장음표시 사용
291쪽
ex prima, & tertia, ad secundam. 'poth. Sint A, B, C rationes,& b, c, quantitates: & sit A ad B logarithmice, sicut a ad ι item C ad F logam thmice, sicut e ad L ' P. IDico a C ad S, este togarithmice, sicut a c ad b.
Quoniam C ad S, est logarithmice, sicut e adb: conuertedo, R ad C, est logarithmice, sicut bad e: Sh d A ad P, est logarithmice, sicut a ad brergo ex equali A ad C,est logarithmice, sicut a adc: ergo componendo A C ad C, est logarithmice, sicut a e ad e. Sed C ad B est logarithmicti sicut e ad se ergo ex aequali ita C ad B est l. garithmich sicut ad b. Quod Sc.
Theor. 3 3. Prop. 3 3. SI prima ratio ad secundam, eadem logarithmicὰ suerit, quae tertia ad quartam; fuerit autem, & quinta ad secundam, eadem logirithmice, quae sexta ad quartam derit & composita prima cum quinta ad secundaa, eadem quae composita tertia cum sexta ad quartam. 'poth.
Rationes A ad P, & C ad D, sunt proportionalem item E ad B, & F ad D, sunt proportionales. Dico A E ad B, N G F ad D, esse proportionales.
292쪽
Quoniam E ad N F ad D, sunt logarithmice proportionales: conuertendo S ad Ε, & D ad F, sunt logarithmice proportionales: sed A ad P, & C ad D, sunt logarithmice proportionales: Ergo ex aequali A ad Ε, & Cad F; sunt logarithmice proportionales: ergo componendo A E ad E, & C- F ad F, sunt θνοib. I logarithmice proportionales. Sed E ad N, Ea F ad D, sunt logarithmice proportionales. Ergo A E ad P, S C-F ad D, sunt logarithmice proportionales. Quod &c.
Theor. 3 . Prop. 3 q. SI rationes quatuor fuerint logarithmice proportiona-lcs r composita ex duabus, altiore omnium, & depresistore omnium, altior est, quam composita ex reliquis duabus. Sint rationes A ad B, & C ad D logarithmice proportionales: Et esto A altior, quam B, necnon altior quam C. Et quoniam A altior est, quam C: ergo B altior est, quam D. Ergo A altior est omnium; 64 D depressior omnium. . Dico rationem altioiem esic ration
293쪽
Iss, Quoniam A altior est, quam in sumatur E ratio quacum compostra F, facit rationem ut ita ratio Asit eadem, que Res L. item quoniam C altior est, quam D: sumatur F ratio, qaacum composita D, facit rationem C: ut ita ratio C, sit eadem, quae O 'F. Demon'. Opotb. Quoniam A ad B, & C ad D, sunt loga-eοUr.irithmice proportionales: &est A, eadem, quae
& D F ad D, sunt logarithmice proportiona-2i. b. tes: ergo diuidendo, E ad B, & F ad D, sunt
b pom.ilogarithmice proportionales. Sed N altior est, 18. h. quam D: ergo E altior est, quam ' compo- . 3. sitisque communiter B, & D rationibus ; ergo eoor. B- E D ratio, altior est, quam BAE DA F. Sed B E, ratio eadem est, quae A: Se D F, ea
Quare M. Theor. 33. 'si' 3 RAtiones proportionales, per conuersionem rati nis , sunt proportionatus.
294쪽
altior est, quam D. PDico A ad P, esse togarithmice, licut C acl
R Ationes logarithmice proportionales,per homolin
giam sunt logarithmice proportionaleS. Demonstr. defix A l Nam conuertendo, rationes fiunt proportio-13. h. natoritem homologas depressiores ab homologis xx. h. l altioribus decomponendo: de adcomponendo; &b. j per conuersionem rationis: Se diuidendo & eque- h. t multiplicando, & aequesubmultiplicando: &pe is. b. mutando: & colligendo: & ex aequali in propor-xo. h. tione togarithmica ordinataeconiunctisque omni-a6. h. sariam argumentis huiusmodi, quocunque Ordi- - b, ne, per homologiam, togarithmice proportionales fiunt. Quod deci Quare Sc.
