장음표시 사용
31쪽
Axioma est propositio aliqua pense ipsam manifesta : v. g. totum est majus jua parte. Postvitatum eli veritas aliqua theorica , aut practi- . ca , indubia , dc clara , dc ab omnibus admissa ; quam proinde supervacaneum est demonstrare, & pro concessa haberi postulamus; hujusmodi est v. g. ex dato puncto describatur circulus. Theorema est propositio aliqua theorica , quae pro batione seu demonstratione opus habet; licet in se sit certa . Demonstratio autem est argumentum in fallibile, quo ad assensum rapimur. Alia est demonstratio ostensiima , alia ad imposibile: Prima est , quae veritatem e rei visceribus eruit , & in se se ostendit Secunda est , qua ad impossibilem sequelam admittendam adigimur, si propositionem, quae de mons rari intenditur, inficiemur. Problema apud Geometras est propositio aliqua vera , qua aliquid proponitur faciendum . & Dist uiri demonstratur. In rebus ad humaniores litteras , &alias Scientias , & artes spectantibus Problema est propositio, quae pro utraque parte verosi militer ostendi potest.
Lemma est proposito vera , quae aliis propositioni ψbus facilius demonstrandis praemittitur , di demon
Corollarium est proposito vera, quae ex theorema te, seu veritate demonstrata, aut suppolita facile deducitur , dc velut sponte sequitur. scholion apud Geometras est uberior aliqua, dc co piosior alicujus veritatis, de qua sermo est, explicatio; in qua plurima doctrinae, & eruditionis capita ad rem spectantia attingi possunt. HUOthesis denique est propositio , quae vera supponitur, quin in illius demonstratione immorari opus sit ; & ad aliam exinde demonstrandam inseruit , quam appellamus thesim . Εκ hisce omnibus Geometrica resultat methodus , quae in eo potissimum consistit , ut obscura primum definiat , avio mara praemittat , & postulata ; postulatis faciliora theoremata , dc problemata statuat; a facilioribus ad dissiciliora , dc magis recondita sterna
32쪽
tur via, quibus demonstrandis te inrtv ta , & hypotheolas praemittantur; demonstratis corollaria & scholia subjiciuntur : eaque omnia eo ordine dilac nuntur , .ut a facilioribus se in per ad dissiciliora gradatim , quasi per scalam , ascenda inus; alii aliis committantur gradus ; aliae ex aliis deducantur veritates : altiora ΘX humilioribus dependent , iisque innituntur ; neque fastigiisi tenebit , qui ab humilioribus per intermedios gradus non conscendat. De h i sce tamen alibi pleno calamo pertractabimiuS. Generalia quaedam ad Geometriam , PbvPam , Cy riliquas S ientias necessaria praemittuntnr. DEFINITIO I. r. Geometria est scientia , quae in mensuranda quantitate, seu magnitudine tota impenditur omnium scientiarum , quas novimus, est persectissima , imo norma, & exemplar; a facilioribus enim, & notissimis principiis ad reconditiora , & sublimia theoremata , & arcana gradatim , evidenter , seu demonstrative procedit . Ad id autem peculiarem adhibet methodum , quae Geometrica eo de capite nuncupatur , quod in Geometria solummodo i cum habeat . Porro Geometria magnitudinem, seu quantitatem abstracte solummodo considerat; de eaque eo pacto spe
ctata theoremata demonstr.i . .
DEFINITIO II. a. Quantitas seu magnitudo idem hoc loco
haec duo significantὶ sunt ea omnia, quae ex partibus componuntur. In continuam, & discr tam dividitur: continua magnitudo est, quae unitis inter se partibus constat; qualis est v. g. charta, in qua scribo; Disc/eta est illa, inter cujus partes nulla unio intercedit, cujusmodi sunt tempus , numerus , motus &c. Magnitudo magnitudini relata , aut homogenea , aut beter Πηea nuncupatur r bomogeneae magnitudines sunt ,
33쪽
4 FHILOSOPHI E NATURALIs quae diverso sub genere locantur, ut serpus,
DEFINITIO III. . Cujuslibet magnitudinis partes sunt, in quas dividi potest ipsa magnitudo , qtiae exinde relate ad partes appellatur totum. Partes in duplici su in dissserentia: aliquotae , & aliquantae : aliquota est, quae ali quoties repetita totum adaequat , seu metitur , ut pes hexapedam : aliquanta est , quae totum nunquam metitur , sed quomodocumque repetita ve, excedit .vEt exceditur a toto , ut bipalmus ab ulna, quae coq- stat s. palmis.
