Geometriae speciosae elementa primum de potestatibus, àradice binomia, & residua. Secundum de innumerabilibus numerosis progressionibus. Tertium de quasi proportionibus. Quartum de rationibus logarithmicis. Quintum de proprijs rationum logarithmis. S

331쪽

eundos, inter tertios, &deinceps inter aequeordinatos: siquidem in prima strie, sunt quatuor harmonice disposit i in secunda serie,sunt quatuor arithmetice dispossiti. 'poth. Sint in prima serie quatuor harmonice ordinati a, b, c, A & sit medius e: de sint in altera serie ordinati ea

Dico ea a , ea η, ea se, ea G , esse arithmetice dispositos.

Theor. 3 q. Prop. 3 q. QVatuor termini harmonice dispositi, permutando, sunt harmonice dispositi. Hypoth. Sint quatuor termini a, b, c, d, harmonice dispositi.

332쪽

236 ELEMEN Tu MDico permutando a, si h d esse harmonice dispo.

sitos. Praepara

0poth. t a, b, c, d sunt harmonice dispositi 33. b. I s g, h, i sunt arithmetice dispositi. . b. t f, h, g, i sunt arithmetich dispositi. 48. b. t a, si h d sunt harmonice dispositi. Quod M.

Si fuerint aliquot quantitates in una serie, similiter harmonicae dispositae, atque aliae totidem, in altera. erunt LX aequalitate harmonica, prima de ultima, in una seri , iIem prima N vltima, in altera, dispositae harmonice. Hypoth. Sint a, ., e similitcr harmonice dispositae, atque aliqtotidem 4 e, sDico ex aequalitate harmonica, esse dispositas harmonice, a, si N A f

333쪽

d est 6bia, b, d, e sunt harmonice di positae. 33. b. b, L m, n sunt arithmetice dispositae defi6h b, c, e, s sunt harmonice dispositae. i . 33. b. L ι x, o sunt arithmetice dispositae. l sunt similiter arithmetice dispostae, at

s b. j h m, o sunt arithmetice dispostae. α s. b. t c, d, s sunt harmonice dispositae. Quod&c.

HArmonice dispositarum equesubmultiplices, sunt harmonice dispositae.

spositas.

Praepar.

Assumatur quaelibet quantitas e. & fiat

334쪽

Et quotuplices sunt a, b, c, d ad a 3 , b 3 , ς 3 , d 3 , totuplices accipiantur ipsarum s g, h, i, quae quae sint v, 3I, 3b, 3ι

α,, c, d, sunt harmonice dispositae,

33. h.

fg, ε, ι sunt arithmetice dispositε- ,

J, 3t 3 34 sunt arithmetice dispositae. .

18. h.

. - .

positae. Quod &c.

T-. 3 T. Prop. 3 T. SI fuerint aliquot primae qualitates,arithmetice similiter dispositae, atque aliae totidem secundae, utraeque in una sene: suerint autem S aliae totidem quantitates prims, aliaeque totidem secundae in altera :& suerit una eaderrta quantitas media proportionalis inter primas primarum , & i

335쪽

Q UINTUM. 239

& inter secundas primarum, & deinceps inter aequeordia natas; item inter primas secundarum, S inter secundas,&deinceps inter aequeordinatas: erunt in secunda serie primae similiter harmonice ordinator, atque secundae.

Demonstr.

Quoniam enim primarum in ptima strie pri-def.82.ra ma, & secunda ; & secundarum in prima serie pri-18. b. ma ,& secunda, sunt arithmeticε dispositae: con- istar, quod etiam in secunda serie primarum prima, & secunda; & secundarum prima, & secunda, sunt harmonice disposin. eonstat similiter, quod in secunda serie, primarum secunda, S tertia; Nsecundarum secunda, & tertia sunt harmonice dispositae. Et ita deinceps usque ad ultimas prima fi6.hirum,&secundarum. Quare primae in secunda

j serie, sunt similiter harmonice ordinais, atque

i secunda'. Theor. 3 8. Prop. 3 8. SI fuerint aliquot primae quantitates harmonich simialiter dispositae,atque aliae totidem secundae, utraeque in una serieffuerint autem & aliae totidem quantitates prianas, aliaeque totidem secundae, in altera strie: &sueritvna eadem quantitas media proportionalis inter primas primarum, & inter secundas primarum, & deinceps interaequeordinatas; necnon media proportionalis inter primas secundarum, & inter secundas secundarum, & dei

