장음표시 사용
171쪽
tura, exponens m. consequens ejusdem rationis est mam. Igitur quaeVis ratio geometrica bene repraesentatur hae sormula: ad am. Schol. Tametsi quaelibet ratio geometrica seorsim considerata bene reprae ertetur per ad am; nihilominus si duae rationes geometricae antecedentibus, ex prauentibusque discrepantes repraesentandae sint; duae dive sae formulae sunt assumEndae. non secus, ne de ratione arithmetica n Iq6. Schol. locuti suerimus. Nempe si una id genus rationum repraesentetur per a: am; alterius antecedens dicatur h. exponens R, atque ita altera illa ratio repraesentetur per bn. Quod si tamen idem fuerit inrobique exponens; litera m in utraque formularetireni'a erit, ita ut primam rationem formula ad an alteram formula brm reprae lenist.
metr ca tam antecedens, quam consequens per idem multiplicetur. aut dividatur; ratio non mu atur. UΕΜoNsTR. QuaeVis ratio geometrica repraesentari potest hac formula a: am ci5o , & quivis multiplicator, aut divisor potest vocari n. Jam imprimis si
rationis ad am tam adtecedens, quam consequens multiplicetur per idem n; DOVa ratio an : amr eundem ex
ponentem m habebit, quem habuit prius: si enim mnis per an dividatur, quotus est mm 27 . Deinde sitam antecedens, quam consequens rationis ad am dividatura amper idem n; nova ratio --: -- rursus eundem expo-n n
nentem m habebit, quem habuit prius: si enim fractio
dividatur per fractionem - quotus est πι - n n s ancio m m ias . Jam vero ratio tamdiu non mutatur, quamdiu eundem retinet exponentem I49 . Ueritas ergo theorematis manifesta est. Schol. Si cujuspiam rationis termini suerint fractiones quaecunque; tollentur compendio fractiones illae, si numerator antecedentis per denominatorem in n. - quentis, & numerator consequentis per denominatorem
172쪽
rem anteeedentis multiplicetur. e g. Ratio --: -- a c
aequivalet huic, ber ad; uti patebit, si rationis -r
a eutrumque terminum per idem a e multiplicaveris. Isa. Dilae rationes aequales proportionem constituunt, ut adeo proportio nihil aliud sit, quam aequalitas duarum rationum. Unde etiam duae rationes proporti nem constituentes signo iplis interjecto jungi solent. Porri , quemadmodum ratio. ita etiam proportio alia est arithmetica. geometrica alia. Scilicet duae rationes arithmeticae aequales. seu eadem disserentia gaudentes con stiruunt proportionem arithmeticam; duae autem geometricae rationes aequales, seu eundem exponentem habentes i 9, essiciunt proportionem geometricam. E. DA: m 7: 0 est proportio arithmetiea, & sic enunciatur: g istierta 5 sicut 7 a m at e. g. at 4 π 3ολ est proportio geometrica, & sic enunciatur: a Ie habet ad 4, sicut 3 ad 6.
Is 3. Cono I. L. Omnis ergo proportio quatuor habet terminos, duos nimirum antecedentes, & duos cons Centes. e. g. In hae proportione 2: 4ms: 6, a & sunt antecedentes, 4 & 6 consequentes.
