장음표시 사용
431쪽
I; x: Liri ' . Et rationis et ad ly, logarithmus esto rationis β ad ε, logarithinus e. rationis θ ad ι , logarithmus rationis λ ad ρ, logarithmus α.
a, maior, quam & maior, qinim c. l, minor, quam me & minor, quam 8, f, i, me, r, F, G u; n, o; ab I: binae, S: binae sunt arithmetice dispositis,antecedentes minores comi sequentibuS.l π : maior, quam e. & e; maior, quam la: maior, quam f. N e maior, quamst Et quoniam ad i, maior est logarithmice, quam ut ratio et ad ad rationem iii ad patio autem et ad xy, ad rationem s3 ad ι, logarithmice
432쪽
maior, quam ψ ad f. & maior, quam ad αcοUr. Deinde quoniam p ad q, vel et ad ἐς ratio est Iup. altior, quam i ad m, vel a ad b; &sunt et , δ,bpoth.ia, b harmonice dispositae;& est a, maior, quam . s. b: Oportet et , & 4 maiores esse, quam a, b. si Gnim essent aequales ; esset ratio V ad δ, a quealtat rationi a ad ,: si vero esset ea minor, quam asdef.13biideoque& δ, minor, quam esset ratio ad .L88. h. depressior, quam a ad b: contra assumptum. Sul militer ostendetur, quod a, maior est, quaml b, quam : item θ, maior, quam G, de μ, quam
i in & c, quam λ ; & d, quam DSupposio sal a prima. Esto e ad Γ, maior, quam a ad c: si potest.
433쪽
et; qr maior, quam a; e. si enim esset eadem , vel minor restet e; f minor, quam αἱ hisq; h. . contra assumptum. Sunt autem β, ι, θ, o, harmonicε dispositae s quantitates, numerosasque habentes rationes ; Ni proportionales sicut quidam termini e serie hammonica naturali ab unitate: quorum rationis β ad , logarithmus est φ ; & rationis θ ad ι , logarithmus est ψ. Est autem sicut r ad s ratio altior, quam i ad u: sic β ad a, altior, quam θ ad μ : &est β, maior, quam ι; ideoque & θ, maior, quam μ. Ergo β ad θ, maior est,quam φ ad Q. Ergo β ad θ, maior est, quam a ad c. contra8. I. Ergo e ad F non maior est, quam a ad c. Quod &c.
, e: minor, quam i i. I, ω: minor, quam ι; h. πῶ minor, quam n h.
s'. h. 23. F. Diuitiaco by Cooste
434쪽
V 9 cii: minor, quam b; d. Sunt autem δ, ε, harmonice disposita numerosas rationes habentes s & proportionales, sicut quidam termini e serie harmonica naturali ab unitate : quorum rationis et ad ι , logarithmus
est Se rationis λ ada togarithmus est ia: Nest et ad ὁ ratio altior, quam a ad b; sculp ad 3, altior, quam i ad me & l ad m altior, quatrian ad o, vel e ad i & e ad c altior, quam λ ad ε; sicut n ad o, altio quam x ad y: ergolad δ, altior eluquam / ad ξ: Nest e, maior,quam. ; & λ , maior, quam ξ: Ergo π ad ω maior est, quam . ad ξ. Ergo δ ad e minor est, quam ι ad d. contra 8. 1. Ergo e ad I, non minor est, quam , ad Z Quod &c.
Quare &c. Theor. 92. Prop. I. .
QVatuor arithmetice dispostarum quantitatum, si
prima ad ultimam, fuerit ut numerus ad numerum: erit primae ad secandam totuplicata ratio, quotuSest homologus primae, maior, quam tertiae ad quartam to- tuplicata ratio, quotus est homologus quartae . quod si secunda ad tertiam fuerit ut numerus ad numerum: erit prina ae ad secu ndam totuplicata ratio, quotus est homologus secundae, minor,quam tertie ad quartam totuplicata, quotus est homolo2us tertiae.