336쪽

2 o ELEMENTUM

ceps inter aequeordinatas: erunt in altera serie, primae similiter arithmetice dispositae, atque secundar.

des 16b l Quoniam enim primarum in prima serie,pr ma & secunda ,& secundarum in prima seri pri-3 3 h ma & secunda,sent harmonice dispositae: constat,

i quod & in secunda serie, primarum prima, Si s l cunda, & secundarum prima & secunda, sunt arbi thmetice dispositae. item ostendetur, quodpim: marum in secunda serie secunda,& tertia,Se secam. 'darum secunda & tertia, sunt arithmetice dispositae.&sic deinceps usque ad ultimas primarum,def.8. b. & secundarum. Quare primae in secunda seri ,

t sunt similiter arithmetice dispositae, atque sectas.

Theor. 3 9. Prop. 39. .:ΙΝter duas quantitates media proportionaliS, eadeim, est etiam inter submultiplicem unius, de aequemultipli

Esto inter duas a, b, media proportionales et Nesto ipsius a, submultiplex a 3 ; Stiplius b, aequemultiplex Dico a 3 ; et 3

Demonstra hypotia j a 3 ; o: 3,

337쪽

IN serie harmonica naturali, aliquotent ab uno, & alia

quotent ab altero, per numeros alterutrorum multitudinis terminorum submultiplicati; sicut primi quotientes, similitor secundi, sunt harmonice dispositi: item tertij,&quarti ,&sic deinceps. Hypoth. Sint in serie harmonica naturali duo termini 'b: Se aba, sumantur terni subquadrupli; & a b, quaterni subtripli. Dico primos ternos subquadruplos ab A & primos subtriplos a b, similiter esse dispositos harmonice ; atque secundos subquadruplos ternos ab ' & secundos subtriplos quaternos a b.

Praepara

ordinetur series arithmetica naturalis: in qua sint, coequeorduratus, atque a; & d aequeordinatus, atque b. sumanturque quadrupli terni a si & tripli quaterni a d. 2- matur etiam inter a, & e medius proportionalis e. Demonstri εο ῖν. l Quoniam si medius proportionalis est inter a, C medius etiam proportionalis est inter b, M &l inter arqueordinatos terminos in utraque serie na-3s. .. t turali arithmetica, & harmonica. item est medius proportionalis inter multiplices terminorum arithmeticae seriei naturalis,&inter aequestibmulti- . b. t plices tei minorum harmonicae. sed quadrupli ter

338쪽

a i ELEMENΤVM arithmetice dispositi, atque secundi; item, atque 37. b. tertij, atque quarti, & deinceps. Ergo etiam se quadrupli terni ab M & subtripli quaterni a b, pr mi , sunt similiter harmonice dispositi, atque secundi; item, atque terti), atque quartio deinceps. Quod &c.

Theor. ΦI. Proris qI. SVmma fractionum communem habentium denominatorem, est summa numeratorum, ab eodem denominatore denominata. Fractiones a 0, c b) communem habent denominatorem: numeratorum summa est Dico a B c B: a-c b . Demonstr.

Quare &c. Theor. qa. Prop. a.

Differentia fractionum communem habentium denominatorem, est differentia numeratorum, ab eodem

339쪽

dein denominatore denominata. Hypoth. Fractiones a b , c , , communem habent denominatorem b: disserentia numeratorum est a c. Dico a B - c η a - c , . Demonstri

a. p.

-- ci

Quare M. Theor. 3. Prop. 6 3.DVorum in squalium numerorum, unitas denominata a minore, & differentia denominata a maior sunt fractiores duae, quarum summa est maior, quam differentia corumdem, aucta unitate, denominata a maiore.'poth. Sunto duo inaequales numeri, minor a, maior a b. Dico I a 'b 9-H: maiorem esse, quam με I a ). Demonstrita. b.)I H; I ω'H: a- ι; a.

340쪽

ELEMENTUM

QValibet quantitate, a se ipia, & a suis deinceps per ordinem multiplicibus, denominata ; fit series har

monica naturaliS.

seriem harmonicam naturalem. Praepari