geometrica primus terminus, & quartus simul vocantur extremi; secundus autem & tertius medii nuncupantur. e. g. In hac proportione, a: 4 3: si a&6 sunt em
geometrica) vel est continua, vel discreta. Ria proportio Vocatur continua, in qua primus consequens est Idem eum secundo antecedente ; & terminus illa , qui ita repetitur. medius proportio ualis dici solet. e. g. Haee proportio arithmetica 3: 5 s: 7 est continura. estque in ea terminus 5 medius proportionalis. Quodsi autem consequens primus non sit idem eum antecedente se- eundo ; proportio vocatur discreta, ut haec geometrica,
173쪽
136. PROBLEMA XXXIX. Construere formulam
generalem. quor reprasentet quamlibet proportionem arithmeticam. REsoLUT. Quaevis ratio arithmetica una bene re- praesentatur hac formula, a: d,& altera hute aequalis hac, b: b--d 146. Husque Schos. : cum ergo duae rationes aequales eonstituant proportionem i5a ; quae-Vis proportio arithmetica bene repraesentatur hac sommula. a: a -- d heb -Φ- d; id est, vel hac, a: a- d b: h -- d. vel hac. a: a - d πα b: b - d. 15 . COROLL. Quoniam in proportione continua, eonsequens primae rationis est antecedens rationis s eundae 15s ; in formula generali a: a - - d b: b- d, squidem de continua proportione arithmetica sit sermo, est b m a --- d. Quem proinde Valorem loco b substituendo, formula generalis quamlibet continuam proportionem arithmeticam repraesentans est haec, a: a d m a -- d: a --- ad. Schol. Ceterum, quamvis istud ita se habeat; prior tamen illa formula generalis omnem proportionem arithmeticam , etiam quae Ieapse continua est, rite repraesentat: hoc uno notato, quod in ea, si do continua
proportione speciatim sit sermo, sit a -D d m b. 1 8 ΤΗΚOREM A XU. In quavis proportione arith- .metica summa extremorum 15 aquatur summa mediorum. tDEMONA TR. Quaevis arithmetica proportio repraesentari potest hac formula. a: a -- d b: b- - d Ig6,& i Scuol. : atqui in hac sormula patet, summam extremorum esse aequalem summae mediorum; in hac enim est a b -- d a -- d-b. Ergo in quavis proportione arithmotiea &c. 150. PROBLEMA. XL. Datis tribus terminis inve mire quartum arithmetice proportionalem. REsoLυT. Si dentur tres termini a. b, c, & quaera tur quartus x, stabit haec proportio arithmetica, a: b
174쪽
x b-c - a. Hoc est, si secundus,& tertius terminus in uni in summam cogantur. & ab ea summa iubtrahatur terminus primus ; residuum erit ipse quaesitus terminus quartus. e. q. Si dentur tres hi termini .ra, g, 0. & quaeratur quartus x; erit x - 5 - - 0 - 2 - II.
Et sane stat haec arithmetica proportio. 2:s m 9: Ia; nam utrobique eadem est disserentia. nimirum 3.I6o. CosoLL. Atque hinc saeile jam intelligitur, quomodo inveniendus 1it datis duobus terminis tertius, ut inter duos datos medius arithmetice proportionalis. Scilicet si 1 datis duobus terminis a & b quaeratur tertius x; stabit haec continua proportio. a: b h: x; erit Ergo a - x - 2b I58 , adeoque erit x m a b -- a. Hinc si e g. sit a - 3, b - 5; erit x m 7. Si a inter datos duos terminos e. g. inter a & Rquaeratur medius arithmetice proportionalis x; stabit haec continua proportio arithmetica, et: x m x: 8; erit
De Natura. variisque Transformationibus Pro
- 16 I. Tn omni quantitatum genere proportiones geo motrieae saepissime in considerationem veniunt. Unde etiam quando vocabula ratio, proportis, propo tionalis absque omni addito proferuntur. ea semper pro geometricis sumuntur. Nos nobilissimam hanc Algebrae partem. id est, proportionis geometricor doctrinam, qua nihil esse magis necessarium per oniversam Mathesim , Philosophiamque naturalem, nihil in omni vitae humanae commercio utilius, nonnili ignarus inficiari potest, hoc, & seqv. duobus Capit. pertractabimus. 62. Proportionem geometricam uti jam n. 1se di- ctum est constituunt duae rationes geometricae aequales, seu eundem exponentem habentes s I 49 . UndeL 3 etiam
175쪽
etiam evidens proportionis geometrieae signum est, si
utraque ratio eundem habeat exponentem ; sicut ex adverso, ii duae quaepiam rationes non habeant eundem exponentem, eae veram proportionem geometricam non effetunt.163. PROBLEMA XLI. Cons ereformulam gen