pellatur, quae eamdem B aliquoties exacte continet . Duae, aut plures magnitudines Λ , B, sua ruin partium D, E aequimultiplices appellantur , cum earum' singulae partem suam pariter, & exacte continent ,' hae autem partes D, E quae in suis totis Λ , B pari numero , aut Eodem modo continentur , partes Amites nuncupantur: ejusmodi sunt palmus ad ulnam, duo pedes ad decempedam: seu I ad 3, 2 ad Io. DEFINITIO V. s. Duae , aut plures magnitudines ejusdem gen vis rationem inter se habere dicuntur : est autem Rasio , duarum aut pluriam magnitudinum ejusdem
generis, puta duorum temporum , aut duorum Corporum, relatio, seu continendi modus; hoc est, modus, quo alia aliam continet, aut continetur . De bent este ejusdem generis , v. g. duo numeri; quia hemterogenea magnitudines, v. g. tempus , dc corpus Amutuo non continent ; neque enim tempus in corpore, aut vicistim , continetur e igi rur inter diversi generis quantitates impropriam solum , seu alterius ordinis rationem , quam hic non definio ,. agnoscimu4 DE
34쪽
. s. Cum igitur Ratio sit magnitudinum relatio , duae semper intercedere debent magnitudines, A Bv. g. seu termini ; quorum primus dicitur antecedens , secundus consequens. Si termini sint aequales Α Σα B , dicitur Ratio aequalitatis: si sint inaequale; , ratio inaequalitatis nuncupatur : Ea tamen lege, quod si prior terminus A sit major , quam B, est ratio majoris inaequalitatis: si prior sit minor , quam lac dus , erit ratio minoris inaequalitatis . Prima ita designetur Λ B: Dcunda vero Λ R.
Ut ratio, quam inter se habent magnitudines, cognoscatur , maior per minorem quantitatem dividenda est, ut statim explicabitur. Ouantitates,. seu magnitudines inter se relatae, aliae sunt comensurabius; incomensurabiles autem aliae: primae sunt, quae aliquam habent. comunem mensuram , ut pedem decempeda, & hexapeda, quem decies pr ma, sexies ex aete continet secunda . In comensurabiles sunt , quas nulla communis malitur mensura.
7. Ralio in Arithmeticam, dc Geometricam dividitur: prima , quae magis proprie disserentia , quam ναι is appellatur, est differentia, aut excessus , quo alia aliam magnitudinem superat, quin ad modum , quo alia aliam coni; net, attendamus. Ratio Geometrica , de propie dicta , est modus , quo magnitudo alia A aliam B continet , seu in ilia continetur . Quantitates igitur laequales rationem arithmeticam non habent; quia alia aliam non excedit ἰ non est igitur ratio aequalitatis arithmetica : habent tamen Geometricam quia alia aliam continer . Utraque tamen ratio vel est Rationalis, vel Drationalis ; ratio rationalis dicitur, quae numeris exprimi potest rioc est, si numeris exprimi possit quoties minor
in majori termino contineatur ; aut majoris supra minorem excessis. Irrationalis est illa, quae numeris explicari nequit . Hujusmodi rationes alio nomine nuncupamus Surdas .
35쪽
6 PHILOSUPHIAS MAETUR ύLIS DEFINITIO PIII.
8. Rationes rationales de Geometricis solum sere loquimur ) inaequalitatis varia sortiuntur nomina, pro varia unius ad alium terminum habitudine, seu continendi modo. Si antecedens consequentem bis continet , dupla, tripla , si ter , quadrupla, si quater; si . quinquies, quintupla nuncupatur . Quod in si antecedens in consequente contineatur , e . quem diκimus , ordine permutato , erit ratio subdupla,
subtripla , subquad .ipla &c. 8 ad 4 rationem habet duplam ad 8 subduplam , DEFINITIO IMy. Exponens, quotiens, seu quotus rationis alicujus A ad Is . est numerus, qui explicat quo modo ejul rationis antecedens A consequentem continet , aut in eo continetur, Sit Α 6O, B to, numerus, Φ, qui exponit, qCoties quater ) A o, continet BIO. est ejus rationis ex onens, seu quotus. Aliquando unus tantum numerus pro e X ponente assu uritur,& sufficit, ut in casu apposito; semper tamen subintelligitur unitas, I . ad quam praedictus numerus reseratur , idemque est, ac si diceres δε ηο est ad B io, ut 6 ad I.: non unquam vero duobus numeris ad rationis exponentem opus est ; exempla passim sunt obvia : sint A , & B magnae quaedam quantitates , quarum prima sit ad secundam , ut sad 3, hi duo numeri eius rationis A. B. e X ponentem constituunt.
