장음표시 사용
421쪽
Theor. 87. Prop. 99. QVatuor terminorum e serio harmonica naturali ab unitate dispositorum harmonice , altioris rationis maior terminus ad maiorem depressioris, maior est, quam ut togarithmus ad logarithmum:&logarithmus ad logarith mum, maior, quam ut minor ad minorem . Ipoth. Sint E serie halmonica naturali ab unitate, quatuor te mini a, b, c, d, halmonici dispositi quoium ratio a ad haltior, quam e ad in N a, maior, quam se ideoque etiam si maior, quam d. Et esto rationis a ad b, togarithmuse: & rationis e ad ιι logarithmus f. Dico a; eo maiorem, quὸm eue s. Et e; f maiorem, quam 4 d.
Rationis a ad b, sumantur hypei logarithmus o &hypologarithmus se & rationis c ad c hyperlogarithmus h & hypologarithmus m.
Demonstripo. h. οἱ G maior, quam 1; LP8. h. ge, fi maior, quam ei f s. h. et f. maior, quam h; m.
so. h. hi met maior, quam d. 13. 1. οἱ c: maior, quam e f. Quod&e. 13. 3. c, f maior, quam 4 d. Quod M.
422쪽
QVatuor numerorum arithmetice dispositorum, ratio primi ad secundum, totuplicata, quotus est eris mus, maior est, quam tertij ad quartum totuplicata, quotus est quartus: atque totuplicata ratio primi ad secundum , quotus est secundus, minor est, quam totuplicara tertij ad quartum, quotus est tertius . Hypoth. Sint quatuor numeri arithmetice dispositi a, d. Dico rationem a ad , totuplicatam, quotus est 'maiorem esse, ratione e ad c totuplicata, quotus est in Serationem a ad b totuplicatam, quotus est b, minor is esse, ratione e ad d totuplicata, quotus est G
Sumantur in serie harmonica naturali ab unitate termini aequeordinati cum numeris a, b, c, d, in serie arithmetica naturali: nempe unitates denominatae ab ipsis: I H, I H, I c , I Q. Et esto rationis e ad b, togarithmus radi rationis e ad A logarithmus f. Demon'. p. Terminus a, vel minor est, vel maior, quam A Se ru sum a, vel minor est, vel maior, quam c. Esto a, minor, quam b: & minor, quam c.
423쪽
d, ar maior, quam es; f ; f maior, quam b. P
eb: maior, quam f. Et quoniam I, logarithmus est rationis cadde
ergo , logarithmus est rationis e ad c totu-plicatae, quotus est d. item quoniam δε logarithmus est rationis a ad kr ergo ae, togarithmus est lationis a ad , totuplicatae, quotus est e. Et viae ad n ita est ratio a ad , totuplicata, quotus est a, ad rationem e ad d totuplicatam qu tus est est autem ae, minor, quam o ergo ratio a ad , totuplicata, quotus est a, depressior est a ratione e ad d totuplicata, quotus est iu esti autem a minor, quam & si minor, ouam in EGO
424쪽
Ergo maior est ratio a ad , totuplicata, quotus est a, quam e ad d totuplicata, quotus cst d. Quod &c. Similiter ostendetur, quod si, togarithmus est rationis a ad b, totuplicatae, quotus est b: & flogarithmus e ad d totuplicatae,quotus est e. sed est eb, maior, quam fe ergo ratio a ad , tot plicata quotus est b, altior est,quam e ad d tot plicata quotus est e. Sest a minor, quam ι; Sc minor, quam δε ergo minor est ratio a ad , to- tuplicata, quotus est b, quam ratioc ad d tot plicata, quotus est c. Quod &c.
Esto a, minor, quam se & maior, quam ciergo a, b, sunt quatuor numeri arithmetice dispositi; quorum si minor est, quam in & minor, quam a. Et ratio e ad d locuplicata, quotus est si maior est, quam a ad , totuplicata , t quotus est b: de c ad d totuplicata, quotus est d, i minor, quam a ad , totuplicata, quotus est a.
Demonstr. 3. Esto a, maior, quam b, & minor, quam c. Ergo a, d, si sunt quatuor numeri arithmeti
ce dispositi; quorum b, minor, quam α; & m, nor, quam d. Et ratio b ad a totuplicata, quot tus est b, maior, quam d ad c totuplicata, quo-
425쪽
tus est α & b ad a totuplicata, quotus est a, minor, quam d ad c totuplicata, quotus est d. Et conuertendo a ad , totuplicata,quotus est λmωior, quam c ad ιι, totuplicata, quotus est d: N a ad , totuplicata, quotus est minor, quam c add totuplicata, quotus est e. Quod &c. Demonstr. q. Esto a maior utrisque i , de c: critque d minor utrisque si & b. Sunt ergo quatuor numerid, e, b, a dispositi arithmetice: quorum ratio dad e tot uplicata, quotus est d, maior, quam b ada totuplicata, quotus est a: & d ad c totuphcata, quotus est si minor, quam , ad a totuplicata, quotus est b. Et conuertendo, c ad d totuplicata, quotus est d, minor, quam a ad b totuplicata, quotus est e ad d totuplicata, quotus est si maior, quam a ad , totuplicata, quotus est Linod&c. Quare &c.
