Geometriae speciosae elementa primum de potestatibus, àradice binomia, & residua. Secundum de innumerabilibus numerosis progressionibus. Tertium de quasi proportionibus. Quartum de rationibus logarithmicis. Quintum de proprijs rationum logarithmis. S

311쪽

Esto quantitatum M productus vi & quantitatum

Theor. s. Prop. 9.

PRoducti communem habentes producentem, sunt ut

Esto quantitatum a, b, productus uri &quantitatum

Theor. Io. Propos I .

F Ractiones eumdem habentes denominatorem, sunt

inter se, ut numeratores.

312쪽

Dpoth. Fractionum commmis denominator esto in sunto nu

QVatuor propoitionalium quam est fractio, in quata

numerator est productus secundae & tertiae , deno-- , mnamῆ est prima. ε . t s

F Ractiones, quarum numeratores aequaleS, reciprocho sunt, ut denominatures. ω-

313쪽

Esto fractionum numerator communis α & sunto de

- i Theor. II. Prop. I 3.

D Volum productorum,quoi um producentes partim

communes, partim sunt non communes,primo alterum denominante, fit eadem fractio; quae, non comm nium producentium , primo alterum denominante. -

: Hypoth. Sunto producti a b c, d b c: quorum communis prin

ducens, b c; non communes, a, d. Et denominant a b si numeratorem d b e; necnon denominante a, n

314쪽

FRactiones, quarum numeratores aequales,&denominatores arithmetice dispositi, sunt harmonice di

Esto quatuor fractionum numerator communis G Nsunto denominatores arithmetice dispositi b, c, d, e.

dispostas, , .c

Si disserentia 4 est desectus: ergo reciproce differentia a B, a Q, est excessus: Nest differentia d, e, defectus r& reciproce disserentia a sd, a o est excessus. Quod si differentia b, c, est excessus retiam differentia Me, est cxcelsus :& differentia a H, a se , rec, proce est defectus: necnon differentia a H, a e , cst desectus. Quare factionum a s , a AN a d , a e , similes sunt differentiar. Esto differentia b, c, defectus Ergo differentia a ι , a c est excessus: item differentia a bi , a b .

315쪽

2 2 Ia13. h. g. h. 11. h. a. h. p. p. II. s.

QUINTUM

producendo per ade, Se abc. s. h. 1ac de abde; abce abessi a de; ab ea de , bc. denominando communiter per be de.

spositae. Quod&c. Similiter ostendetur, si differentia b, c, est e

cessus . Quare &c.

Theor. I F. Prop. I F.

F Ractiones, quarum numeratores aequales, Se denomi

natore' arithmetice ordinati, sunt harmonicae Ose

Esto fractionum numerator communis a: Se sunto de-

nominatores arithmetice ordinati, b, c, d, e.

dinataSω Demonstri

Upρi, l b, c, d, sunt arithmetice Ordinati.

316쪽

b ,e , c, d, sunt arithmetice dispositi.

spositae.

SI aliquot fractiones, aliaeque totidem, commune habentes numeratorem, denominatores habuerint . militer arithmetice dispositos, erunt N ipsae similiter hammonice dispositiae. Sunto tres fractiones, aliaeque tres, quarum communis numerator an sint autem denominatores b, c, d, similiter arithmetice dispositi, atque denominatores of g.

Demonstrilli, si ri sunt similiten arithmetice disposti, a

317쪽

sposita , '

sposita . desi6bia ι , a st , a M), sunt similiter harmonice dispositae, atque a ce , a j, a st . Quod &c. Quare &c.

. . ' , ' , Theor. J T. Prop. IT.

IN serie arithmetica, non maior, quam dimidius termini proximi, non est medius. Hypoth. Sunto in serie arithmetica, tres termini a, b, c. Dico h maiorem esse, quam dimidium, ad e. Demonstri Esto non maior, quam dimidius ad ι, si potest: eritque squalis, vel minor, quam dimides. 1o.ldius ad e: eritque differentia b, c, desectus: cuius .lsimilis differentia u, b, erit desectus. ἡπ' b. b; c: non maior, quam dimidius. ay. I. in non maior, quam Gl b: non maior, quam c-L

318쪽

Theor. I 8. Prop. I 8.

IN serie harmonica, terminus non minor, quam duplus termini proximi, non est medius . Hypoth. 'Sunto in serie harmonica tres termini a, b, c. Dico b, minorem esse, quam duplum, ad GDemonstri Esto b, non minor, quam duplus ad e, si po-defi . bitest. eritque differentia b, si excessus: item dise

I . s. a A non minor, quam a. Quod est absurdum. b, minor est, quam duplus ad e. Quod &c.

Quare Sc. Theor. I9. Prop. I9.

QVaelibet quantitas,& omnes eius multiplices ord, natae , sunt in serie arithmetica naturali. Hypoth. Esto quantitas u, cuius multiplices ordinatae 3 μ, & c. Dico

319쪽

Omnes disserentiae v, au, & au, 3s, & 3μ, - N Qiquar,sunt similes,& aequales ipsi rationali ur N est v ad au dimidia. Ergo u, zv, 3μ, ρ, & e. sunt in serie arithmetica naturali.

QVaelibet quantitas, & omnes eius submultiplices ordinatae, sunt in serie harmonica naturali. Hypoth. Esto quantitas ri cuius submultiplices Ο a), u 3 ,

. nica naturali. . et Demonst. 1'. b. u, 2, 3, 4, &c. sunt in serie arithmetica.

monica.

320쪽

ELEMENTUM

Theor. a I. Prop. 2I- ἰN duabus seriebus arithmeticis naturalibus, i terminissint similiter proportionales,in proportione ordinata.

Sint duae series arithmeticae naturales rvna M a, &c. altera b, 2b, &α a. am ' . . t Dico a, za, ga, qa, esse similiter proportionales ataque b, 2b, 3b, in proportione ordidata

l Desectus deinceps a, 2M 3a, a, senu quam les inter se, Nipsi primo termino a. item des ctus deinceps b, 2b, 3b, o, sunt equales inerse

Theor. 22. Prop. aridi

IN duabus seriebus harmonicix naturalibus, termini sunt similiter proportionales, in Noportiovet dinata HV K iSint duae series harmonicae naturales e una, a, u a , a

Dico