ratem , quae reproesentet quamιιbet proportionem geom , tricam. REsoLUT. Quaevis ratio geometrica una bene repraetentatur hac sormula, a: am. & altera huic aequplianae. b: bm iso, ejusque SchoLine cum ergo duae rationes geometric ae aequales emciant proportionem geome tricam 162 ; quaevis proportio geometrica bene r praesentatur hac formula , aram m b: hm 164. COROLL. Si de continua proportione geom
trica sit sermo; in sormula nunc inventa. Est am in btunc ergo formula generalis loco b ponendo am, abit in hanc. a: am M am: am . ita. THEOREM A XUI. In quavis proportione νο- , metrica, factum extremorum est requalefacto mediorum. mpes', a rh-c: d, erit ad bc. DEMONATR. QuaeVis geometrica proportici repra . sentari potest hae formula, a: am h: bm 163 r atqui hac in formula patet. factum extremorum esse aequale facto mediornm ; in hac enim est ahm m ambοῦ ergo in quavis proportione geometrica Sc. 166. PROBLEMA XLII. Datis tribus terminis imvenire quartum geometrice proportionarem. REsoLuet. Si dentur tres termini a. b. si & quaeratur quartus x. stabit haec proportio geometrica, a : b mer x; erit krgo si x-bc 166 , ac proinde erit x m
Hoc est, si terminus secundus dueatur in tertium,
& factum eorum dividatur per terminum primum; qu tus enascens erit ipse quaesitus terminus quartus. e. g. Si dentur tres hi termini, a, 4, 3, & quaeratur quartus x; erit x 6. Et sane stare hane geometricam
176쪽
proportionem, ar 4, :6 in consesso est; quippe in utraque ratione idem est exponens. nimirum a. 267. Conor. L. I. Itaque quicunque tres termini in proportii inem ordinari possunt. dummodo pro quarto termino assumatur tactum terminorum feeundi. & tertii divisum per terminum primum. e. g. Tres hi termini; ia, b, c, in hane proportionem ordinari possunt, ad O Ghe ab - vel in hane, cebma: - &αa: cI68. Cono . II. Ex problemate n. 166 resoluto facile intelligitur, quomodo inveniendus sit datia dum hos terminis tertius. aut inter duos datos medius geometrice proportionalis. Scilicet si i) datis duobus te minis a fit h. quaeratur tertius x, stabit haec continua. proportio, a: b h: x; erit ergo a x - b Ilab, ade b2que erit - Hinc si e. g. sit a ma, b αε; erit x
Si a inter datos duos terminos a & 8 quaeratur medius geometrice proportionalis x; stabit haec propo tio continua, ae x x: 8ἰ erit ergo x - 16 16s , . adeoque erit x Is, - Φ.160. ΤΗΕOREMA XVII. Assumamus quascunque duas quantitates aequales, quarum tam una, quam altera in duos factores resolvatur. Quatuor hi duarum quant latum requalium factores semperiunt reciproce propo tionales: id es, semper posunt in proportionem ordinari ita, ut unius quantitatis factores asumantur projbIis extremis proportionis, auarius vero factores pro solis medi S. DEΜONSTR. Quaevis duae aequales quantitates, quarum tam una, quam altera in duos factores resolvi debeat, repraesentari potest per AB - ed ; ergo ad theorematis veritatem generatim demonstrandam suffeit ostendere, hae in aequatione factores esse reciproce proportiona es, seu stare hane proportionem: A: c - d: RIstud autem sic' ostendo. Evidens signum bonae prin
177쪽
portionis geometricae est, si utraque rius ratio eundem habeat exponentem 16a ; atqui utraque hujus proportionis ratio eundem habet exponentem; nam hiee Bexponentes sunt - & - I47 , quos esse aequales sio
declaro. Assumamus factum antecedentium proportionis A r e dr B. quod factum est A d. Quoniam est ex hypothesi A B ed. utrumque dividendo per idem
B ectiones ad simplietores expressiones c45 est -α-d A. Hoe est, dicti exponentes sunt aequales. IN. Cono L. I. Itaque si x sit CT et; stat CreT. Scilicet prioris quantitatis factores C&TPr . extremis proportionis assumendo, alterius vero saetores e&t pro mediis. a Si sit a b c d ; stabit, ard d: hc. Nempe prior quantitas potest resolvi in factores a & be. pro extremis proportionis assumendos; alterius autem quantitatis factores sunt d & d. s) Si sit a b j c,' est ar e m x: h. Scilicet prioris quantitatis factores sunt a & b, posterioris autem sunt c & T. III. COROLL. II. . Evidens signum est bonae proportionis, si factum extremorum sit aequale facto me diorum. Ponamus enim, si fieri potest, non stare hane proportionem, a: d e: h, tametsi sit ab ed. Ea proportio non stabit, uti ponitur: at simul stare debet; nam aequalium quantitatum ab & ed factores sunt reeti proce proportionales, hoc est, in proportioneme: b ordinari possunt 169): ergo proportio illa stabit, ct simul non stabit, quod absurdum est. 1ra. ΤΗΕOREM A XVIII. Si in proportione geometrica tam antecedenS, quam consequens unius ejusdemque rationis per idem multielicetur, aut dividatur; proportio non turbatur. Sic si sit a: θ e: d; primae rationis terminos per idem vi multiplieando, aut divide dos