SI fuerint quatuor numeri arithmetice dispositi, & primus maior secundo; fuerint autem & alij duo numeri, quintus ad sextum, maior quam ut primus ad quartui rerit primi ad secundum totuplicata ratio, quotus est quintus, maior,quam tertij ad quartum totuplicata ratio, quOtus est sextuS. Ti
426쪽
Hypoth. Sint quatuor arithmetice dispositi numeri a, δὲ s. h. j c, in εἰ sit primus a, maior secundo bi ideoquGl etiam icitius si maior quarto d: S sint alij duo, i quintus e ad sextum s maior quam a ad aeDico rationem a ad b tortiplicatam, quotus este, maiorem esse ratione c ad d tot uplicata, quotus est f
Rationis a ad b, toga iit limus assumatur I: Se rationise ad d, logarithmus h.
Demonstri Ratio a ad b tot uplicata, quotus est a, maior est ratione c ad d tot uplicata, quotus est d: Se ambae sunt maioris ina qualitatis: ergo ratio a adb tot uplicato, quotus est a, altior est, quam c add totuplicata, quotus est L Est autem rationis a ad b tot uplicatae, quotus cst a, logarithmus ag: dirationjs c ad d tot uplicatae,quotus est d, logarithmus hiner o ae maior cst, quam M. Et quOniam e ad I maior est, quam ut a ad de permutando, e ad a, maior est, quam ut fad L Sta e
Ergo eg ad ni maior est, quam vi fh ad Δ: Sepermutando, eg ad b, maior, quam vi ag addi'. i Et est C, togarithmus rationis a ad b totuplical tae, quotus cst e: &Il , logarithmus rationis c adi d totuplicatae, quotus cst f. ergo ratio a ad b
427쪽
totuplicata, quotus est e, altior est ratione e ad diotuplicata, quotus est f. Et utraque maioris estinaequalitatis. Ergo ratio a ad ι totuplicata,quo a tus est e, maior est ratione e ad d totuplicata ,
SI suerint quatuor numeri arithmetice dispositi, & priamus minor secundo; fuerint autem & ali; duo numeri, quintus ad sextum, minor, quam ut primus ad quartum et erit primi ad secundum totuplicata ratio, quotus est quintus, maior, quam terti j ad quartum totuplicata ratio, quotus est sextus. Hypoth. Sint quatuor numeri arithmetice dispositi, a, b, 4 b ic, do & sit minor, quam b: ideoque etiam c, minor, quam de &siit e, ad Γ, minor, quam Vt o
Dico a ad b totuplicatam rationem , quotus est e, maiorem esse ratione e ad d totuplicata, quotus est j. DemonDr. hypoth. Sunt enim ii, c, b, a, arithmetice dispositi: 3e est a. a. rimator, quam ce R I ad e, maior, quam d ada: Iei. R. ergo si ad c totuplicat i, quotus est, I maior est, i quam , ad a totuplicata,quotus est e: Rcontier-α. 3. t tendo c ad d totuplicata, quotus est , minor, . T t a Maam
429쪽
primae ad secundam ad logarithmum tertiae ad quartam , non erit maior, quam ut prima ad tertiam , nec minor, quam ut secunda ad quartam. Hypoth.
gSunto quatuor quantitates harmonich dispositae, o, b, c, H quarum o, maior, quam b, & maior, quam e. 6e sunto a ad b, & e ad A rationes non numerosae. & rationis a ad b, esto togarithmus et rationis autem e ad 4 logar, thmus s. Dico e ad Γ, non maiorem esse, quam ut a ad b, nec minorem, quam ut e ad LSupposito falsa alternatiua. Esto, si fieri potest, vel maior e ad I quam ut a ad Kratione I ad maioris inaequalitatis, vel minor, quam vic ad c ratione I ad b, maioris inae qualitatis.
430쪽
Datis non numerosis rationibus a ad b, Se e adri vel m ad ι & o ad n: dataque ratione I ad vel i ad h, maioris inaequalitatis , quatuor mu niantur numeros, rationes, p ad q, altior, quaml ad m; & r ad s depression propiores aequalitati logarithmicae, quam ut in ratione I ad i, Vel i
Et quoniam a ad b, ratio est altior, quam c adi de sunt l, m n, o, reciprocE, sicut a, b, c, in etiam i ad m, ratio estaltior, quam n ad O. itaq;i sorte contingeret r ad A non altior, quam n ado. inueniatur altera r ad A depressior quidelm, quam l ad M, sed ei propior; atque altior, quamn ad O. Et similiterinueniatur t ad v, depressior, quaM r. ad G altior, quam n ad o: necnon inueniatur x ad ' depressior, quam n ad o; ut fianti ad V, & x ad Im propiores aequalitati logarithmic quam ut in ratione I ad i, vel ι ad λDataque differentia 4 m: datis quoque ratio Hi RS P, ad q, r ad G t ad ri. x ad I, inuenia