Io. Ratio magnitudinis A ad magnitudinem Bhoc modo exprimitur Λ. B: vel hoc modo sub-
d iusta nimirum infra antecedentem A linea, dc su scripto consequente B Eadem ratione exprimi, &scribi solet exponens A. I: vel T: exponens enim est vera duarum magnitudinum ratio; seu rationis character . Ut clarius , & facilius ratio aliqua intellipatur , minores , qui assumi postunt , numeri assis nantur. Hinc pro exponente superioris rationis A
36쪽
B. seu o. Io. minores numerOS . I. adhibemus , dummodo eandem rationem , cujus sunt quotientes, recte exponant : sitque inter illos eadem ratio, quae inter magnitudines A. B. existit.
II. Proportio est duarum aut plurium rationum aequalitas, sive Arithmeticae sint, sive Geometricae.
Si igitur Α sit ad B, ut C ad Ia arithmetice , vel
geometrice , eae duae rationes proportionem arithm ticam , vel geometricam emciunt; suntque praedi- magnitudines proportionales. Magnitudines per alphabeti litteras solummodo, nulla adjecta figura, designamus formandae tyronum imaginationis causa: tyrones scilicet nulla oculis objetia , aut indicata quantitate , aut figura , vaga mente Omnem
magnitudinem indiscriminatimi subintelligunt. DEFINITIO XI.
ra. Ad quamcumque igitur proportionem A ad minimum termini requiruntur, duplici enim ratione componitur ad quorum linsulas duo sunt nece Durii n. 6. . Primus & ultimus terminus extrema: secundus , dc tertius media nuncupantur : &primus quidem primum antecedens , secundum tertius ; secundus item primum consequens , secundum quartus appellantur. obiter nota: duo quidem esse rationum aequalitatem ; ac aequalitatis rationes e primum significat , rationem rationi parem , seu proportionem : Λ esse ad B , ut C ad D. Secundum vero significat non inter rationes , sed . inter rationis terminos aequalitatem, ita ut Λ sit par B.
33. Proportio Arithmetica est duarum , aut plurium ejusdem nominis rationum , seu excessuum aequalitas ; v. g. si excessus A supra B sit idem , ac excessus quantitatis C supra D, erunt praedictae quantitates in proportione arithmetica, quae hoc Λ In
37쪽
modo scribitur A. B.: C. Dr sive Λ ε- B diu C D. Clarius id in numeris sese pari excessu superantibus ollenditur IO. 3. : 32. 27. DEFINITIO MILI . Proportio Geometrica est duarum , aut plurium ritionum Geometricarum aequalitas e v. g. Ag est ad B , ut C ra ad D 6: duplici modo scribitur ; primo A. B:: C. D, 8. 4:: ra. 6: secundo A. B α C. D. Duae , aut plures rationes 8. 6: et . quae eandem proportionem Constituunt, sunt similes, aequales , eaedem: uno verbo ; omnes rationes, quae eundem habent exponentem, sunt aequales , eaedem, similes, ut est per se notum . In rationibus autem aequalibus antecedentia anteeedentibus Α B, consequentia consequentibus C D Homologa dicuntur.
1s. Idem igitur est rationum aequalitas , ac similitudo : neque proporti i aequalitatem inter rationum antecedentia, aut consequentia , sed inter rationes solum significat. Omnes etiam rationes proportionem eandem constituentes eundem habent exponentem ; aeque enim antecedentia singula in consequentibus singulis continentur, aut ea conti
I 6. Si duarum, aut plurium rationum I 1. 6, TE.8 antecedentia II, II inaequaliter in suis cons quentibus 6, 8 contineantur , aut ea Contineant , rationes erunt di miles, oe inaequales ea vero erit major, I 2. 6, cujus antecedens Ia major sit relate ad suum consequens 6, seu, cujus antecedens pluries suum consequens contineat ; aut minus in illo contineatur, si sint minoris inaequalitatis rationes . Hinc dissimiles sunt rationes 3. 6, 3. 4: prima ta
38쪽
1 . Proportio continua A. B :: B. C; 8. 6::. 6. z. est illa , in qua primae rationis consequens B est secundae antecedens; seu, in qua medius terminas B his repetitur ; & utramque rationem modo dicto ingreditur. Quod si duae tantum sint rationes , seu termini quatuor, proportio nuncupatur; si plures sint termini, & rationes, dicitur progressio. Proportio discreta est ea, in qua nullus terminus ἰ iterum repetitur , aut duas rationes ingreditur . ut antecedens unius, consequens alterius . Dicta haec cum de Geometricis, tum de Arithmeticis proportionibus intellige. IT POTHESIS. 3. Proportiones Geometricae, Ac Arithmeticae , discretae , aut continuae , di progressiones , ut sequenti laterculo apponuntur, scribi consueverunt.