295쪽
Petrus Mengolus, Io. Galeatio Mangio, iuueni studiosissimo. S. D. Mntum hoc elementum, de nottis, o naturalibus logarithmis a cui qu rationis inseparabiliter propristi,qu
mea, aut cuiusquam alterius Mathematici scholafatis noui dispositum,prater te, omnIumsonarum artium, oe iv primis Mathematicarum studiosissimum. Et baec prosecro insignis salicitas, in comparabili vinuli accessit, re meritis Excellenuissimi praeceptoris tui Casini: quod te, tum freq&cn Iem in Munao auditorem, tum in seus Apronomicis, uaticis laboribus,comitem in Idutim, re
Iertem nactus fuerat adiutorem. Itaque cum tua m mihi consuetudinem, rarius hoc anno,quam ante Psnsueueras, erres, mandavi, meum tui dessiderium,
ubisignificari: ut meorum etiam stadiorum particeps fieres-consultor. Gratiam liberaliter fecisti quam volebam: meque domι aliquoties conuenisti, huiu-
296쪽
see opusculi partem bane scriptitantem. Et ex me,
tum definitiones Medentium elementorum, πυ-tiones nominum,'propriam cuiu ue militatem elementi, necnon quasdam nobiliores demonstrati nes audisti parsim; tum vel maxime numerosa methodum: qua hyperlogarithmorum, oe lapolog rithmorum , γ' togarishmorum rationes miti contigit inuenire. tuque inuentisubtilitatem laudasti, quod mihi Deus liberaliter tribuite atque utilitatem trigonometricam, adfaciliorem logarithmici canonis con structionem, optime auidisti. Ex laude tua, plurμmum profecisse me fateor: nam alacrior factus, re exu cum communicatione vegetior, mustarum conelu
sionum, quas anmi euidentissimis arithmeticis amitsiora , qua mihi supererant demonstranda, medialemmata reperire capi, longe salicius . Dbellumia igitur hucusque non fine tuo adminiculo perfectum , stero e visermones indemonstratos, quos imuicem habebamus,per te ipsum legendopossis complere . Vale. meque, re labores meos, in primis Exce lentissimo Casino , deinde aliis tuis. eonscholariis ,s amicis, ut commesia1, rogo.
297쪽
Ifferentia duarum quantitatum, quando phima superat secundam, dicetur, Excessus primae & secundae. Quando vero prima superatur a secunda,d, cetur, Desectus primae, & secundae. 3. Similes disterentiae dicentur, excessus excessibus, &desectus defectibus. q. Dissimiles vero, excessus desectibus. I. Quatuor quantitates, dicentur, Arithmetich dispositae ; cum primae 5e secundae, tertiae & quartae, suerint s. miles, & aequales disserentiae. 6. Inuersio Arithmetica, dicetur ; cum quatuor quam litates arithmeticὶ dispositae, prima & secunda, tertia &quarta, rursum disponentur arithmetice, secunda & pr M., quarta& tertia . Cc a T. Per-
298쪽
7. Pcrmutatio Arithmetica, dicetur: cum quatuor quantitates arithmetice dispositae,prima & secunda, tertia&quarta, rursium disponenter arithmetice, prima deter. tia, secunda & qua ria. '8. Si lacrint aliquot quantitates, atque aliae totidem, Si fuerint prima de secunda primarum,item prima & secunda secundarum, dispositae arithmetice; suerint quoque secunda& tertia primarum, item secunda & tertia secundarum, arithmetice dispositae; & sic deinceps usque ad ultimas: dicentur primae similiter esse dispositae arithmetice, atque secunde.