435쪽
Hypoth. Sunto quatuor arithmetice dispositae quantitates A, B, C, D. Sesto, vel alterutrum, vel utrumque illorum, videlicet: A ad D, ut numerus a, ad numerum in & 2, ad C, ut numeruS b, ad numerum c. Dico rationem A ad B totuplicatam, quotus e st a, maiorem esse ratione C ad D totuplicata, quotus est dr &rationem A ad B totuplicatam, quotus est b, minorem ratione C ad D totuplicata, quotus est c.
Sumatur rationalis u: & per quantitates denOminetur arithmetice dispositas, ut fiant fractiones u A , u F , u C , u D), harmonice dispositae. Sitque rationis A ad B logarithmus er & ratio-l nis C ad D, togarithmus fDemons,. p. Quantitatum B, C, D, vel duae tantum extrema: A, D, erunt ut numeri; vel duae tantum mediae B, C: vel binae tantum extremae inuicem A, D; N mediae inuicem B, C: vel tres inuicem sunt ut numeri. 8. Sunto tres inuicem A, B, C, ut numeri: Si aD sumantur tres numeri g, h, i proportionales, Ut
/- AE R C: quod si AE minor est, quam mei iam C, p l minor est, quam D; N I minor, quam h. N per
homologiam, est delectus h, ad i, ut deiectus A, B, ad C. addatur descctus h , numero i, N - p i fiat numerus L erit erao compcncndo ut i ad i,
436쪽
Σ. p. E. p. I o. h. I. q. II. s. Σ. p.
ita D ad C. Si vero A, maior cit, quam 23: profecto C, maior est, quam C D, vel quam ad πι& per homologiam, sicut C, maior est,quam A F, ita i, maior est, quam ρ - h. Austratur itaque g-ab i numero; S relinquatur si Nerit, diuidendo, C ad D, ut i ad LQuare B, C, D sunt proportionales inuicem , Ut numeri, g, h, i, l. & numeri i, csunt arithmetice dispositi: quorum ratio I ad biotuplicata, quotus est o maior est, quam ratio iad I toltiplicata, quotus est l: N ratio I ad h to- tuplicata, quotus est minor, quam ratio i ad Itotuplicata, quotus esti. Sed g ad h totuplicata ratio, quotus cst g, ad eamdem totuplicatam , quotus cst a, est logarithmice, ut I ad at &i adi tot uplicata, quotus est l, est logarithmice ad eamdem totuplicatam, quotus cst d, ut i ad d.
Et quoniam 1 ad l est ut A ad D: Se A ad D, veta ad d: ergo I ad ι est ut a ad in Sc permutando I ad a, ut i ad L Ergo ratio I ad h tolupi,
cata, quotus est g, ad eamdem totuplicatam,quotus est a, est ut i ad l totuplicata, quotus est cad eamdem totuplicatam, quotus est d. Ergo si h ad h tot uplicata, quotus esito altior est, quam i ad i tot uplicata, quotus est 4 etiam g ad h to- iuplicata, quotus est a, altior est, quam i ad i t tuplicata , quotus est d: si depressior, depressior. ergo
437쪽
roo. h. ergo sicuti ad h totuplicata, quotus est ρ, maior est, quSm i ad l totuplicata, quotus est lue siue 4σ-y b. sint i ad b, & i ad l rationes maioris inaequali- deff. i. tatis, siue sint minoris ambar: crit & e ad h totu-ς - Α iplicata, quotus est a, maior,quam i ad i tot uplicata, quotus est d. Et est I ad h, eadem , quae Aad B N i ad c cadem, quae C ad D. ergo A ad B totuplicata ratio, quotus est maior est,quam DC ad D totuplicata, quotus cst d. Quod&c. Simili prorus demonstratione ostendetur, quod ratio A ad F tot uplicata, quotus est b, minor est, quam C ad D tot uplicata, quotus est c. Quod &c.
Sunto vel duo tantum extremi in ut numeri; vel
duo tantum medij C, D , vel bini,&bini A, D, N F,
ne n autem tres, aut quatuor. pro sto vel est quantitas A, minor, quam B, vel maior: & rursum quantitas A, minor, quam C, Vel maior. Esto A, minor, quam B, 8e minor, quam C. q. b. u A), u 'M, u C, ιι χ, sunt harmonice dispositi. a. b. u M: maior, quam ii B).eta. h. M A)ἰ maior, quam u C).83. h. i A r, u M: altior, & maior, quam v i ii O, 8. b. t A), u M: logarithmus e.
