter se sunt inaequalitatis dusent A, B aequealtae. ergo sunt eaedem inter se. si enim non essent eaedem inter se, esset una remotior ab qqualitat quam altera,& non essent equealtae. Sumptae autem sint D, E aequemultiplicatae rationum A, B earumdem inter se: ergo p. p. etiam D, E, sunt eaedem inter se rationes, &aequeatis. Ergo si D est altior,quam F, etiam Ealtior est, quam ' si aequealta; aequealta: si de- fax. , pressior; depressior. Ergo ratio A ad C, est lo-garithmice, sicut ratio B ad C. Quod&e. Ne non ratio C ad A, est logarithmice, sicut C ad B. Quod Scc. Quare Sc.
R Arionum non atquealtarum, altior ad eandem, maior est logarithmice, quam depressior: dueadem ad depressiorem, maior est logarithmice, quam ad altiorem. . Hypoth. Esto ratio A -B altior, quam P.
Dico A F, ad se maiorem esse togarithmic quam Rad C. Et
262쪽
Et G ad F, maiorem logarithmice, quam C, ad A- B.
- Praepar. Demonstri Sumatur A ratio, quae cum B, componit rationem A S: & duarum rationum A, S, sum tur altera non altior, quae sit A: & rationis A, to-def. a. tuplicata D, quoties oportet, ut fiat altior, quam C; & rationis aequemultiplicata sumatur E. Quoniam A, non est altior, quam B; & D, E sunt aequemultiplicatae ipsarum A, B: oportet D non esse altiorem, quam E. si enim esset altior ex ijsdem, vel ex propioribus aequalitati, utrisq; ma- atra p. toris,vel utrisque minoris in equalitatis rationibus, ρ esset remotior ab εqualitate ratio composita.ergo D, est altior,quam C: ergo E, est altior, quam C. Sumatur ipsius C, bis,teliquater,vel deinceps,
dem. b.iquotieS Oportet, multiplicata ratio F, ut fiat priamo altior quam E. Quare ratio F, non est altior, quam ratio E C: est autem D altior, quam Crergo D E altior est, quam E- C. alioquin ex remotioribus ab aequalitate rationibus, utrisque maioris, vol utrisque minoriS inaequalitatis, non altior fieret composita ratio, ideoque non reφω tior ab aequalitate, contrap. p. i p. 3. Sed F. non . est altior, quam E-C: ergo D E, est altior,
quam F: & est E depressior, quam ' & sunt
D, E rationes aequemultiplicatae, rationum A, Br
263쪽
defi biErgo A-B ratio, ad rationem C, maior est lo- .hlgarithmich, quam B ad C. Quod &e. Et ratio C, ad rationem B, maior est logarithmice, quam
QVae , ad eamdem, eamdem habent rationem logariathmicam; inter se sunt eaedem rationes logarithmi- ce: & ad quas eadem, eamdem habet logarithmicam; inter se sunt eaedem rationes logarithmicae. N poth. I. Ratio A ad rationem C, esto togarithmich, scut ratio B ad rationem C. Dico rationes A, B, esse easdem inter se. Demon'r. Quoniam A ad C, & B ad C, sunt rationes dem .F.ilogarithmicae; cuius in squalitatis est C ratio,m, loris, vel minoris;eiusdem sunt A, S B rationes: quae si non eaedem essent inter se,non essent atque- allax. & assignaretur earum altera altior. Assignetura a. h. A, si fieri potest, altior, quam P ergo A ad C, maior est logarithmic quam B. contra hypoth. Ergo rationes , P, sunt eaedem inter se. Quod &c. Hypoth. a. Ratio C, ad rationem A, estologarithmice , sicut ratio G ad rationem P. Y Dico
264쪽
ITO E. LEMENTUM Dico rationes A, B, esse easdem inter se.
ix. b. Assignetur A, si fieri potest depressior, quam B: Ergo C ad A, maiores logarithmice, quam ad F: contra hypoth. Ergo A non est depressior, quam B: item demonstrabitur, quod neque Bir. h. est depressior, quam X: sunt ergo A, B rationes aequealtar, 8d eaedem inter se. Quod &c. . Quare &α
. Theor. Iq. Prop. I q. R Ationum, ad eamdem rationem, quae maior est lo-garithmice, illa est altior: & ad quam,eadem maior est logarithmice, illa est depressior. Hypoth. I. Ratio A, maior est logarithmice ad C, quam P. Dico A, altiorem esse, quam R Demonstri
265쪽
. . Dico A, dcpressiorem esse, quam B. Demonstr. Esto A non depressior, quam B, si fieri potest erit itaque vel aequealta, vel altior . Sunto A; BG. aequealtae, sifieri potest. Ergo C ad A, est logarithmice, sicut ad R. contra sepoth. Esto A altior, x. b- quam F, si fieri potest. Ergo C ad A, minor est logarithmice, quam ad B. contra spoth. Emgo A non est arquealta, neque altior, quam F: l ergo est depressior. Quod M.
Quare &c. Theor. I F. Prop. I S.