s. Quod si prima & vltima primarum, item prima Sevltima secundarum,suerint arithmetice dispositae ; dicer tur, ita dispositae, ex aequalitate arithmetica. I o. Tres quantitates, dicentur, arithmetice ordinate; cum primae & secundar, siccundae & tertiae, similes,& equales fuerint disserentia: II. Plures quantitates, dicentur, arithmetice ordinata una ternae deinceps fuerint arithmetice ord mais: ideli, cum primae N secundar, secundae , tertiae, tertiae & qua γrae, & deinceps usque ad ultimam, similes, & aequales se rint differentiae. iet. Series naturalis arithmetica, dicetur; cuius ordinatarum arithmetice quantitatum prima, dimidia est se
I 3. Quallior quantitates,dicentur, Harmonich dispositae , cum differentia primae Sc secundae, ad similem diffe
299쪽
rentiam tertiae & quartae, rationem compositam habuerit ex rationibus, primae ad tertiam, de secundae ad quartam. I . Inuersio Harmonica, dicetur; cum quatuor quantitates harmonice dispositae, prima & secunda, tertia Sequarta, rursum disponentur harmonice, secunda 3c prima, quarta Se tertia. I 3. Permutatio Harmonica, dicetur, cum quatuor quantitates harmonice dispositae, prima & secunda,lertia& quarta, rursum disponemur harmonice, prima Se tertia, secunda de quarta. I 5. Si suerint aliquot quantitates, atque aliae totidem;
Se fuerint prima de secunda primarum , item prima & χ-cunda secundarum , dispositae harmonice; suerint quoque secunda de tertia primarum, item secunda de tertia secundarum, disposite harmonice; Sc lic deinceps usque ad vill-nias : dicemur primae similiter esse dispositiae harmonice, atque secundae. 17. Quod ii prima Scultima primarum, item prima Stultima secundarum, suerint harmonice dispolite; dices
tur , ita dispositae, ex aequalitate harmonica. Ἱ8. Tres quantitates, dicentur, harmonice ordinato; cum prima: Si siccundae differentia,ad limitem dis larentia usecunda: Se tertiae, suerit sicut prima, quantitas ad tertiam. I9. Plures quantitates dicentur harmonice ordinatae, .cum ternae deinceps fuerint harmonice ordinatae: idelicum primae de secundae disserentia, ad timilem diffirentia nsecundae dc tertiae,suerit ut prima ad tertiam; dilfirenti uo
300쪽
quoque secundae & tertiat, ad similem disserentiam tertiae ει quartae, suerit sicut secunda ad quartam; ia sic deinceps
usque ad ultimam. 2 o. Series naturalis harmonica, dicetur, cuius oes natarum harmonice quantitatum prima,dupla est secundet. et r. Si a rationali, series harmonica naturalis fuerit odidinata; in quoto prouis ordinatorum terminorum quotcunque suerint deinceps assumpti, & aggregati: siummia, dicetur, Prologarithmus. 22. Porro prologarithmus, dicetur Hyperlogarithmus earum rationum, quas habent inuicem, primus asi sumptus terminus, & proximus ulterior vltimo , non asisumptuS. 23. Et earum rationum Hypologarithmus, dicetur, quas habent inuicem, ultimus alsumptus terminuS, Se Pr ximus prior primo, non assumptus. 24. Quantitas omni minor hyperlogarithmo earumdem rationum, & omni maior hVpologarithmo, carumdem Logarithmus, dicetur. 2 3. Ex totenis deinceps Prologarithmorum series,d cetur: in qua, ex prioribus, dicetur, Primus; ex totidem immediate sequentibus, Secundus; ex alijs deinceps totidem, Tertius Ptologarithmus; & sic deinceps reliqui. Ut prologarithmorum,ex ternis a secundo, dicetur, Primus, qui ex secundo, tertio, & quarto fit collectis; Secundus, qui ex quinto, sexto,&septimo; Tertius, qui ex octavo, nono, & decimo ;&ita deinceps. a G. Si