438쪽
t a. h. M B); u C): C; B: qI3. s. d; αἰ maior, quam eue fi 3. s. ci fa maior, quam c, b. pr. h. in maior, quam eb: maior, quam frirraepar. Et quoniam Γ, logarithmus est rationis C ad 8o. h. D: ergo G, logarithmus est rationis C ad D tota plicatae, quotus est ri item quoniam e, logar thmus est rationis A ad Be ergo ae, togarithmus est ration s A ad B toltiplicatae, quotus est a. Sis militer se, logarithmus est rationis C ad D totu-plicatae, quotus est Q. & A, logarithmus, rati ηι- h- nis A ad B tomplicatae, quotus est b. Sicut ergo ae, minor est, quam in sic depressior est ad 2, tot uplicata,quotus est a, quam C ad Dio-l tu plicata, quotus cst d. Item sicut es, maior est,
i quam θ: sic A ad B tortiplicata, quotus elia, at j tior est, quam C ad D totaplicata, quotus est ta
poti . : Sunt autem A ad S, & C ad D, minoris in squacit Di. litatis rationcs, quarum depressior altiore maiori cst. Ergo A ad B tot iplicata, quotus est o, ma
439쪽
QUINTVM. 3ψ3ior est, quam C ad D totuplicata, quotus est in & A ad
B totuplicata, quotus est b, minor, quam C ad D totu-plicata, quotus est e. Quod &c. Demonstr. 3. , . Esto A minor, quam F, & maior, quam C. Ergo C, D, A, S, sum quatuor quantitates arithmetice disposite; quarum C, minor, quam D, sq. & minor, quam A. Et ratio C ad D toltiplicata, I i quotus est c, maior est,quam A ad B totuplicata, quotus est L & C ad D totuplicata, quotus est d, minor, quam A ad B totuplicata, quotus est a.
Demonstr. q. Esto A, maior, quam B, & minor, quam C. Ergo P, A, D, C, sunt quatuor quantitates ari des. . b. thmetice dispositae, quarum P minor, quam A;-Dp. & minor, quam D. ideoque B ad A totuplicata ratio, quotus est maior est,quam D ad C totu-plicata, quotus est c: & B ad A toruplicata,quotus est a, minor, quam Dad C totuplicata, quo- . 3. tuS est d. Ergo conuertendo, Gad B totuplicata, quotus est b, minor est, quam C ad D tctuplicata, quotus est c: N A ad B totuplicata , quotus est a, maior, quam C ad D t Otuplicata j, quotus cst d. Quod &c. Demonstr. 3. Esto A maior, quam B, & maior, quam C. Er O D, C, A,
440쪽
C, B, A, sunt quantitates arithmetich dispositae,
quarum D minor, quam C, & minor, quam P. quarum ratio D ad C totuplicata, quotus est d, maior est, quam B ad A totuplicata, quotus esta: de D ad C totuplicata, quotus est si minor, quam B ad A totuplicata, quotus est b: Ergo conuertendo, C ad D totuplicata, quotus cst d, minor est, quam A ad Z totuplicata, quotus esta: Se C ad D totuplicata, quotus est c,maior, quam ad Z totuplicata, quotus est b. Quod M.
Quare &c Theor. 93. Prop. Ios.
Si fuerint quatuor quantitates arithmetice dispositae, &prima minor secunda; fuerint autem de duo numeri prior ad posteriorem, minor, quam ut prima quantitas ad quartam: erit primae ad secundam totuplicata ratio, quotus est prior numerus, maior, quam tertiae ad quartam tot uplicata, quotus est posterior. Sint quatuor quantitates arithmetice dispositae, A, B, C, D: Asit minor, quam S: ideoque etiam C, minor, quam De &siit e numerus ad numerum s minor, quam ut A ad D. Dico A ad B totuplicatam, quotus est e, maiorem es se, quam C ad D totuplicata, quotus est s.