Proportio Λrithmetica discreta : ,. ι ό UGeometrica distret s io
. Progressio Λrithmetica 'π' a. q. 6.8Progressio Geometrica a. q. 8. I 6. 9 i. Rrithmetica continua 3. s. 7Gedine trica continua 'A' 3. 9. 27 Ut rationis, proportionis , laut progressionis Α- tithmeticae exponentem habeas , e majoti termino minorem immediate antecedentem, aut subsequeri tem subtrahe, e s v. g. 3, residuum 1, erit commu nis excessus , aut exponens rationum . Idem in Geometricis rationibus obtinetur, si mai- rorem per minorem ejusdem rationis terminum dividas, s V. g. per φ, quotus enim , per divisionam inventus, erit praedictae rationis exponens. DE
39쪽
io PHILOSOPHIAE NATURALIS DEFINITIO Xra.
9. Proportio ordinata est , cum diversi terminorum i rdines, ita disponuntur , ut sit
primae primus a ad secundum b, ut secundae primus m ad secundum n: primae secundus b ad tertium c, ut secundae item secundus n. ad tertium o , & ita
deinceps. Quod si ita disponantur ordines ' b d p., ut
si primae primus a ad secundum b, ut secundae primus n ad secundum O; & ut primat secundus b ad tertium c , ita secundae tertius m ad primum n, dicitur haec ratio perturbata. DEFINITIO XVII. ao proportio, seu ratio directa est ea in qua termini recto , ct naturali ordine disponuntur , elique primus ad secundum , ut tertius ad quartum . Quod si termini sint ordine non directo dispositi, ita ut sit primus ad secundum, ut quartus ad tertium, vel primus ad tertium, ut quartus ad secundum, erit ea proportio inversa, aut reciproca. Dire- proportionrs exemplum habe - ΑΣ. B 3:: C . DIO. Iaversae seu reciprocae Λ 2. B6:: Da o. Cs;
ΣΥ. Ratio composita est, cuius exponens est factum ex omnibus rationum componentium exponentibus
in se ipsos ductis, seu hujusmodi facto est aequalis:
sint v. g. duae rationes 1 ad 8, 3 ad 6, quarum primae exponens, ε, secundae, x; a ductus in q, essicit 3; omnis igitur ratio , cujus exponens sit , δ, ex praedictis rationibus componitur v. g. ratio 2. 16. Ratio potest e sse composita ex duabus , tribus, quatuor aut plurimis rationibus: rationes item componentes possunt esse ex aliis rationibus compositae et ex iisdem etiam rationibus smplicibus multiplex inter diversissimas magnitudines ratio componi potest :V. g. ex rationibu S 1. 6 3. 9; s. 2O; quarum e ponenteS sunt x, 3, , qui in se ipsos ducti efficiunt
40쪽
EA . Componuntur rationes I. a i 2. 8; IO. 24O., ct infinitae aliae, quae in eandem recidunt.
Quare rationum compositio id diligenter notandum in non fit per simplicium rationum , seu exponentium additionem , sed per multiplication ;s primum obtineret , esset ratio a. I 2 t cujus exponens, 6, composita ex rationibus 3. 9; 3 9; ea Ium enim exponentes 3, 3 simul additi efficiunt ες ratio tamen ex hisce duabus composita est 2. 8, cujus exponens, ', est factum ab exponentibus 3, 3 in se invicem ductis. Factum 6oo ex quibuscumque antecedentibus I, Io, a, in se invicem duetis ad factum 9o ex totidem consequentibus a, 1, 9 in se invicem etiam ductis', rationem habet ex omnibus singulorum antecedentium ad singula consequentia compositam , ut inferius, si opus sit , demonstrabitur . Rationum compositionem tyrones diligenter intelligant ; illius enim usus est per totam Physicam, & Geometriam frequentissimus. DE F INITIO XIX. .
12. Ratio ex duabus rationibus aequalibus composita, est singular qm duplicata : ex tribus aequalibus triplicata: ex quatuor quadfuplicata dcc. Rationes autem componentes eo in casu subduplicatae , subtriplicatae &c. nuncupantur. Aliis verbis : Ratio
alterius s 3. 9 duplicata est ea s 3 27 ὶ, cujus exponens, 9. est factum ab exponente primae rationis
3. 9ὶ in se ipsum semel ducto : 3 scilicet in 3 ductu in em it, y, duplicatae rationis i 3. 27. exponens: ratio 3.9) duplicatae rationis s3.27 subduplicata nunctipatur.
DEFINITIO XX. 23. Ratio tr. 8ὶ est triplicata alterius tr. 2), si hujusce exponens, a. bis in se ductum , factum