O Vae eidem sunt eaedem rationes, inter se simi esdem, tum logarithmice, tum absolute, Hypoth. I. Rationes A ad B, togarithmice sunt , ut quantitates e M in ad d quantitates, ut quantitates e ad s. Dico rationes A ad S, togarithmice elle, sicut qua titates e ad f*'A. 2. Rationes A ad B, togarithmicesimi, ut quantitates e ad in & e ad d quantitates, sunt sicut logarithmice rationes E ad F. Dico rationcs A ad P, esse togarithmich,sicut rationes E ad F. Υ a H
266쪽
'poth. 3. Quantitates a ad ι, sunt inter se, sicut logarithmice, rationes C ad T :& rationes C ad D, togarithmice sun sicut quantitates e aui s. Dico a ad b, esse ut e ad sin se. Quantitates a ad b, sunt inter se, sicut logarithmice, rationes C ad D: & rationes C ad D, togarithmice sunt, Vt rationes E ad F. Dico quantitates a ad , esse, sicut logarithmice', rationes E ad F. Hypoth. F. Rationes CA ad P, logarithmice sunt, ut rationes Cad D: & rationes C ad D, togarithmice, ut rationes E ad F. Dico rationes A ad B logarithmice esse, sicut rationes E ad F.
Sumantur ipsarum rationum,uel quantitatum A, C, aequemultiplicatae, & aequemultiplices, 3 A, 3 necnon ipsarum B, D, F, aequemultiplicatae,&aeque multiplices, AO, AR
se rei l Si 3 A, altior est, vel maior, quam q etiam l altior est, vel maior, quam MP. Quod si 3 il altior est, vel maior, quam D; etiam IE altiori est, vel maior, quam F. Ergo si ad altior est,
267쪽
vel maior,quam F; etiam 3 E altior est,uel maior, quam F Item si aequealta, vel a qualis; etiam aequealta, vel aequalis: si1 depressior, vel m des 8-linori etiam depressior, vel minor. Ergo propor- '- ςiItionales sunt siue rationes, siue quantitat , Vel mixtim A ad S, sicut E ad Fr tum logarithm l sie, siquae sunt rationes; tum absolute, si nullae sunti rationes, scd sollim quantitates. Quod &c.
Quare &c. Theor. I 6. Prop. 16. 'SI sint quotcunque rationes logarithmich proporti nates, quemadmodum se habuerit togarithmicε una, antecedentium ad unam consequentium; ita togarithmi se habcbit compolita ex omnibus antecedentibus,ad com- politam ex omnibus consequentibus. Hypoth. Rationes A ad & C ad D, & E ad F, sunt logarithmice proportionales. Ex rationibus A, C, & E composita est A C E: & ex rationibus B, D,& F compo
Rationum A, C, E sumantur aequemultiplicatae rationes 34 3C, 3E: ex quibus composita ratio 3A- 3C-3E. Item rationum S, D, F, sumantur aequemultiplicatae
268쪽
.ra . . Quoniam A ad & c ad D, sunt logar thmich proportionales: sit 3 altior est, quam F; etiam 3 C altior est, quam D: si aequealta; equealta: si depressior; depressior. Item quoniam C ad D, α E ad F, sunt logarithmice proportionales. si a C altior est, quam qD; etiam 3 Caltior est, quam εἴ et si aequealta quealta . side- pressior; deprcssior. Ergo si 3 A, altior est, quam Eo etiam 3A- 3C-3E altior est quam F
1 . Neor. Iy. Propos. 1 T. SI sex vel rationum, vel& quantitatum mixtim, prima ad secundam eamdem habuerit rationem, quam te tia ad quartam: terna vero ad quartam maiorem habuerit, quam quinta ad sextam: etiam prima ad secundam, malo rem habebit, quam quinta ad sextam . . . HV
269쪽
Quantitates a ad b, & e ad c sunt proportionales sed quantitatum e ad d ratio, maior est, quam logarithmica, E ad F rationum Dico quantitatum a ad , rationem maiorem ess- quam logarithmica E ad F rationum. .
Quantitates a ad b, & rationes C ad D, sent lo- earithmice proportionales: sed rationum logirith nica ratio C ad D, maior est quam quantitatum e ad j. Dico a ad , maiorem esse, quam e ad fHypoth. 3. Rationes A ad R & quantitates e ad c sunt lo-garithmice proportionales: sed quantitatum ratio c adri maior est, quam e ad s. Dico rationum logarithmicam A ad S, maiore i ,
Quantitates a ad b, rationes C ad D, sunt lo-aarithmice proportionales: sed rationum C ad D logarithmice maior est, quam E ad F. 'Dico quantitatum a ad b rationem maiorem esses, quam rationum logMithmica E ad F. H Οιh. Rationes A ad S, & quantitates e ad d sunt pr pol tionales logarithmice: sed quantitatum e ad A maior est rato, quam logarithmica rationum E ad F. .. -- Dico
270쪽
Dico A ad B, maiorem esse togarithm ice,quam E ad F. Hypoth.F. Rationes A ad P, & C ad D sunt proportionales: sed C ad D ratio, logarithmice maior est, quam e ad s. . Dico rationum A ad B logarithmicam rationem, maiorem esse, quam quantitatum e ad fHypoth.T. Rationes A ad B,&C ad D, sunt proportionales: sed C ad D rationum ratio togarithmice maior est quam Ead F ratio togarithmica. Dico A ad Z logarithmice maiorem esse, quam , E ad F.
Sumantur aequemultiplicate rationum ratio S,&sque- multiplices quantitatum quantitates; antecedentium A, C, E, antecedentes 3 4 3C, 3E; & consequentium B, D, F consequentes q26 424 4F: secundum eas muli plicationes; quibus 3 C, ahior quidem est,uel maior,quam sed 3 E, non altior, vel non maior est, quam qF.
Quoniam 3 C est altior, vel maior, quam D: ου ergo etiam 3 A est altior, vel maior, quam Br&def. io. interim 3 E non altior est, vel non malo quam ,ει i. 5 ergo A ad malor est, quam C ad D, si-,ὸ uElogarithinich, siue absolute. Quod &c.