178쪽
DRhloessae R. Ratio quaecunque ad b non mutatur. si ejus is m antecedens. quam consequens per idem mul- iplicetur, aut dividatur . IM): ergo ratio illa, quemadmodum ante, ita etiam post multiplicationem. aut divisionem est e: d. Adeoque veritas theorematis manifesta est. Ira. COROLL. Quemadmodum una ratio, ita etiam altera multiplicari, aut dividi per quamcunque quantiatatem potest manente proportione; modo unius ejusdem rationis termini per uandem uterque quantitatem multiplicentur, aut dividantur. Sic si stat,a: b m e: d; licebit prioris rationis terminos per quamcunque quantitatem m, posterioris autem terminos per quamcumque rimultiplicare, vel dividere. aut unius terminos multiplicare, alterius autem dividere manemo propo tione. Hoc est, stabunt hae proportiones: am:
nulla id genus multiplicatio. aut divisio mutat sive priorem, sive posteriorem rationem 151 . Schol. Nunc recensitas proporsiones stare, hoc quΟ-que modo deprehendes. Quoniam ponitur stare ae θααc: d, est ad m he 16s). Quo notato. si inreeen-stis proportionibus extremos inter se, & medios inter se multiplicaveris, facile deerehendes ubique lactum extremorum esse aequale facio mediorum: quod evidens signum est bonae proportionis si I) .ir . THEOREM A XIX. Si in quapiam proportio- .
ne uterque antecedens, ves uterque consequens rer idem multiplicetur, aut dividatur; eroportis illa non mutatur.
e. g. Cum sit a: 8 -6: 24; licebit L antecedentes per 3 multiplicare. stabitque, 6: η - 18: a4; licebit a consequentes multiplicare per x, stabitque a: I6 - 6:48; licebit 3 antecedentes multiplicare per et, & simul consequentes dividere per ε, stabitque 4: a - 1a: 6
179쪽
DEMONsis. Quaevis proportio repraesentari potest hae sor sta. ar am-b: hua 163b: atqui inhηc formula per dietas multiplicationes, aut divitiones propo tionem non turbari clarum est ; semper enim manet factum extremorum aequale laeso mediorum. Sic si x antecedentes per idem e multiplicentur, ut sit ac d am bc: bm; erit ambe acbm. Si a) consequ*ntes multipli. entur per c, ut sit ar ame in brbine; rursus erita,mc amcb. Si 3 antecedentes multiplicentur per G
ex mediis miremi. e. g. Si sit a: b - c : d; erit b: a -d: c. Idem potes alternari proportio. quin mutetur; ides. posseunt medii manentibus extremis permutari, ita ut ex primo consequente fat secundus antecedens, F vici fm. s. g. Si lir a: b - e: d; erit ar e b: d. Deu que possunt manentibus mediis permutari extremi, ita ut sist a: b- c: d, debeat esse etiam d: b - c: a. DEΜONSTR. Iu omnibus his permutationibus f ctum extremorum manet aequale facto mediorum, a que adeo proportio perseverat t 17I . Quaevis enim proportio repraesentari potest per a: am - brbm 16A):Jam Vero fi I) invertendo fiat am: a hm: h, erit abm- amb si a alternando fiat adh- am: bm, est rursus abm - ham; si denique 3 extremos permutando fiatis: am b: a, erit bmamz amb Arith. 43).i 6. ΤΗΕΟREMA XXI. In qualibet proportione,
fiamma vel viserentia terminorum primae rationis ita se habet aa primum antecedentεm, vel consequentem, uti se habet jumma, vel disse ulla terminorum secundiae rationis ad secundum anteia dentem, vel consequentιm. HOC est, si stat haec proportio: - - - a: b c z d , Stabunt etiam hae: ab Addendo: a -- b: a c -4- d: c.
180쪽
Ergo alternando Ira stabunt hae quoquo:
1 8. ΤΗΕOREM A XXII. irin turbatur proportio, si omnes ejus termini ad eandem potentiam eleventur: non turbatur item, si ex omnibus ejus terminis eadem radix extrahatur. Hoc est, si sit a: b m ce d; est etiam ame
qUamcunque radicem n. est N e 1a4:. Atqui prior aequatio resolvi potest in propo tionem hanc. am: bm - cm: dm ; posterior autem in
SchoI. Atque haec de transformationibus cuius via proportionis seorsim consideratae: sequentia theoremata