Geometriae speciosae elementa primum de potestatibus, àradice binomia, & residua. Secundum de innumerabilibus numerosis progressionibus. Tertium de quasi proportionibus. Quartum de rationibus logarithmicis. Quintum de proprijs rationum logarithmis. S

401쪽

Theor. 78. Prop. 9O.

E serie harmonica naturali ab unitate, terminorum , harmonice dispositorum, altioris rationis maior terminus, ad maiorem depressioris, maior est, quam ut ii perlogarithmus, ad hνperlogarithmum: & hyperlogar, Qq ihmuS,

402쪽

ilimus, ad hyperlogarithmum,maior, quam ut hypologa rithmus, ad hypologarithmum: de hypologarithmus, ad hypologarithmum maior, quam ut minor terminus, ad

minorem.

. t Sint e serie harmonica naturali ab unitate, te mini harmonich dispositi a, b, c, d, quorum a tior sit ratio a ad ι, quam e ad L Sirque madefi3bitor, quam A ideoque & si maior, quam L. Quoniam a ad b, altior est, quam e ad ae oportet ' maiorem esse, quam M 8eb, quam d. ali 3 - quin permutando, dispositorum harmonice a, c, si ad ib, d, esset e maior, quam ideoque Se d meson, 88. b. quam L, & e ad c altior ratio, quam a ad h

Deinde quoniam a, b, sunt in serie hasemonica naturali ab unitate, harmoniceMispositu: . b. sunt denominati a numeris arithmetice dispolitis: 26. b. quorum denominator a, reciproch minor est d 2 . h. nominatore b, necnon reciproce minor denomidem .h. natore c. & quot sunt numeri omnes medij inter denominatorcs a, b , totidem sunt inter denomi-χ7. h. natores si in totidemque inserie harmonica sunt inter a, b , rotidemque etiam inter e, d. Sint ergo inter a, b termini 'fr Sc inter c, cdesa ab l totidem termini hi critque a e s hyperio

403쪽

garissimus eiusdem rationis, inter eosdem terminos a, b. erit quoque hyperlogarithmus rationis c add; du eiusdem hypologarissimus inter eosdem termi

Et e- -b ad g-b-d, maiorem, quam , ad LDemonstri Dporb. Quoniam a, e b, necnon c, g, h, d, sunt harmonice ordinati, in serie harmonica naturalia . b. ab unitate: ergo eorum denominatores, sunt arithmetice ordinati,in serie arithmetica naturali ab sup. Vnitate : totidemque sunt φ e,f br, quot c, g, h, demi.li ergo denominatores a, e, s ιε, sunt similiter arithmetice dispositi, atque denominatores c, Pis h. h, in ergo etiam M e, K, b sunt similiter harmoni- defluebice dispositi, atque si g, h, d: ergo a, e, c, g sunta . b. harmonice dispositi: ergo permutando φ c, e, g, sunt harmonich dispositi. Similiter ostendetur, quod e, e , h sunt harmonice dispositi: necnon

f, h, b, d.

404쪽

des 13b l a, maior, quam si ergo N e, maior est, quam nai. b. j item f quam & quam d. & est a ad e ratio des p. . t altior, ideoque maior, quam e ad 1; & e ad g, altior,& maior, quam sad h; &fad b, altior, timator, quam , ad d.

83. i,. l Ergo a ad c maior est, quam ut a-e- f ade-V- s. Quod&c. Et est a-e- ad e-V-h maior, quam e s ad & e s ad g- h maior, quam e- - b ad g--h--δ ergo a e-- ad c g- , est maior, quam e- - b ad I h d. Quod&c. Et est e- b ad ἔ-h- maior, quam bad d. Quod &c. Quare &c. Theor. 79. Prop. 9 I. SI quatuor quantitatum prima ad secundam maior sus risi quam tertia ad quartam: productus extremarum, maior est producto mediarum. br maior, quam c; d. Dico ad: maiorem esse, quam be.

Praepar.

Fiat productus bd.

s. h.

405쪽

io. s. t oi maior, quam se. Quod M. Quare &c. Theor. 8o. Prop. 92. SI quatuor quantitatum productus extremarum maior suerit producto mediarum: erit prima ad secundam maior, quam ut tertia ad quartam. ωpoth. Sunt quatuor quantitates a, b, e, i &est ad maior, quam bc. Dico a; h maiorem esse, quam N, d.

Praepar.

Assumatur productus bd. Demonstr.

ad: maior, quam be. ad; bi maior, quam bri, bd.

SI suerit prima ad secundam, maior, quam ut tertia ad quartam : suerit autem & tertia ad quartam maior, quam ut quinta ad sextam: item quinta ad sextam maior fuerit, quam ut septima ad Octauam: erit compolita prima

406쪽

3io ELEMENTUM

cum tertia, ad compositam secundam cum quarta,maior, quam ut composita quinta cum septima, ad compositam sex tam cum Octaua. 'poth. ab

Praepara

Fiant producti as, ah, cs, ch, k, h, de, di Demonstrisa --ia: productus a per Is h. l f AE: productus ι per fink

a; ι: maior, quam N, fe , s maior, quam 1; La; A maior, quam o h. c; in maior, quam g; 4

407쪽

fas maior, quam be.

l f maior, quam de. ιh: maior, quam Q.

l af--- f cla maior, quam be la de Q. 9 . b. I a'c; b-ῶ maior, quam eras h. Quod&c. Quare &c. Theor. 82. Prop. sq. SI fuerint e serie harmonica naturali ab unitate, quatuor termini harmonice dispositi ir & alio quatuor eorum submultipli inter simplos terminos altioris rationis hyperlogarithmus, ad hyperlogarithmum depressioris, maiorem habebit rationem, quam inter submultiplos.li pologarithmus vero inter simplos altioris, ad inter sim- plos depressoris, minorem habebit, quam inter submultiplOS. Hypoth.

Sint e serie harmonica naturali ab unitat ,

j quatuor termini harmonice dispositi 1 3 , i σ), l i 7 , i io et quorum i 3 , maior, quam I s r

408쪽

4 fp ' ique etiam maior . suit autem & istorum aeque-36 h submultipli, I G , I Iz , I sq), i rQ , P riter harmonice dispositi, Sc aeque cum praedictis proportionales. Sumantur etiam inter I I , I-

monice ordinati, &aeque cum praedictis proportionales. Deinde inter I , , I ia , & interi iss , I zo sumantur omnes reliqui medij ham

409쪽

t i l

Similiter demonstrabitur. s

410쪽

Demonstri

Quod